近畿大学 2021年度 数学

近畿大学 医学部 2021年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（場合の数・確率・最大公約数）　答：ア 、イ 、ウ 、エ

【📖大切な定義】自然数の各位の数字の和が3の倍数ならその数は3の倍数、9の倍数ならその数は9の倍数になります（倍数判定法）。本問の と は、箱Aのカードと箱Bのカードを並べる順序を入れ替えただけなので、使われている数字（桁）はまったく同じで、各位の和 も等しくなります。したがって が成り立ち、「 がそろって3の倍数」「 が3の倍数」、「そろって9の倍数」「 が9の倍数」と判定できます。

【👀ここに注目】全事象は 箱A 通り × 箱B 通り 通り。 は大小を決めるだけで確率には効かないので、要は の 通りを最大公約数で分類する問題です。各カードの各位の和は、箱A：、箱B： となります。

(1) 最大公約数が9（ア）： が9の倍数のときに限ります。各位の和の最大は なので の場合だけを探すと、、 の2通り。いずれも で割ると と で互いに素なので最大公約数はちょうど 。よって確率は 。

(2) 最大公約数が6（イ）： なので「2の倍数かつ3の倍数」。 がともに偶数になるのは、末尾に来る の一の位がともに偶数、すなわち がともに偶数のときで、箱Aで偶数は だけ、箱Bの偶数は 。よって に固定され、さらに が3の倍数になるのは と 。 はいずれも最大公約数 。確率は 。

(3) 最大公約数が3（ウ）：まず が3の倍数となる組を数えます。各位の和を3で割った余りで分けると、箱A側は 、箱B側は 。和が になるのは、 と （3通り）、 と （2通り）、 と （9通り）で計 通り。このうち最大公約数が より大きくなるのは、 の2通り、 の2通り、そして が 、 が の各1通り。よって最大公約数がちょうど なのは 通りで、確率は 。

(4) 最大公約数が1（エ）： が互いに素でない 通り中の組を除きます。3を共通因数にもつのは(3)で数えた 通り。3を含まず2だけを共通因数にもつのは、 かつ が3の倍数でない の3通り（ はいずれも最大公約数 ）。共通因数として2でも3でもない素数が単独で現れる組はこの表には存在しません。ゆえに互いに素でない組は 通り、互いに素な組は 通りで、確率は 。

【✅検算】 通りすべてについて、 を文字列として2通りに連結し を作って最大公約数を機械的に数え上げると、最大公約数の分布は （合計 ）となり、上の 通りと完全に一致しました。特に で となり最大公約数 が出る点、 で が出る点は「3の倍数だが答は3ではない」ワナで、数え上げでも同じ2組が確認できます。

【💡ポイントコラム】桁を並べ替えただけの2数は各位の和が等しく、9で割った余りが一致します。だから「両方が3（9）の倍数か」は各位の和だけで即断でき、最大公約数の3・9成分は瞬時に判定可能。連結してできる数を毎回わり算する必要はありません。

【💡ポイントコラム】「最大公約数がちょうど 」を数えるときは、まず「 の倍数」を広く数え、そこから「 より大きい公約数をもつ例外」を引くのが安全です。本問は3の倍数を14通り数えてから、6・9・15・111という“はみ出し”を除くことでミスなくウの8通りに到達します。

第2問（2次関数・整数解と格子点）　答：(1) （最大は ）　(2) 個　(3) 　(4) 組

【📖大切な定義】 は微分係数 の定義そのもの、 は の定義です。2次関数を とおけば なので、与えられた2つの極限は接線の傾きに関する連立1次方程式に翻訳できます。

【👀ここに注目】 から が決まり、残る は で定まります。得られる式を平方完成すると という美しい形になり、 から整数解の個数が対称性で一気に見通せます。

(1) の方針・解答： より 。辺々引いて 、。 に代入して 。よって 。上に凸なので最大値 を でとります。

(2) の方針・解答：。この範囲の整数は から まで 個。

(3) の方針・解答：。 とおくと を満たす整数 の個数は、 として 個です。これが 個になるのは 、すなわち 。よって から （いずれも正の整数）。

(4) の方針・解答：正の整数の組 で となる個数を数えます。整数 に対し は整数で、 は の範囲を動くので、 となる各 について は 個。 すなわち で、正の整数は 。求める個数は 。ここで 。よって 組。

【✅検算】 は を零点にもち、 と与件に一致。(3) は で の 個、 でも より同じ 個、 では 個へ増えることを確認すれば境界 が確定します。(2)(4) はプログラムで を全走査し、 の整数を数えると 、 の格子点を数えると となり、公式計算と一致しました。

【💡ポイントコラム】「極限の式を見たら定義に戻る」——分子が 、分母が対応する差なら、それは微分係数です。2次関数なら傾きの条件2本で が、値の条件1本で が決まり、係数決定は連立方程式に落ちます。

【💡ポイントコラム】上に凸の放物線を平方完成して にすると、 の整数解は「中心 から左右対称に 個ずつ＋中心1個」で 個。対称性を使えば数え上げが公式化され、格子点の総和も平方和 で処理できます。

第3問（平面ベクトル・内分外分と折れ線の最小）　答：(1) 　(2) 　(3) 　(4) 最小値 （）

【📖大切な定義】 とおきます。辺 を に内分する は 、辺 を に内分する は 。「線分 を に外分する点」とは で が線分の外にある点を指します。

【👀ここに注目】 はすべて の1次結合で表せます。 は直線 と直線 の交点なので、 を「直線 上の表示」と「直線 上の表示」の2通りで書いて係数を比較すれば、外分比 と の が同時に求まります。

(1) の方針・解答：。一方 なので 。 は1次独立だから の係数を比べて 、ゆえに 。

(2)(3) の方針・解答： を （直線 上）とおきます。同時に （直線 上）。係数比較で 。辺々足すと 。両辺に を掛けて整理すると 、すなわち （ で定義可）。このとき 。
で、 だから 。負号は外分を表し、大きさの比は 。これが に等しいので 、ゆえに 。

(4) の方針・解答：。 は から に下ろした垂線の足なので、 を 軸、 を原点にとり とすると、直角三角形 から 。よって 。
求める は「（固定）から出て、直線 上の 、直線 上の を経て に戻る折れ線の長さ」です。 を直線 に関して折り返した点を 、直線 に関して折り返した点を とすると なので、。等号は が線分 上にあるときで、最小値は に一致します。
直線 は 、直線 は 。 を折り返すと 。よって 、。
また なので の最小値は 。
このときの は線分 と の交点です。 の 座標は （ の 成分より）で、交点計算から 、よって 、。同様に の 座標は から 。ともに正で を満たします。

【✅検算】(1)〜(3) は など具体的な成分を代入して交点座標を直接求めても、 が再現されます。(4) は を変数として を数値的に最小化すると、最小値 、比 、最小を与える 、 が得られ、反射による理論値と一致しました。 も から確認できます。

【💡ポイントコラム】直線 上の点を と1つの媒介変数で表すのが交点問題の定石です。 が なら内分、範囲外なら外分。本問では が の値で符号を変え、内分・外分が自然に切り替わります。

【💡ポイントコラム】「固定点から2直線上の点を経て戻る折れ線の最小」は、鏡映（対称点）で一直線に伸ばすのが最短の道具です。角の二等分・光の反射と同じ原理で、最小値は2つの鏡像点の距離。垂線の足 を辺 に関して折り返す、という一手が第3問後半の核心と考えられます。

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