近畿大学 2015年度 数学

近畿大学 医学部 2015年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（図形と方程式：2つの円の交わり）　答：ア 　イ 　ウ 　エ

【📖大切な定義】円 は と平方完成でき、中心と半径が読み取れます。2つの円が異なる2点で交わる条件は「中心間の距離 が2半径の差より大きく和より小さい」、すなわち です。また2円の方程式の差をとって得られる1次式は、2交点を通る直線（根軸）を表します。

【👀ここに注目】(1)は「 を含む項だけを分離」すると定点が一瞬で見えます。(4)は正三角形 APQ で が半径 に等しいことから、頂点 A と対辺 PQ（＝根軸）との距離が高さ になる、という図形的翻訳が鍵になります。

方針：まず両円を標準形に直し、中心と半径を確定。(1) は の項の分離、(2) は交わり条件の不等式、(3)(4) は根軸 を主役にして進めます。

解答　両円を平方完成すると、 より中心 ・半径 、 より中心 ・半径 です。

(1) の式を について整理すると 。これが の値に関係なく成り立つには かつ が必要で、。よって定点は （ア）。

(2) 2円が異なる2点で交わる条件は 。、 を代入し、両辺正なので2乗して を整理します。右側の不等式 からは となり、 では で不成立、 では より 、すなわち 。左側の不等式は のとき自動的に満たされることも確認できます。よって求める範囲は （イ）。

(3) 2式の差をとると 、両辺を で割って根軸 を得ます。これが P, Q を通る直線ですから、傾きは 。これが に等しいとき 、すなわち （ウ）。これは を満たし、条件と整合します。

(4) 直線 が P, Q を通ります。 が正三角形のとき、 より1辺 の正三角形となり、頂点 A から対辺 PQ までの距離（高さ）は です。点 と直線 の距離を立式すると両辺2乗して 、展開すると 。解の公式より 。 なので2解はともに を満たし、いずれも適します。よって （エ）。

【✅検算】(2) は （範囲内）で中心間距離 、 となり で交わり成立、（範囲外）では で交わらず、境界を正しく分けています。(3) は のとき根軸 （傾き ）を確認。(4) は を距離の式へ数値代入すると となり一致しました。

【💡ポイントコラム】「定数の値によらず通る定点」を求めるタイプは、図ではなく式変形で処理します。文字 について1次に整理し、 の係数＝0 と残りの項＝0 を連立するのが定石です。本問なら の形にした瞬間、 と が同時に読み取れます。

【💡ポイントコラム】2円の交点に関する条件は、多くの場合「根軸」を主役にすると見通しが良くなります。交点そのものを求めなくても、根軸の傾き（本問(3)）や、中心から根軸までの距離（本問(4)）に翻訳できるからです。正三角形・二等辺三角形などの図形条件は「中心と弦の距離」に落とすのが近道だといえるでしょう。

第2問（平面ベクトル：交点の位置ベクトルと面積比・直交条件）　答：(1) 　(2) 　(3)

【📖大切な定義】2直線の交点の位置ベクトルは「一方の直線上の点」を2通りの媒介変数で表し、 が1次独立であることを使って係数比較すれば求まります。三角形の面積比は、 と のように共通の頂点・辺をもつとき、 と表したときの 方向の成分 （外積比）で決まります。正三角形では 、 が要になります。

【👀ここに注目】(2) の という条件は、点 F が辺 OA を に内分できる（）ことを保証するためのもの。(3) の直交条件は「」をそのまま内積展開し、 を で書き換えるだけで の2次方程式になります。

方針：交点は「2直線上の点」を係数 で表して係数比較。面積比は交点の 成分に着目。(3) は2つのベクトルを で表し、内積＝0 を で整理します。

解答　(1) C は OA の中点なので 、D は OB を に内分するので 。E は直線 AD 上より 、直線 BC 上より と2通りに表せます。1次独立性から と を連立すると 、。よって

