近畿大学 2011年度 数学

近畿大学 医学部 2011年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（図形と方程式・2円の交わりと外接する共通接線）　答：ア=r、イ=3r、ウ=(a²+3r²)/(2a)、エ=√3 r、オ=r、カ=7/6、キ=√3、ク=6r、ケ=−√2/4、コ=(3√2/2)r

【📖大切な定義】半径 の2円が異なる2点で交わる条件は、中心間の距離 について が成り立つことです。2円の交点は、2つの円の方程式を辺々引くと2次の項が消えて直線（根軸）の式になり、そこから座標が求まります。また正の2数 には相加・相乗平均の関係 （等号は ）が成り立ち、和で表された式の最小値を求める道具になります。

【👀ここに注目】 は中心が原点で半径 、 は中心 で半径 の円です。2円の中心はどちらも 軸上にあるので、位置関係は だけで決まります。交点の 座標は2式の差から一発で出て、 座標はそれを円の式に戻して得られる、という見通しを立てておくと空所が順に埋まります。

方針・解答（1）i）：中心間の距離は 、半径は と です。異なる2点で交わるのは 、すなわち 。よって ア=r、イ=3r。交点は、2式を辺々引くと これが第1象限の交点 P の 座標です（）。よって ウ=(a²+3r²)/(2a)。

方針・解答（1）ii）：P は 上にあるので 。 の範囲では が小さいほど は大きくなるので、 を最小にすればよいことになります。相加・相乗平均より 等号は 、すなわち 、 のときです。よって エ=√3 r。このとき だから で 座標は最大値 をとります。よって オ=r。次に のときの共通部分の面積を求めます。2交点を A、B とおくと、原点 O からの距離は 、また なので は1辺 の正三角形で です。弦 AB はちょうど の中心 を通る直径なので、共通部分は「 の左半分（半円）」と「 を弦 AB で切った右側の弓形」を合わせた図形になります。したがって よって カ=7/6、キ=√3。

方針・解答（2）：2円が外接するのは中心間の距離が半径の和に等しいとき、 です。このとき の中心は原点で半径 、 の中心は で半径 。共通接線 が 軸と交わる点を E とすると、E は2円の外側の相似の中心（外分点）で、E から各中心までの距離の比は半径の比 になります。E を （）とおくと より 、すなわち 。よって ク=6r。次に が （中心 O、半径 ）に接する条件は、O から までの距離が であること 接点がともに第1象限にある接線は右下がりなので 。よって ケ=−√2/4。式に戻すと よって コ=(3√2/2)r。

【✅検算】 で数値確認します。 のときの2円の共通部分を細かい格子で数値積分すると面積は約 で、 と一致します。外接時の接線 、切片 について、原点からの距離を計算すると （）、 からの距離は （）となり、両円にきちんと接することを確かめられます。また交点の一般式 は、 で 、 となり、 を満たします。

【💡ポイントコラム】交点は「引き算で根軸」：2つの円の方程式を辺々引くと の項が消えて直線（根軸）の式になり、交点はこの直線と一方の円の連立で求まります。本問のように中心がどちらも 軸上にあれば、引き算だけで交点の 座標が一次式で出るので、計算がとても軽くなります。

【💡ポイントコラム】共通接線は「相似の中心」から：外接する2円の外側の共通接線は、2円を相似の関係で結ぶ「外分点」で交わります。その点は中心を半径の比に外分する位置なので、接線の傾きを文字でおいて「中心から接線までの距離＝半径」を1本立てれば決まります。相似でとらえると、接点の座標を直接求めずに済むのが利点でしょう。

第2問（空間ベクトル・直方体上の内分点と共線条件）　答：(1) OM=a⃗+(5/6)b⃗+(1/6)c⃗、MG=−(2/3)a⃗−(1/2)b⃗+(1/6)c⃗、s=3/2、ON=(1/12)b⃗+(5/12)c⃗、(2) LD=a⃗+b⃗−t c⃗、LG=(1/3)(a⃗+b⃗)+(1/3−t)c⃗、t=1/2

【📖大切な定義】点 P が線分 QR を に内分するとき、位置ベクトルは で表せます。三角形 ABC の重心 G は 。 が一次独立（同一平面上にない3方向）のとき、あるベクトルを で表す表し方はただ1通りに定まり、係数を比較できます。

【👀ここに注目】直方体 OADB–CPQR は を辺のベクトルにもち、頂点は 、、、 と表せます。面 OBRC は が張る面なので「 の係数が0」、点が面上にある条件はこの一言に翻訳できます。3点が一直線上にある条件は「一方のベクトルが他方の実数倍」に言い換えられる、という2つの視点が本問の骨格です。

方針・解答（1）i）：M は線分 DP を に内分する点なので また G は の重心だから 。したがって よって OM=a⃗+(5/6)b⃗+(1/6)c⃗、MG=−(2/3)a⃗−(1/2)b⃗+(1/6)c⃗。

