近畿大学 2019年度 数学

近畿大学 医学部 2019年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（場合の数・ポリオミノ）　答：ア 、イ 、ウ 、エ 、オ

【📖大切な定義】1辺1の正方形 個を、辺とその両端の2頂点だけが一致するように貼り合わせた連結図形をポリオミノと呼びます。本問は「線対称移動や回転で重なるものは同じ種類」とみなすので、数える対象は鏡映と回転を同一視した自由ポリオミノ（free polyomino）の種類数です。 はそれぞれ 種類、 以降を順に数え上げます。

【👀ここに注目】数え上げの事故を防ぐコツは、「直前の 個の図形に、辺を共有する形で1個の正方形を付け足す」という増やし方で候補を作り、そのうえで回転4通り・鏡映を合わせた8通りの重なりを1つの代表に集約して重複を消すことです。以下、代表的な形の名前（直線形・L形・T形・S形・十字形など）で押さえます。

(1) の種類（ア・イ・ウ）の方針・解答：
（トロミノ）は、3個を一直線に並べたI形と、直角に折れたL形の 種類（ア ）。
（テトロミノ）は、直線のI形、正方形のO形、T形、階段状のS形（Z形は鏡映で同一）、かぎ形のL形（J形は鏡映で同一）の 種類（イ ）。
（ペントミノ）は、パズルでよく知られた 種類（アルファベットで F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z 型と呼ばれる形）で、これがちょうど 種類（ウ ）。いずれも「直線に並ぶもの→2列に折れるもの→十字・T字のように枝分かれするもの」の順に系統立てて数えると、数え落としが起きません。

(2) の種類（エ）と立方体の展開図になる種類（オ）の方針・解答：
（ヘキソミノ）を同じ方針で系統的に数え上げると 種類が存在します（エ ）。
この 種類のうち、6つの正方形を折り曲げて立方体の6面をぴったり作れる「立方体の展開図」になるものは 種類です（オ ）。立方体の展開図が11種類であることは有名な事実で、「4個を一列に並べ残り2個を上下に配する型」「3個＋3個や3個＋2個＋1個に段違いで配する型」などを、面の配置が実際に立方体を包むかで一つずつ判定して確定します。

【✅検算】自由ポリオミノの種類数は （）と増えることが知られており、本問のア〜エはこれと一致します。念のため、各図形を正方形の中心の座標集合として表し、90°ずつの回転4通りと鏡映を施した8通りの中で辞書式に最小となる「正規形」に直して重複を排除する数え方でも独立に列挙し、 でそれぞれ を再現しました。立方体の展開図についても、各ヘキソミノを実際に折りたたむ操作で6面が過不足なく貼り合わされるかを判定し、 種類となることを確認しています。

【💡ポイントコラム】図形の数え上げでは「同一視のルール（ここでは回転＋鏡映）」を最初に固定するのが最優先です。回転だけで同一視するか、鏡映まで含めるかで種類数は変わります（例： は回転のみだと7、鏡映も含めると本問の5）。問題文の「線対称移動や回転を用いてぴったり重なるものは同じ」を、そのまま「鏡映と回転で同一視」と読み替えることが出発点です。

【💡ポイントコラム】立方体の展開図が11種類というのは頻出の暗記事項です。一列に4面並ぶ「基本形」が6種、段違いに3-3や2-2で配る型が5種で合計11、と覚えておくと本問のオは即答できます。逆に、正方形6個の並べ方（ヘキソミノ35種）のうち約3分の1しか立方体にならない、という感覚も持っておくと検算の助けになります。

第2問（三角関数・微分積分）　答：(1) 　(2) 最大値 （）／最小値 （）　(3)

【📖大切な定義】3倍角の公式 、2倍角の公式 が土台です。これらを使うと、角 のさまざまな三角関数で書かれた を、 というただ1つの文字の多項式に統一できます。あとは3次関数の微分による増減の議論と、面積を求める定積分に帰着します。

