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藤原進之介です。このページでは医学部2009年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
数学 問題
数学 解答
📑 この年度の大問インデックス（全3問）
解説が長いので、解きたい大問へ直接移動できるようにしています。解けなかった問題は、解説を読んだあとに同じ型の問題で当て直すと定着が速くなります。
🧭 近畿大学 2009年度数学｜大問ごとに「使う型」を対応させた表
解けなかった大問がどの型に属するのかを一覧にしました。解説を読んだあと、型のページで同じ判断を使う問題を数問当てると定着が速くなります。この年度は難易度と目標時間を掲載していないため、それらは載せていません。
型の全体像は解法パターン事典、他の年度・他大学は過去問解説の総索引から。近畿大学の年度一覧は各ページ末尾のナビでも確認できます。
近畿大学 医学部 2009年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】
出題形式と傾向：前期日程の大問3題構成です。第1問は正12角形・正6角形を題材にした空欄補充（マーク型）で、加法定理による75°の三角比と正多角形の面積を問う「三角比の総合問題」。第2問は円と直線が2交点で交わる条件から、弦の中点の軌跡を追う「図形と方程式」の王道テーマ。第3問はさいころで1加算・2加算を繰り返す確率漸化式で、隣接3項間の関係式から一般項を導く「確率と数列の融合」です。全体として、公式の丸暗記ではなく「なぜその式になるのか」を辿れるかが問われる、標準〜やや発展の良問セットと言えるでしょう。
合否を分ける点：第1問は sin75°・cos75° を加法定理で正確に出せるか、そして正多角形を「中心から引いた合同な三角形の集まり」として面積を組み立てられるかが鍵になります。第2問は「弦の中点は中心から弦に下ろした垂線の足」という一点に気づけば、実は直径 PQ を見込む円（タレスの定理）として軌跡が即座に読めます。第3問は「S=n に至る直前がAかBか」で場合分けして3項間漸化式を立て、階差数列（等比型）に持ち込む流れが定石です。いずれも典型の道具を素直に組み合わせる設計なので、手順の正確さがそのまま得点につながると考えられます。
※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。
第1問（三角比・正多角形の面積） 答：ア=75、イ=(√6+√2)/4、ウ=(√6−√2)/4、エ=(√6+√2)/2、オ=3(2+√3)、カ=(3√3/2)(2+√3)
【📖大切な定義】正n角形の中心Oと隣り合う2頂点が作る三角形は、2辺が外接円の半径に等しい二等辺三角形です。中心角は 360°/n。加法定理 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ、cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ を使えば、15°刻みの角の三角比はすべて有名角から作り出せます。
【👀ここに注目】正12角形なので中心角 ∠AOB=360°/12=30°。△OABは OA=OB の二等辺三角形なので、底角 ∠OAB は (180°−30°)/2 で一気に決まります。75°=30°+45° と分解できる点が、この問題全体の入口です。
方針・解答（1）：∠OAB=(1/2)(180°−30°)=75°（ア）。加法定理で より イ=(√6+√2)/4。同様に より ウ=(√6−√2)/4。
方針・解答（2）：OからABに下ろした垂線の足をZとすると、AZはABの半分で 1/2、しかも AZ/OA=cos∠OAB=cos75°。よって となり エ=(√6+√2)/2（分母を有理化した形）。面積Sは、△OABを12個集めたものと見て より オ=3(2+√3)。正6角形ACEGIKの1辺は、1つおきの頂点間の距離 AC=2·OA·sin(∠AOC/2)=2·OA·sin30°=OA なので、1辺 OA の正六角形として より カ=(3√3/2)(2+√3)。