方針・解答（1）ii）： より N は面 OBRC 上にあり、この面は が張る面なので の係数が0でなければなりません。 より 。よって s=3/2。

方針・解答（1）iii）： を代入すると の係数は0になり よって ON=(1/12)b⃗+(5/12)c⃗。

方針・解答（2）i）：L は線分 OC を に内分するので 。ゆえに よって LD=a⃗+b⃗−t c⃗、LG=(1/3)(a⃗+b⃗)+(1/3−t)c⃗。

方針・解答（2）ii）：3点 D, G, L が一直線上にあるのは、ある実数 で と書けるときです。 は一次独立なので係数を比べると、 から 、 から 。後者を解くと 、すなわち 。よって t=1/2。

【✅検算】 を座標軸方向の単位ベクトルにとって数値で確かめます。、 は上の式と一致し、 を入れた は 成分が0、 すなわち になります。(2)では のとき と の外積が零ベクトルとなり、D, G, L が確かに一直線上に並ぶことを確認できました。

【💡ポイントコラム】面上にある＝「係数が0」：座標空間で「点が の張る面上にある」ことは、その点を で表したときに の係数が0であることと同じです。交点を求める問題では、この一言を係数の方程式に翻訳すればパラメータ（今回の ）が一発で決まります。図形的な交わりを、係数比較という代数の言葉に置き換えるのが要でしょう。

【💡ポイントコラム】共線条件は「実数倍」で：3点が一直線上に並ぶ条件は、始点をそろえた2つのベクトルが平行、つまり一方が他方の実数倍になることです。 とおいて一次独立なベクトルの係数を比較すれば、 と未知数 が連立方程式で同時に求まります。「一直線上」を見たら実数倍、と反射的に動けるようにしておくとよいでしょう。

第3問（微分積分・絶対値つき定積分で表される関数の増減と最小値）　答：(1) x=a+1, 2a、(2) 証明、(3) 0<a<1 のとき S(a)=−a³/3+9a²−17a+41/3、1<a<2 のとき S(a)=a³/3+7a²−15a+13、(4) a=1 のとき最小値 16/3

【📖大切な定義】絶対値つきの定積分 は、区間を の部分と の部分に分け、後者では符号を反転（）して足し合わせます。下に凸な2次関数 （）は2解の間で となり、 という有名公式（面積の公式）が使えます。関数の最小値は、微分した導関数の符号（増減）を調べて求めます。

【👀ここに注目】 は下に凸で、2つの解 と をもちます。どちらが小さいかは の大きさで入れ替わり、 では 、 では です。2解の差 が の1次式になるので、 は の3次式として書け、微分して増減を追えば最小値が見えてきます。

方針・解答（1）： を因数分解します。 と書けることは、展開すると となって確認できます。よって を満たす は x=a+1, 2a。

方針・解答（2）： の2解を （ともに ）とすると、 は下に凸なので で 、それ以外で です。よって 原始関数 を用いると これが与式の前半です。さらに より したがって が成り立ちます。（証明終）

方針・解答（3）：まず定積分の共通部分を計算します。 次に2解 と の位置で場合分けします。
[1] のとき だから 、。よって [2] のとき だから 、。よって まとめると 0<a<1 のとき S(a)=−a³/3+9a²−17a+41/3、1<a<2 のとき S(a)=a³/3+7a²−15a+13。

方針・解答（4）：それぞれ微分して増減を調べます。
[1] ：。この区間では より 、よって となり は単調に減少します。
[2] ：。この区間では より 、よって は単調に増加します。
以上より は で減少、 で増加します。 は （ や の境界）でも(2)の等式が成り立ち連続なので、 全体では で最小になります。最小値は （1<a<2 の式で としても同じ値です。）よって a=1 のとき最小値 16/3。

【✅検算】 を、各 について直接数値積分して確かめます。 では数値積分値 、公式 も で一致。 では数値積分値 、公式 も で一致します。 では数値積分値 。さらに を細かく刻んで を数値的に走らせると、最小はおよそ 近傍でとられ、値も に落ち着くので、増減と最小値がぴったり整合します。

【💡ポイントコラム】絶対値積分は「符号で割って公式へ」： は、まず の符号が変わる点（＝解）で積分区間を割るのが出発点です。下に凸な2次関数なら2解の間だけ符号が負なので、そこだけ反転させれば計算できます。とくに の公式を使うと、面積部分が だけで表せて見通しがよくなります。

【💡ポイントコラム】最小値は「増減表でつなぐ」：区間ごとに式が変わる関数の最小値は、各区間で導関数の符号を調べ、減少から増加へ切り替わる境目を探すのが定石です。本問では を境に が減少から増加へ転じるので、その1点が最小候補になります。境界で連続であることに触れておくと、場合分けをまたいだ最小値の議論に穴がなくなるでしょう。

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