慶應義塾大学 2002年度 数学

慶應義塾大学 医学部 2002年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（積分と数列の極限・曲線上の極値）　答：(あ) ／(い) ／(う) ／(え) ／(お)

【📖大切な定義】　 は部分積分で となります。漸化式 が1次式 の形なら、不動点 を用いて と等比化するのが定石です。また のような式は、 を入れると 、 となり、極座標で一気に見通しが立ちます。

【👀ここに注目】(1) 定積分と漸化式　部分積分により

ゆえに (あ) です。次に漸化式の積分を計算します。（）と置換すると、 が に対応し

また なので、被積分関数の総和は 。よって

不動点は より 。したがって となり、 から

ゆえに (い) 、 より (う) です。初期値 がどんな正の実数でも、 は に収束すると読み取れます。

【👀ここに注目】(2) 曲線上で が極大になる点　（）を条件式に入れると 、すなわち です。これが正であるためには が必要になります。目的の は正なので、その2乗

を最大にすればよいことになります。 を微分すると

は 、因数分解して 。 では 、すなわち から を得ます。 が小さいとき 、 に近いとき なので、これが極大を与えます。ゆえに (お) 。このとき より 、すなわち

ゆえに (え) です。

【✅検算】　(1) の漸化式は、 について積分を数値計算して を作り、閉じた式 と全項が一致することを確認しました。極限も へ収束します。(2) は を から まで細かく走査して を計算すると、最大は 、そのとき となり、対応する が元の関係式 を満たすことも数値で確かめられました。

第2問（確率：正方形の頂点上を動く粒子）　答：(あ) ／(い) ／(う) ／(え) ／(お) ／(か)

【📖大切な定義】　時刻0で頂点 に粒子が1個ずつあり、各秒ごとに「存在する粒子のうち最小番号の頂点上の1個だけ」が動きます。その粒子は確率 で消滅、 ずつで両隣の頂点へ移動し、移動先に別の粒子があれば合体して1個になります。粒子数は「消滅」または「合体」で減り、移動では変わらないので、増えることはありません。2個の状態を、向かい合う 対角型（）と、辺で隣り合う 隣接型（）に分けて遷移を追うのが要点です。

【👀ここに注目】(1) を直接計算　時刻0は 。最小頂点1の両隣2,4は空なので、1回後は （）、（）、（）です。ここからもう1回動かすと、たとえば は最小頂点2の隣3が占有ずみなので「消滅 ・合体移動 」で が1粒子 化、残り が へ。これらを合わせると、時刻2の分布は

となります。ゆえに (あ) 、(い) です（残り は2粒子が残る確率で、その内訳は が各 ）。

【👀ここに注目】(2) 一般項を漸化式で　2粒子の遷移を型で整理します。対角型は最小頂点の両隣がともに空なので、消滅 で1粒子化、 で隣接型へ移ります。隣接型は最小頂点の一方の隣が相手粒子なので、消滅 と合体移動 を合わせた で1粒子化、残り で対角型へ移ります。対角型・隣接型の確率を とおくと

初め なので、偶数時刻は対角型のみ・奇数時刻は隣接型のみが残り

1粒子（確率 ）は、1粒子が移動して残る分 と、2粒子が1粒子化する分から供給されるので

空（確率 ）は1粒子が消滅して増えるだけなので 。これらを偶奇に分けて解くと、 を初期値として

が得られます。ゆえに (う) 、(え) 、(お) 、(か) です。 では となり、いつかは必ずすべての粒子が消える様子が読み取れます。

【✅検算】　到達しうる頂点の部分集合を状態として、遷移を有理数のまま計算機で厳密に追いました。 など、 から までのすべてで上の閉じた式と完全一致しました。さらに関係式 が全 で成り立つことも式の上で確認しています。

第3問（面積の最大：放物線と直線で囲む領域）　答：(1) 2点は放物線 の弧上にとり、 では両端 、 では と ／(2) ／(3) 下記のとおり

【📖大切な定義】　領域 は放物線 と直線 で囲まれた凸領域です。頂点 を固定したとき、三角形 の面積は （あるいは ）について1次式の絶対値、すなわち下に凸なので、最大は の端点でとります。 の端点は放物線の弧 上の点だけ（上辺 の内部の点は端点ではない）なので、 と置けます。