【✅検算】OA=(√6+√2)/2≈1.9319 を数値化すると、正12角形の面積公式 3cot15°=3(2+√3)≈11.196 と S が一致。正六角形も (3√3/2)·OA²=(3√3/2)·3.732≈9.696 で 3√3+9/2 に一致。さらに sin75°≈0.9659、cos75°≈0.2588 は電卓値と桁まで合致します。
【💡ポイントコラム】「中心から見る」と正多角形は三角形の集まりになる：正n角形の面積は、中心と各辺が作る合同な二等辺三角形をn倍する、というただ一つの発想で処理できます。第1問の正12角形（S）も正6角形（T）も、外接円の半径 OA さえ押さえれば、あとは (1/2)·(2辺)·sin(はさむ角) の面積公式に流し込むだけです。「1辺の長さ」からいきなり攻めるより、半径を主役に据えるほうが式が軽くなると考えられます。
【💡ポイントコラム】75°は「30°＋45°」の合図：15°・75°・105°といった角が出たら、有名角の和や差に分解できないかをまず疑う習慣が有効です。二重根号を避けた形が要求されているのも、加法定理で素直に (√6±√2)/4 の形へ導けというメッセージと読めます。
第2問（図形と方程式・軌跡） 答：(1) −12/5＜k＜−4/3、(2) X=(−6k²−14k+2)/(k²+1)・k=(Y−14)/(X+6)、(3) x²+4x+y²−14y−12=0、(4) 円(x+2)²+(y−7)²=65 の弧
【📖大切な定義】中心 (a,b)・半径 r の円と直線が異なる2点で交わる条件は、（中心と直線の距離 d）＜ r。また、円の弦の中点Mは、中心から弦に下ろした垂線の足に一致します（中心・弦の中点・弦は直角三角形を作る）。この2つが本問の背骨です。
【👀ここに注目】直線 ℓ:y=k(x+6)+14 は、kの値によらず必ず定点 (−6,14) を通ります（x=−6 を代入すると y=14）。すると弦の中点Mは、円の中心 P(2,0) と定点 Q(−6,14) の両方から見て直角、つまり「線分PQを直径とする円」の上に乗る——これがタレスの定理による軌跡の正体です。
方針・解答（1）：ℓを kx−y+6k+14=0 と書き、中心 (2,0) との距離が2未満： 両辺を2乗して整理すると (8k+14)²＜4(k²+1)、すなわち 15k²+56k+48＜0。因数分解 (3k+4)(5k+12)＜0 より −12/5＜k＜−4/3。
方針・解答（2）：Mは、P(2,0) を通り ℓ に垂直な直線と ℓ の交点です。k≠0 のとき垂線は y=−(1/k)(x−2)。ℓと連立して x を解くと （k=0 のときも ℓ:y=14 に対する垂線 x=2 で X=2 が同式に含まれます）。またMは ℓ 上の点だから Y=k(X+6)+14、これを解いて k=(Y−14)/(X+6)。
方針・解答（3）：Xの式に (k²+1)X=−6k²−14k+2 の形を用意し、k=(Y−14)/(X+6) を代入してkを消去します。整理すると すなわち軌跡を表す円の方程式は x²+4x+y²−14y−12=0。平方完成すると (x+2)²+(y−7)²=65 で、中心 (−2,7)・半径 √65 の円です。
方針・解答（4）：Mが動く範囲は、kが (1) の開区間を動くぶんだけの円弧になります。両端は k=−4/3 のとき (18/5,6/5)、k=−12/5 のとき (2/13,−10/13)。この2点自身は範囲に含まれない（白丸）ので、円 (x+2)²+(y−7)²=65 のうち、これら2点を結ぶ短いほうの弧（端点を除く）を太線で描きます。
【✅検算】(3)の円は、Pとの直径を見込む円という見立てから独立に確認できます。P(2,0)・Q(−6,14) の中点は (−2,7)、半径² は (|PQ|/2)²=(64+196)/4=65。中心・半径が (3) と完全に一致します。端点も k=−4/3 を(2)に代入すると X=90/25=18/5、Y=6/5、k=−12/5 で X=26/169=2/13、Y=−10/13 と、数値がそのまま再現されました。
【💡ポイントコラム】「定点を通る直線」を見抜けば軌跡が見える：y=k(x+6)+14 のようにkが1次で入る直線は、kをくくり出すと必ず定点を通ります。弦の中点は中心と定点を直径の両端に見込む円上——この構図に気づくと、(3)の面倒な文字消去を経由せずに答えの円が先取りできます。計算の裏に幾何がある、という感覚が図形と方程式では強力な武器になるでしょう。
