近畿大学 2018年度 数学

近畿大学 医学部 2018年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（指数・対数関数、直線の不変性）　答：ア 、イ 、ウ 、エ 、オ 、カ 、キ 、ク 、ケ

【📖大切な定義】指数法則より 、、 です。そこで と置くと、 の範囲でさまざまな指数式が の多項式に統一されます。また正の実数 に対する相加平均・相乗平均の関係 （等号は ）は、指数関数の最小値問題の常套手段です。対数の部分では、最大公約数 と最小公倍数 を （ は互いに素）と表すと となる、という整数の基本を用います。

【👀ここに注目】(1)は で3次式に因数分解し、 は と の対称式なので の関数に帰着します。(3)は「直線 上の任意の点の像がまた 上にある」という条件を、 についての恒等式として係数比較する点が急所です。

(1) ア・イ・ウ の方針・解答： とおくと 。 は より または 、すなわち だから （ア）。
次に は を に置き換えたもので、。ここで とおくと 、 より、。 では相加相乗平均から （等号 ）で、 は 、しかも の正の根 なので、 で は単調増加です。よって最小は （すなわち ）のときで、。したがって は （イ）で最小値 （ウ）。

(2) エ・オ の方針・解答： に注意して条件を整理します。第1式 は 、すなわち 。第2式 は 、すなわち 。2式の積から なので 、これより 。
そこで （ は互いに素、）とおくと より 。条件 は各辺を で割って 。互いに素で積が となる組は のみ。ゆえに （エ）、（オ）。

(3) カ〜ケ の方針・解答：直線 上の点を と表すと、その像 もまた 上にあるので 。左辺・右辺を について整理すると 。これが任意の で成り立つ（恒等式）ための必要十分条件は
第1式は より 。第2式は で、いずれの も だから 。よって 。 の指定より、カ 、キ 、ク 、ケ 。

【✅検算】(1)の因数分解は （）で 、（）で を直接確認。 は （）で を数値計算すると約 、 で となり最小値 と整合します。(2)は 、、 を満たすことを確認。(3)は のとき点 の像 が 上にあること、 のとき点 の像 が 上にあることを数値で照合しました。

【💡ポイントコラム】 が現れたら「1文字 に置き換えて 」がほぼ定石です。 は の多項式で表せる（、）ので、対称式の最大最小はすべて の1変数問題に落ちます。定義域が の閉じた半直線になる点に注意して増減を調べます。

【💡ポイントコラム】「直線上の任意の点の像がまた同じ直線上にある」という条件は、代表点をパラメータ で置いて の恒等式に翻訳するのが王道です。恒等式は「各次の係数がすべて等しい」と同値なので、係数比較で の方程式が機械的に得られます。1次変換 の固有直線を求めている、と見ると背景も見通せます。

第2問（空間図形・体積比）　答：(1) 倍　(2) 倍　(3) 倍　(4) 倍

【📖大切な定義】正四面体の各面の重心は、その面の3頂点の平均で与えられます。相似な立体の体積比は相似比の3乗に等しく、 倍に縮めた立体の体積は 倍です。本問は座標を1組固定すれば、重心・中点・体積比をすべて計算で追えます。以下、正四面体 を （1辺 ）で表します。この の体積は です。

【👀ここに注目】重心・中点はいずれも「座標の平均」なので、現れる正四面体 、正八面体、立方体はすべて原点中心に整った座標を持ちます。体積比は座標から直接、あるいは相似比の3乗で求まります。(4)だけは平面による切断なので、断面積を積分するのが安全です。

(1) の方針・解答： は の重心 。同様に 。よって正四面体 は を原点中心に 倍（相似比の絶対値 ）に縮小・反転したものなので、体積比は 。したがって 倍。

(2) の方針・解答：辺 の中点はそれぞれ 。これは各座標軸上の を頂点とする正八面体で、体積は「底面が対角線 の正方形（面積 ）、高さ の四角錐2つ分」で 。 の体積 との比は 。したがって 倍。

