慶應義塾大学 2021年度 数学

慶應義塾大学 医学部 2021年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（小問集合：平面ベクトル・回転体の体積・2次方程式と集合）　答：(1) BC、OP、／(2) (え)、(お)／(3)

【📖大切な定義】(1)は「半径 の円に内接する三角形」＝外心Oから各頂点までの距離が の設定です。位置ベクトルの一次関係を2乗すると内積が取り出せ、辺の長さは差ベクトルの大きさ で求まります。(2)は曲線 と 軸で囲む領域の 軸回りの回転体で、体積は 。(3)は2次方程式の判別式で解の実・虚を、解と係数の関係で実部・虚部を管理します。

【👀ここに注目】(1)は の両辺の大きさを2乗して を出すのが起点。Pは が の和で書けることと「BC上では係数の和が 」から一気に決まります。(2)は正の交点 と を使うと積分後が の定数倍にまとまります。(3)は の符号と、整数解については の因数分解が決め手です。

方針・解答：(1) の両辺を2乗すると、 より よって となり 。次に だから、。Pが直線BC上にある条件「係数の和」より 、ゆえに 。面積は、 と の内積をとって を得るので、Oを原点に ととれ、

(2) の正の解は （）。 では指数 、括弧内 だから （(え)）。また の の指数は で、 で でない数に収束するのはこれが 、すなわち （(お)）。

(3) 。相異なる実数解は 、すなわち または 。 内の整数は （90個）と （86個）で 。次に実部が より大きい集合 ：虚数解のとき実部は で、、範囲 と合わせ （5個）。実数解のときは 軸 より 、すなわち （3個）。よって 。したがって 、。整数解の集合 ：相異なる整数解 は を満たし、 の約数対（正負各4組）から 。 は重解の整数（ で 、 で ）と、虚数解で実部・虚部がともに整数になる （解 ）の計 。

【✅検算】(1) 数値で 、、、面積 、Pが 上かつBC上（）をすべて確認。(2) 数値積分で のとき 、 で のとき と一定になることを確認。(3) の全数調査プログラムで を再現し、 の 、 の も一致しました。

第2問（データの分析：順位相関係数）　答：(1) 、／(2) 証明（下記）／(3) (う)、(え)／(4) (お)、(か)、(き)、(く)

【📖大切な定義】英語の順位 、理科の順位 はともに の並べ替えです。平均 、分散 、共分散 、相関係数 。この問題は を用いて を書き直す、いわゆるスピアマンの順位相関係数の導出です。

【👀ここに注目】 は同じ集合 の並べ替えなので 。(3)は と分解すると が効いて だけが残ります。(4)は の最大・最小を、順位が完全一致・完全逆順の場合として読むのが要点です。

方針・解答：(1) 、。

(2)〔証明〕。いま は奇数の2倍だから自然数 を用いて と書け、（分母を払う形にすると） ここで はともに奇数なので は奇数、よって は整数ではありません。一方 は整数だから は整数です。したがって中括弧内は「整数－非整数」で になり得ず、 が成り立ちます。〔証明終〕

(3) を代入すると、 より ゆえに (う)、(え)。

(4) が大きいほど も大きい完全一致 （(お)）のとき だから （(か)、最大）。逆に が大きいほど が小さい完全逆順 （(き)）のとき 、 となり （(く)、最小）。

【✅検算】 で を確認。無作為な並べ替えについて (3)の閉じた式 がピアソンの相関係数と数値一致（例：ある並べ替えで両者 ）。完全逆順で となることも確認しました。

第3問（2次曲線：2つの塔とアポロニウスの円）　答：(1) 、半径 ／(2) (え)、／(3) （(く)(こ)は ）、楕円 、焦点 ；双曲線 、焦点 ；直角双曲線

【📖大切な定義】水平面上の点Pから高さ の塔の先端を見上げる仰角 は 。2つの塔（足元A 高さ 、足元Q 高さ ）を等しい仰角で見上げる条件は 、すなわち 。これは2定点への距離の比が一定な点の軌跡＝アポロニウスの円（比が でないとき）に他なりません。式では を用います。

【👀ここに注目】P について を立て、(1)は を代入して平方完成。(2)(3)は「 軸上（）・ 軸上（）にただ1点」を、 あるいは の2次方程式が重解をもつ条件、すなわち判別式へ翻訳するのが核心です。

方針・解答：(1) を代入すると 。 で割って平方完成すると よって中心 、半径 。

(2) を代入すると 軸上にただ1点となるのは、これが の2次方程式として重解をもつとき。判別式を整理すると を得ます。これを満たす実数 が存在するには右辺の係数が正、すなわち （(え)）。このとき より、Qは2直線 、 のいずれかの上にあります。

(3) を代入すると 。 軸上にただ1点となる（重解）条件を判別式で整理すると となり、Qはこの2次曲線 上にあります（ の1次・ の1次の係数は ）。 のとき は楕円で、 より焦点は 軸上の 。 のとき は双曲線 （ の係数が負）で、焦点はやはり 。さらに直角双曲線となるのは 、すなわち のときです（(と)）。

【✅検算】 で(1)の中心 、半径 を確認し、円周上の点が を満たすことも数値一致。(3)は （例 ）のとき の係数が と絶対値が等しくなり、直角双曲線の判定と整合しました。

第4問（微分積分：懸垂線に接する円）　答：(あ)、(い)／(う)／(え)、(お)／(か)

【📖大切な定義】曲線 （懸垂線）上の点 で円 と共通接線をもつとは、円が点Pで曲線に接するということ。このとき円の中心Q は、点Pでの法線方向に沿って距離 だけ離れた位置にあります。 より接線方向は 、法線方向の単位ベクトルは （凹側＝上向き）です。

【👀ここに注目】(あ)(い)は「中心＝P＋×法線単位ベクトル」で一発。 の指定が符号（上向き法線）を決めます。(う)は を と読み替え、右辺の下限が であることが要点。(か)は媒介変数微分で となる巧妙な約分を見抜き、 を で解くのがポイントです。

方針・解答：中心は だから （(あ)(い)。 と整合します。）

(う) がすべての で成り立つ条件は 。関数 は で単調増加し で に近づくので、下限は 。ゆえに求める条件は （ でも が成り立つため等号を含みます）。

(え)(お) (う)が成り立たない、すなわち のとき、 とおくと 。 より で最小となり、（(え)）、最小値 （(お)）。