【💡ポイントコラム】交点を求めずに弦を扱う：円と直線の弦の問題では、実際の交点座標を出す必要はほとんどありません。「中心からの距離 d」と半径 r があれば、弦の長さは 2√(r²−d²)、中点は垂線の足。第2問(1)の交差条件 d＜r も同じ道具の一部で、d の不等式を立てるだけで範囲が求まります。
第3問（確率と数列・確率漸化式） 答：(1) p₂=7/9・p₃=13/27、(2) pₙ=(1/3)pₙ₋₁+(2/3)pₙ₋₂、(3) aₙ=(−2/3)ⁿ⁺¹・pₙ=3/5+(2/5)(−2/3)ⁿ、(4) P=98/243
【📖大切な定義】事象A（1または2の目、確率2/6=1/3）でSに1、事象B（3以上、確率4/6=2/3）でSに2を加えます。pₙは「途中でSがちょうどnになる」確率。ある値nに到達する経路は、直前がn−1でA、またはn−2でB、の二通りしかない——この排反な場合分けが漸化式の源です。
【👀ここに注目】各操作は独立で確率が一定なので、pₙの構造は「どこから来たか」だけで決まります。この平行移動の対称性（記憶を持たない性質）が、(4)で「S=4からS=6へ到達する確率＝p₂」という近道を生みます。
方針・解答（1）：S=2はAA（1→2）またはB（一気に2）で起こるので S=3はAAA・BA・AB の3経路で より p₂=7/9、p₃=13/27。
方針・解答（2）：S=nになる直前は、S=n−1でAが起きた（確率 (1/3)pₙ₋₁）か、S=n−2でBが起きた（確率 (2/3)pₙ₋₂）かのいずれか。これらは排反なので すなわち pₙ=(1/3)pₙ₋₁+(2/3)pₙ₋₂。
方針・解答（3）：漸化式の両辺から pₙ を引くと pₙ₊₁−pₙ=−(2/3)(pₙ−pₙ₋₁)。aₙ=pₙ₊₁−pₙ とおけば aₙ=−(2/3)aₙ₋₁ の等比型で、初項 a₁=p₂−p₁=7/9−1/3=4/9。よって より aₙ=(−2/3)ⁿ⁺¹。これを階差として p₁=1/3 から足し上げると すなわち pₙ=3/5+(2/5)(−2/3)ⁿ（n=1でも成立）。
方針・解答（4）：途中でS=3とならないためには、S=2から一気にB（2→4）と跳ぶしかありません。したがって「S=3を経由しない」＝「S=4を経由する」であり、その確率は 1−p₃。そのあとS=4からS=6へ達する確率は、平行移動の対称性から p₂ に等しくなります。ゆえに より P=98/243。
【✅検算】一般項に n=1,2,3 を入れると p₁=3/5−4/15=1/3、p₂=3/5+8/45=7/9、p₃=3/5−16/135=13/27 と(1)に一致。(4)の 1−p₃=14/27 も、独立に「S=2に到達（確率 p₂=7/9）してからBを引く（確率 2/3）」＝(7/9)(2/3)=14/27 と別経路で再現でき、P=(14/27)(7/9)=98/243≈0.4033 が確かめられます。
【💡ポイントコラム】確率漸化式は「直前の一手」で場合分け：pₙ の関係式は、S=nに到達する最後の一手がAだったかBだったかを排反に数えるだけで立ちます。第3問のように加算幅が1と2の二種類なら、自然に隣接3項間漸化式 pₙ=(1/3)pₙ₋₁+(2/3)pₙ₋₂ が現れ、階差 aₙ=pₙ₊₁−pₙ をとれば等比数列に落ちる——この一連の流れは多くの大学で繰り返し問われる王道です。
【💡ポイントコラム】「記憶を持たない」から近道ができる：各操作の確率が一定なので、S=4から2だけ増やす確率は、S=0から2に達する確率 p₂ とまったく同じ形になります。(4)で漸化式を解き直さずに P=(1−p₃)p₂ と一行で書けるのは、この平行移動対称性のおかげです。確率の問題では「今の値がいくつか」だけが効き、そこに至る履歴は効かない、という視点が計算量を大きく減らしてくれます。
この年度からの教訓：2009年度の近畿大学医学部は、三角比・図形と方程式・確率と数列という頻出3分野を、いずれも「定義に忠実な一手」で解ける良問で構成していました。第1問は正多角形を中心から見た三角形の集まりとして捉える視点、第2問は「弦の中点＝垂線の足」と定点通過から軌跡を幾何的に先読みする力、第3問は直前の一手で場合分けして漸化式を立て階差で解く型——どれも特別な発想ではなく、標準的な道具を正確に組み合わせられるかを見ています。日々の学習では、公式を覚えるだけでなく「なぜその式で解けるのか」を一問ごとに言語化する練習が、こうした典型融合問題への最短の対策になると考えられます。
