関西医科大学 2021年度 数学

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：2項間漸化式 a_n+1 = 2a_n + 5 。係数が 1 でないので等差でも等比でもありません。定数をずらして等比に落とすのがこの型の一手です。

1. なぜその一手を選ぶのか

a_n+1 = pa_n + q を見たら、最初に確かめるのは p が 1 かどうかだけです。p = 1 なら公差 q の等差数列で即終了。ここでは p = 2 なので、その道は使えません。

次に考えるのは「何を足せば、余分な定数項が消えるか」です。両辺に同じ数 β を足して a_n+1 + β = 2( a_n + β ) の形にしたい。右辺を展開すると 2a_n + 2β なので、2β − β = 5 、つまり β = 5 と決まります。この一手を選ぶ理由は「定数項を消すため」であって、公式だからではありません。

2. 解答

1. 両辺に 5 を足すと a_n+1 + 5 = 2( a_n + 5 ) 。
2. よって数列 { a_n + 5 } は公比 2 の等比数列。
3. 初項は a₁ + 5 = 1 + 5 = 6 。
4. したがって a_n + 5 = 6 · 2ⁿ⁻¹ 。

答え： a_n = 6 · 2ⁿ⁻¹ − 5

3. 検算（ここまでを1セットにする）

n = 1： 6 × 1 − 5 = 1 。初項に一致します。
n = 2： 漸化式からは 2 × 1 + 5 = 7 。一般項からは 6 × 2 − 5 = 7 。一致します。
漸化式の問題は、一般項を出したら必ず n = 1 と n = 2 を入れる。符号ミスと初項ずれはここでほぼ全部捕まります。

この型の一般化： a_n+1 = pa_n + q（p ≠ 1）は、つねに β = q / (p − 1) を両辺に足せば等比に落ちます。ただし q が定数でなく n の式になっている場合（a_n+1 = pa_n + f(n)）はこの手が効かず、両辺を pⁿ⁺¹ で割る、階差を取る、といった別の一手に切り替えます。どの分岐を選ぶかは第11章 数列で整理しています。