【👀ここに注目】定義域が なので、 は を1対1で動きます。 の最大最小問題を、そのまま の閉区間 上の3次関数の最大最小に読み替えられるのがこの設問の急所です。

(1) の方針・解答： に公式を代入します。、 なので、
よって とおくと 。

(2) の方針・解答： で の増減を調べます。。 の解は で、区間内にあるのは だけ。区間 では （増加）、 では （減少）です。したがって で極大かつ最大、両端のうち小さい方が最小になります。
、、。よって最大値は 、最小値は 。
そのときの は、最大は （）より 、最小は より 。

(3) の方針・解答：(2)より が最大となる点は 、最小となる点は 。直線ABの傾きは なので、直線ABは 。
求める面積 は、 から までで曲線 と直線 に囲まれた部分です。差をとると となり、この区間で符号は正、すなわち曲線が直線の上側にあります。したがって
上端 の値は 、下端 の値は 。よって 。

【✅検算】(1)は ラジアンを代入し、左辺 と右辺 が小数第9位まで一致することを確認しました。(2)は に を順に代入し、 と増減表どおりに動くことを再確認。最大・最小の も 、 を直接代入で照合しました。(3)は被積分関数 を で になることから と因数分解でき、区間内で正符号となることを数値でも確認し、面積 を得ました。

【💡ポイントコラム】「 が入り混じった関数の最大最小」は、まず倍角・3倍角で （または ）1文字にそろえるのが定石です。置換後は定義域が の閉区間になるので、極値だけでなく必ず両端の値も比べます。本問のように極値が最大、端点が最小、という「山型」は3次関数で頻出のパターンです。

【💡ポイントコラム】曲線と、その上の2点を結ぶ直線で囲む面積は、差の関数が2点で になることを利用すると因数分解が一気に進みます。上下関係（どちらが上か）は差の関数の符号で判定し、符号が正なら「曲線−直線」をそのまま積分すればよく、絶対値で悩む必要がありません。

第3問（数列・等差数列）　答：(1) 　(2) 　(3) では 、 では 、最大値はいずれも

【📖大切な定義】初項 ・公差 の等差数列の一般項は 、初項から第 項までの和は です。和 が最大になる位置は、項 が正から負に変わる境目で決まる、というのが本問の中心テーマになります。

【👀ここに注目】条件 から と初項を消去できます。すると はすべて公差 だけの不等式になり、 の範囲が確定します。 の最大は「どこまで正の項を足すか」で決まるので、 の符号を調べるのが決め手です。

(1) の方針・解答： より ①。 すなわち 。①を代入して 、よって 。次に すなわち 。①を代入して 、よって 。両者を合わせて 。

(2) の方針・解答：一般項は に①を代入して 。 のとき なので、(1)の に を掛けても不等号の向きは変わりません：。各辺に を加えると 、すなわち

(3) の方針・解答： なので は減少列で、和 は「正の項を足すうちは増え、負の項を足し始めると減る」ので、 を満たす最後の で最大です。(2)に を入れると、（つねに正）、（つねに 以下）。よって は確定、 の符号だけが場合を分けます。
となるのは のとき。
・ のとき だから となり、最大は 。
・ のとき だから がともに最大、すなわち 。
いずれの場合も最大値は 。（ のときは 。）

【✅検算】(1)は （範囲内）で確かめると 、、 と条件を満たし、境界 では と等号成立を確認しました。(2)は で が に収まることを照合。(3)は の数列 を実際に作り、 が最大（）であること、 では で となることを直接計算で確かめました。

【💡ポイントコラム】「 の最大」は微分ではなく項の符号で捉えます。 を満たす最後の までの和が最大で、ちょうど となる特別な公差では2つの が同時に最大値を与えます。 を の2次関数とみて頂点を探す方法もありますが、 が整数である点を忘れると誤答するので、符号での判定が安全です。

【💡ポイントコラム】 かつ という条件は、 と書けば「 かつ 」、さらに等差の性質 を使うと と同値です。つまり最初から の符号を狙い撃ちにでき、(3)の場合分けが自然に見通せます。

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