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本ページが扱う入試問題の著作権は 近畿大学 に帰属します。出典：近畿大学 2009年度 入学試験問題「数学」。
掲載しているのは、受験生の学習支援を目的として数強塾が独自に作成した解答・解説です。学校が公表した公式解答ではありません（一般的な解答例と照合した場合は本文中にその旨を明記しています）。問題文の引用は解法の説明に必要な最小限にとどめています。
掲載内容について権利者の方からご連絡がある場合は、お問い合わせより速やかに対応いたします。
解けなかった問題を、そのままにしない。
医学部の数学は「難問勝負」ではなく精度勝負です。手が止まったのが方針なのか、場合分けの宣言なのか、検算なのか——どこで崩れたかで、次にやることは変わります。
近畿大学 数学 過去問｜他の年度を見る
近畿大学の数学の過去問は16年度ぶんを公開しています。そのうち16年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
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近畿大学医学部 2009年度 英語の過去問｜問題と解答のPDFを無料公開同じ大学・同じ年度の英語です。2009年度の数学を解いたあとに続けて確認すると、その年の出題の重さが掴めます。
公開している全年度は近畿大学 医学部 数学 過去問の傾向と解答・解説 年度別まと…にまとめてあります。
問題PDFをテキストでも確認
近畿大学 2009年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 空間図形
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
2009年度の問題PDFでは、確率・場合の数、図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、空間図形に関する語句や設問を確認できました。近畿大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は15年度、微分・積分は15年度、指数・対数は13年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、空間図形
Q) エをょの式で表せ。また. 直線と点 Mの関係を利用して,. たをとY の式で表せ。
(3) まが(1) ORMOMEL > CHLFSLE, 点 Mの軌跡は円の一部分になる。この円の方程式を求めよ。
(3) 点M の軌跡のグラフを描け。
サイコロの 1 または2 の目が出る事象をA。 3以上の目が出る事象を B とする。
最初はう=0として
操作 : 偏りのないサイコロを投げて, 事象Aが起こると9に1を加え, 事象Bが起こると9に2を加える
を繰り返し実施する。このとき, たとえば, 事象がB一AつABつ....の順で起これば, 9の値は0つ2つ3ー
4一6一...・と変化し. この場合には9=ニ1や9ぐ=5は起こらない。
操作を繰り返す途中で San が起こる確率を ヵ。とし, San が起こらない確率を @。ニ1 p。とする (KEL,
ーー12.3...・ ) 。たとえば, S=1 が起こるのは操作 1 回目に事象A が起こるときだけであるから py, = + であり,
S=1 が起こらないのは操作 1 回目に事銀B が起こるときだけであるから 6ニーューか である。
(1) 9 = 2が起こる確率 み Of, BLT, 3が起こる確率 ps の値を求めよ。
(2) 3=ヵが超こる場合として, 直前に事象Aが起こって9ニャになる場合と直前に事象Bが起こって9=ヵに
なる場合がある。このことより, ヵ。 と Paty Pua の関係を求めよ。(ヵー3.4.5...)
(3) mm =Pnti— Pn (N=1,2,3,-++) とおいて. a をnの式で表せ。さらに, p。 をヵの式で表せ。
(4) 途中で 9= 3 とならないで9= 6 となる確率の値を求めよ。