【👀ここに注目】(1) 面積が最大になる位置　 の面積は、行列式を展開して として

これを で最大化します。両偏微分を とおくと、和から 、差から が出ますが、これを連立すると判別式が負になり、正方形 の内部に停留点は存在しません。したがって最大は境界、すなわち の少なくとも一方が （=上端の角）のときに現れます。片方を右上の角 に固定して他方を動かす場合と、左上の角 に固定する場合を比べると、面積はそれぞれ

となり、 では左上固定のほうが大きくなります。ゆえに、 が大きいときは 一方を左上の角 、他方を 、 が小さいときは 両端の角 にとったときに面積が最大になる、と読み取れます。境目は後述のとおり です。

【👀ここに注目】(2) を求める　左上固定 のとき、面積の中身は の絶対値で、 では下に凸、頂点 で最小（絶対値は最大）をとります。 となる条件は で、このとき

一方 では が範囲外となり、最大は両端の角 のとき、すなわち底辺 ・高さ の三角形で です。まとめると

では となり、両者はなめらかにつながります。

【👀ここに注目】(3) グラフの概形と性質　 は、 では の水平線、 では の増加曲線です。後半で を調べると、 で、 では 。よってグラフは で傾き の水平部分から立ち上がり、以後単調に増加します。重要な性質①： の最小値は で、 の区間全体でその最小値をとる（ で水平部分と曲線が傾きまで一致してなめらかに接続する）こと。重要な性質②： で となり、直線 を漸近線として上側から近づくこと。この2点が概形を特徴づける性質と考えられます。

【✅検算】　放物線上の2点 をそれぞれ細かく走査して三角形の面積の最大を数値で求めると、 では （最大点は ）、 で 、 で 、 で 、 で となり、いずれも閉じた式 の値と一致しました。最大を与える点も、一方が （左上の角）、他方が （ なら 、 なら ）と理論どおりに現れます。

第4問（整数：等式 の対合と二平方和）　答：(1)〜(4) 下記の証明（組の総数は奇数）／(5) と表せる

【📖大切な定義】　 を素数とし、自然数（正の整数）の組 で を満たすもの全体 を考えます。両辺の大きさから は有限集合です。この集合の上に、条件で場合分けされた変換（対応）を定め、それが「2回施すと元に戻る」対合になっていることを使うのが本問の骨格です。有限集合上の対合では、要素は「2個ずつの組」と「動かない点（不動点）」に分かれるため、要素の総数と不動点の個数の偶奇が一致します。これがフェルマーの二平方和定理を導く鍵になります。

【👀ここに注目】(1) (i) が等式を保つこと　 が を満たすとき、 について

また 、そして （条件 は と同値）なので、 は自然数の組として再び等式 を満たします。

【👀ここに注目】(2) は起こらない　もし なら で となり、素数 が平方数になって矛盾します。もし なら となり 、これは が奇数であることに反します。ゆえにどちらも成り立ちません。これにより、任意の は (i) 、(ii) 、(iii) のちょうど1つに必ず該当し、変換が全体で一意に定まります。

【👀ここに注目】(3) 唯一の不動点　(i) では すなわち 、(iii) では すなわち となり、いずれも自然数の条件に反するので不動点になりません。(ii) では から が必要十分です。 のとき で、 が素数かつ より 。すると から 。よって不動点は

ただ1つに定まります（ を確かに満たします）。

【👀ここに注目】(4) 2回施すと元に戻り、総数は奇数　変換を とします。たとえば (i) で得た は より (iii) に該当し、(iii) を適用すると と戻ります。(ii)・(iii) の場合も同様に確かめられ、、すなわち は 上の対合です。対合のもとで は「 という2元の組」と「不動点」に分割されるので、 の要素数は不動点の個数と同じ偶奇になります。(3) より不動点はちょうど1個なので、組の総数は奇数と判断できます。

【👀ここに注目】(5) と表せる　もう1つの対合として、 と を入れ替える写像 を考えます。 なので は 上の対合で、その不動点は を満たす組です。 の要素数は (4) より奇数なので、 の不動点の個数も奇数、とくに ではありません。したがって となる組 が少なくとも1つ存在し、その組について

と表せます。これでフェルマーの二平方和定理（ で割って 余る素数は2つの平方数の和で表せる）が導かれました。

【✅検算】　 について、 を満たす自然数の組をすべて列挙しました。組の総数はそれぞれ で、いずれも奇数。変換 が であること、不動点が常に ただ1つであることも全数確認しました。さらに を満たす組から が実際に得られ、 の主張と一致しました。

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