近畿大学 2022年度 数学

近畿大学 医学部 2022年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（平面幾何・垂線と垂心・共円）　答：ア 、イ 、ウ 、エ 、オ 、カ

【📖大切な定義】三角形の各頂点から対辺に下ろした3本の垂線は1点で交わり、その点を垂心といいます。本問の は垂線 と垂線 の交点なので、垂心にほかなりません。また「線分を直径とする円周上の点からその線分を見込む角は直角」（タレスの定理）の逆を使うと、直角がそろった4点が同一円周上に乗ることを示せます。

【👀ここに注目】 が を に内分するので 。 より直角三角形が2つでき、三平方の定理だけで が定まります。座標を を原点、 を 軸にとると計算全体が一気に見通せます。

(1) の方針・解答： より （ア）。次に と から （イ）。

(2) の方針・解答： を原点、 を 軸にとり と置きます。 は直線 。 は垂心で 上にあるので 。 は を通り に垂直で、 より方向 、 が となるのは 、このとき 。よって 。
（ウ）。
は から へ を 倍した点 で、 より 。 だから （エ）。
は一直線上にあり なので （オ）。
最後に （ は 軸、 は 軸方向）、（ は 上で に垂直）だから、 を直径とする円周上に が乗り、4点 は共円。半径は で、 より、半径 （カ）。

【✅検算】相似を使う正攻法でも一致します。 より 、。メネラウスの定理を と直線 に適用すると 、すなわち から 。半径は 。座標・相似・メネラウスのいずれでも全値が一致しました。

【💡ポイントコラム】「垂線2本の交点」と出てきたら、それは自動的に第3の垂線も通る垂心です。垂心がらみでは相似三角形（ など、対応する直角と共通角から）が量産され、辺の比が芋づる式に求まります。

【💡ポイントコラム】4点が同一円周上にあるかは「直角を2つ探す」が最速です。 なら はともに を直径とする円上にあり、その円が求める外接円。半径は直径 の半分、と直ちに分かります。

第2問（数列・漸化式による感染モデル）　答：(1) 感染者 人・新規 人　(2) 感染者 人・新規 人　(3) 感染者 人・新規 人

【📖大切な定義】調査 日目の新規感染者数を 、感染者数（その日に感染している人の総数）を とおきます。1人の感染者は感染1〜3日目に毎日1人へうつし、感染4日目は他者にうつさず、感染5日目に回復して感染者でなくなります。つまり感染者でいる期間は「感染1〜4日目」の4日間なので、感染者数は直近4日ぶんの新規感染者の和 で表せます。

【👀ここに注目】ある日の新規感染者は、その日に「感染させる力を持つ人」全員が1人ずつ生み出します。感染させるのは感染1〜3日目の人なので、新規感染者の漸化式は「直近3日ぶんの新規感染者の和」 となります（トリボナッチ型）。初期値は 。この は、調査1日目の1人が2日目・3日目にそれぞれ1人ずつうつすことに対応します。

(1) の方針・解答： を順に計算します。。よって10日目の新規感染者は 人。感染者数は 人。

(2) の方針・解答：全員が予防対策をとり「感染3日目以降はうつさない」なら、感染させるのは感染1〜2日目の2日間。新規感染者は （フィボナッチ型）、。よって 。感染者でいる期間（1〜4日目の4日間）は変わらないので 人、新規は 人。

(3) の方針・解答：さらにワクチンで「感染2日目以降はうつさない」なら、感染させるのは感染1日目の1日だけ。新規感染者は 、 より （毎日ちょうど1人が新規感染）。感染者数は 人、新規は 人。

【✅検算】問題文の与件（調査5日目までに1,2,4,8,14人）と一致するか確かめます。感染者数の定義 （ 以下は0）で(1)のモデルを見ると、 となり与件を完全に再現します。さらに を独立に確かめるため、初日の1人から枝分かれする感染を世代ごとにプログラム的に数え上げても、10日目の新規感染は149、その時点の感染中人数は298となり一致しました。

【💡ポイントコラム】「毎日1人にうつす」「◯日目以降はうつさない」という条件は、そのまま漸化式の項数に翻訳できます。うつす期間が 日なら新規感染は「直近 日ぶんの和」。(1)は3日で3項和、(2)は2日でフィボナッチ、(3)は1日で定数列、と自然につながります。

【💡ポイントコラム】「感染者数」と「新規感染者数」を混同しないことが最大の落とし穴です。感染者数はいま感染している人の在庫（直近4日ぶんの和）、新規感染者数はその日に増えたぶん（ そのもの）。在庫と流入を分けて数える発想は、確率漸化式や年金・借入の数列でも同じく効きます。

第3問（2次関数・面積と の最大最小）　答：(1) 　(2) 最大値9のとき 、最小値 のとき

【📖大切な定義】2つの放物線 が （）で交わるとき、囲まれた面積は差 の定積分で、有名な公式 （いわゆる 公式の係数2倍版）が使えます。

【👀ここに注目】。 なので交点は 、区間の幅は 。ここに面積公式を当てると の3次式1本で(1)が片づきます。

(1) の方針・解答：区間 で だから、面積は 。これが9に等しいので （ を満たす）。

(2) の方針・解答： すなわち は傾き2・切片 の直線群で、 が大きいほど切片は下がります。動く点 は「 かつ 」を満たす、(1)の2放物線に挟まれた領域を動きます。
最大： が最大になるのは直線が領域の下側の縁 に接するとき。 より接点は 、、接点 。ここで 。これが9のとき （）。
最小： が最小になるのは直線が上側の縁 に接するとき。 より接点は 、、接点 。。これが のとき （）。

【✅検算】 のとき2放物線の交点は 、下の縁 上で は で最大値 をとり一致。 のとき、上の縁 上で は で最小、値は に すなわち を代入すると となり確かに 。接点が区間 の内部（）にあることも確認済みで、端点で最大最小をとる場合は条件を満たさないことも別途確かめました。

【💡ポイントコラム】面積の 公式は「上−下 」の形にしてから使うのが安全です。先頭係数（本問は差の段階で2）を落とすと面積が半分になる事故が起きがち。交点の幅 の3乗に比例する、と押さえておけば の方程式づくりも速くなります。

【💡ポイントコラム】 の最大最小は「傾き2の直線を平行移動して領域にギリギリ接する位置」を探す線形計画の発想です。境界が放物線なら、接する＝微分係数が2、で接点が一発。最大は下側の境界 、最小は上側の境界 に触れる、という上下の対応を図でイメージすると迷いません。

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