(2) F は OA を に内分するので 、G は OB を に内分するので 。H は直線 AG 上より 、直線 BF 上より と表せます。係数比較 から を代入して 、整理すると 。ここで と は辺 OA を共有し、 の 成分が なので面積比は に等しく

(3) 、。 は1辺 の正三角形なので 、。AG と BF が直交する条件 を展開すると で書き換えると 。 より 、解の公式で 。 を満たすのは のみ（ より約 ）なので 。

【✅検算】(1) は と具体化し、直線 AD（–）と直線 BC（–）の交点を座標計算すると 、これは に一致。(2) は で公式が 、同じ座標で H を求め 成分を計算しても約 で一致。(3) は と正三角形の座標 を用いて を数値計算すると となり直交を確認しました。

【💡ポイントコラム】交点の位置ベクトルは「メネラウスの定理」でも求められますが、媒介変数を2本立てて係数比較する方法は、比の向きを間違えにくいという利点があります。どちらの流儀でも、最後に の係数の和が になる（直線上の点の条件）かどうかで検算できると安心です。

【💡ポイントコラム】面積比を「係数」で読む発想は強力です。 のとき、O・A を共有する三角形の面積比は 方向の成分 に等しくなります。これは という外積の関係から導かれ、面積を実際に求めずに比だけを取り出せる点が便利です。

第3問（数列：群数列）　答：(1) 28　(2) 3755　(3) 29個

【📖大切な定義】与えられた数列 は、第 群に 個の項を含み、各群が （一般項 ）と並ぶ群数列です。第1群から第 群までの総項数は 。ある通し番号の項が「第何群の何番目か」を、この三角数の不等式で挟んで特定するのが群数列の基本です。

【👀ここに注目】(2) は「第19群まで（完全な群）の和」＋「第20群の先頭10項の和」に分けます。(3) は和が を初めて超える項と 未満で最後になる項を、群の“途中”で押さえる必要があり、端点の1個の数え方が答えの個数を左右します。

方針：第 群の 番目は 、第 群の和は 、第 群までの累積和は という3つの式を用意し、あとは通し番号と群の対応を丁寧に追います。

解答　(1) 第 群までの総項数は で、 のとき 、 のとき 。よって第200項は第20群の 番目の項です。第 群の 番目は なので、。

(2) 第 群の和は 。第1群から第19群までの和は第20群の先頭10項の和は 。よって初項から第200項までの和は 。

(3) 第 群までの累積和はこの値は で 、 で 、 で 。したがって は「第22群の途中から第23群の途中まで」で起こります。まず和が を初めて超える項を探すと、第21群までで 、第22群の先頭から 項を加えて 、すなわち 。最小の整数は （、 では ）。この項の通し番号は で、。次に 未満で最後になる項は、第22群まで 、第23群の先頭から 項を加えて 、すなわち 。最大の整数は （、 では ）。この項の通し番号は で、。よって を満たすのは の範囲で、個数は 個。

【✅検算】(1)(2) は数列を第20群まで実際に書き出し、第200項が 、先頭200項の和が となることを逐次加算で確認。(3) は累積和 を で評価して を確かめたうえで、、 を直接計算し、境界の項番号 と を確定。個数 も端点を含めて数え直して一致しました。

【💡ポイントコラム】群数列で「第 項が第何群か」を求めるときは、総項数 が を初めて超える を探すのが定石です。等号成立（ちょうど群の末尾）の場合を取りこぼさないよう、 と のように前後2つの値を必ず並べて確認すると安全でしょう。

【💡ポイントコラム】(3) のように「和がある範囲に入る項数」を問う問題は、①群単位の累積和で大まかな位置を挟み、②群の途中は1個ずつ加える不等式で端点を確定、という二段構えが有効です。最後は「大きい方の番号－小さい方の番号＋1」で個数を出しますが、この“＋1”を忘れると1個ずれるので、具体的な小さな例で数え方を点検する習慣が役立ちます。

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