(3) の方針・解答：正八面体の各面は「各軸上の頂点1つずつ」からなる三角形で、その重心は （符号の8通り）になります。これは1辺 の立方体で、体積は 。 の体積 との比は 。したがって 倍。

(4) の方針・解答： は の重心で、いずれも を満たす立方体の1つの面上にあります。すなわち切断面は平面 。頂点 は 側、 は 側にあるので、 を含む側は の部分です。
断面積を求めます。四面体 を平面 で切ると、辺 との交点を結ぶ平行四辺形になり、その面積は （）と表せます（ で対角線 の正方形、面積 と一致）。全体積 は先の値と合致します。求める部分は
これと全体積 との比は 。したがって 倍。

【✅検算】(1)〜(3)は座標から求めた体積（正四面体 、正八面体 、立方体 ）で比を再計算し、 を再現しました。(2)は「相似比の3乗」の観点からも、正八面体が正四面体を各頂点で相似比 の小正四面体4つ分だけ削った立体で となることを確認。(4)は積分とは独立に、切り取った立体を4つの交点 と からなる立体として四面体3つに分割し、体積比 と、積分値 が一致することを確かめました。

【💡ポイントコラム】正四面体・正八面体・立方体は「頂点 や軸上の 」といった対称な座標で置くと、重心・中点・体積比が一気に見通せます。抽象的な図のままで比を追うより、都合のよい1組の座標を固定してしまうのが計算量を最小化するコツです。

【💡ポイントコラム】立体を平面で切った一方の体積は、切る向きに垂直な軸で「断面積を積分」するのが最も事故が少ない方法です。断面が相似に変化する場合は面積が座標の2次式などで表せ、積分が容易になります。分割による初等的な求め方と積分値が一致するかを照合すると、符号や区間の取り違えを検出できます。

第3問（連立方程式・3次方程式）　答：(1) はともに正　(2) 　(3) 個　(4)

【📖大切な定義】与えられた条件は 、、 の3本です。①より は同符号、②より 、③より （）と、和・積・差がすべて で表せる対称的な構造が要点になります。「和と差が分かれば が定まる」こと、そして「積 を通じて だけの方程式に落とせる」ことを使います。

【👀ここに注目】 を で表して①へ代入し、さらに と置くと、 の3次方程式に集約されます。 なので、(3)で問われる「正の実数解の個数」は、そのまま （したがって解の組）の存在本数に対応します。

(1) の方針・解答：①より なので は同符号。②より 。もし両方負なら和が負となり矛盾するので、 はともに正。

(2) の方針・解答： は③に反するので 。②③より だから
これらを①に代入すると 、すなわち 。 とおいて分母を払うと 、整理して 。よって 。

(3) の方針・解答： は を代入すると なので を因数に持ち、。 の解は で、、 とともに負。したがって の正の実数解は のみで 個。

(4) の方針・解答： は正でなければならないので、(3)より 、すなわち 。これを④に代入します。
のとき より 。
のとき より 。
よって 。

【✅検算】(1)は具体解 がいずれも正の をもつことと整合。(2)の3次方程式は、 を で表した④を数値（例：）で①に戻すと となり、代入過程に誤りがないことを確認しました。(3)は を展開して と元に戻ることを照合。(4)は得られた2組をすべて①②③に直接代入し、：、： と、3条件をすべて満たすことを確認しました。

【💡ポイントコラム】「和・積・差」で書ける対称的な連立は、 を1文字（ここでは ）で表して残る条件へ代入し、1変数の方程式に集約するのが定石です。特に と が分かれば は即座に復元できるので、差を与える式（③）を見逃さないことが鍵になります。

【💡ポイントコラム】 のような置き換えでは、 という置き換えに伴う制約を必ず添えます。3次方程式の実数解が3個あっても、 を満たすのは正の解だけなので、「正の実数解の個数」を数えることが元の連立解の組数に直結します。負の解を機械的に採用しない姿勢が、この種の問題では失点を防ぎます。

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