近畿大 医学部2016年度数学 過去問の傾向と解答・解説

近畿大学 医学部 2016年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（場合の数・確率）　答：ア 、イ 、ウ 、エ 、オ 、カ

【📖大切な定義】正多面体（正凸多面体）は正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体の5種類しか存在しません。この5種の面数がそのまま のとりうる値になります。また「回転させて一致するものは同じ 面ダイスとみなす」ため、面への数字の書き方の総数は、単純な 通りをその立体の回転群の位数で割った同値類の個数として数えるのが要点です。

【👀ここに注目】(3)の確率は「積が4の倍数」「積が100以上」という条件を、素因数2の指数や の値での場合分けに翻訳すると、数える対象がはっきり整理できます。積の条件は、直接すべてを列挙するよりも「何が最低限必要か」を軸に分類するのが安全です。

(1) アの方針・解答：
正多面体は正四面体（4面）・正六面体（6面）・正八面体（8面）・正十二面体（12面）・正二十面体（20面）の5種類なので、 は5つの値をとり、その和は （ア ）。

(2) イ・ウ・エの方針・解答：
各面に から を1つずつ書く総数は 通りですが、回転で一致するものを同一視するので、書き方の総数は で求まります。
・（正四面体、回転群の位数12）：（イ ）。
・（正六面体、回転群の位数24）：（ウ ）。
・（正八面体、回転群の位数24）：（エ ）。

(3)(i) オの方針・解答：
4面ダイスの目 、8面ダイスの目 は等確率で、全事象は 通り。積 が4の倍数、すなわち素因数2の指数の和が2以上になる場合を数えます。
・（指数2）： は任意で8通り。
・（指数1）： は偶数 の4通り。
・（指数0）： は4の倍数 の2通りずつで計4通り。
合計 通りなので、確率は （オ ）。

(3)(ii) カの方針・解答：
4面・6面・8面ダイスの目を とすると全事象は 通り。 となる組を で場合分けします。
・： だが で不可能。
・： だが同様に不可能。
・：。 の5組。
・：。 の10組。
合計 通りなので、確率は （カ ）。

【✅検算】(2)は「1つの面を固定する」別解でも確認できます。 は「1」を書く面を固定し残り3面の円順列 。 は「1」の対面を選ぶ5通りと残り側面4枚の円順列 で 。 は「1」の対面7通りと、隣接関係の2通り・残り5面の で となり、いずれも回転群で割った値に一致します。(3)(i)は余事象「積が4の倍数でない」を数えても16通りで、 と一致。(3)(ii)は を約分すると で、直接列挙した15組と食い違いがないことを確認しました。

【💡ポイントコラム】「回転して同じものは同じ」という条件が付いたら、まず総数 をその立体の回転群の位数で割るのが最短です。正四面体は12、正六面体・正八面体はともに24と覚えておくと、面ダイスの数え上げが一瞬で片づきます。正六面体と正八面体が同じ位数24なのは、両者が互いに双対で回転対称性を共有するためです。

【💡ポイントコラム】積が「4の倍数」になる確率は、各因数の素因数2の指数の和が2以上か、という視点に翻訳すると数え違いが激減します。積が「一定値以上」になる確率は、いちばん大きい目から場合分けして上限との兼ね合いで枝刈りすると、不可能なケースを早く切り落とせて安全です。

第2問（方程式・図形と計量・平面図形）　答：(1) 　(2) 、外接円の直径 　(3) 、

【📖大切な定義】3次方程式が異なる3個の実数解を持つ条件は、定数を分離して の形にし、3次関数のグラフと水平線 が3点で交わる、すなわち が極小値と極大値の間にある、と言い換えるのが定石です。三角形では余弦定理と正弦定理、面積比ではメネラウスの定理が基本の道具になります。

【👀ここに注目】(2)の外接円は、 の二等分線が作る に正弦定理を用いると直径が一気に出ます。半角の関係 を経由するのが鍵です。(3)は交点 をメネラウスの定理で の式にし、2つの三角形の面積を で表して等号でつなぎます。

(1) 方針・解答：
を と変形し、 とおきます。 より、 で極大、 で極小。極大値 、極小値 。異なる3個の実数解を持つのは がこの2値の間にあるときなので、。

(2) 方針・解答：
に余弦定理を用いて 。
半角より 、。 の二等分線と の交点 は より 。 で だから、正弦定理より外接円の直径は 。

(3) 方針・解答：
は の中点、 は線分 を に内分する点、 は直線 と辺 の交点です。 と直線 にメネラウスの定理を用いると 、 と直線 に用いると 。、 を代入して整理すると 、さらに から 。
面積は （ただし ）、 を整理して 。両者が等しいとして 、すなわち より 。

【✅検算】(1)は で重解が生じ解が2個になることから、開区間 が妥当。 を代入すると が異なる3実数解を持ち、区間内で確かに3解となります。(3)は座標で独立検算しました。 とおくと 、、。面積は 、 となり、等号から 、 と一致。 のとき で、両面積とも にそろうことも確認しました。

【💡ポイントコラム】3次方程式の解の個数は「文字定数の分離 」に持ち込むのが最短です。極大値・極小値さえ出せば、 が両者の間なら3個、一致すれば2個（重解）、外なら1個、と機械的に判定できます。パラメータ を左辺に残したまま判別式で悩むより、グラフで水平線を上下させるイメージが確実です。

【💡ポイントコラム】角の二等分線が絡む外接円では、二等分してできた小さい三角形に正弦定理を当てるのが定番です。 の は半角公式 で出せるので、 さえ求まれば直径まで一直線です。

第3問（微分積分・放物線と接線）　答：(1) 　(2) 、　(3) 　(4)

【📖大切な定義】放物線 上の点 における接線は です。放物線と直線（弦や接線）で囲まれた面積は、被積分関数が2次式の平方や積の形になるため、 の「 公式」で一気に処理できます。

【👀ここに注目】点 から引いた接線の接点を とおくと、通過条件から 、すなわち が出ます。傾き は が大きいほど大きいので、（傾き大）が 、 が に対応します。

(1) 方針・解答：
の導関数は 。点 は で曲線上にあり、そこでの傾きは 。よって接線は 。

(2) 方針・解答：
上の点 での接線は 。これが を通るので 、、（）。傾き は が大きいほど大きいので、傾きの大きい は 、 は 。
・、接点 。
・、接点 。

(3) 方針・解答：
を通る直線は、傾きが 、切片を求めると 。求める面積は

偶関数なので 。

(4) 方針・解答：
は で交わり（ともに切片 ）、 と2接線で囲む面積 は を境に2つに分けます。左側の被積分関数は 、右側は 。

よって 。

【✅検算】(1)は接線 が を通り（）、傾きも で整合。(3)(4)は を代入して数値検算しました。 のとき で、。公式値 と一致。 は 、公式値 と一致し、比は を再現しました。

【💡ポイントコラム】放物線の外の1点から引いた2接線の接点は、通過条件を接点パラメータ の方程式にすると左右対称に の形で出ます。傾き が の1次式である以上、 の大小がそのまま傾きの大小になるので、 の対応づけで迷いません。

【💡ポイントコラム】放物線と接線で囲む面積は、被積分関数が必ず の完全平方になります。今回は主係数4なので の形にまとまり、原始関数 が即座に書けます。弦で囲む と2接線で囲む の比が になるのは、放物線・弦・接線がつくる面積の有名な関係の一例です。

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