北里大学 2003年度 数学

北里大学 医学部 2003年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（小問集合：面積と回転体／楕円の弦の中点／複素数平面／場合の数）　答：(ア) ｜(イ) ｜(ウ) ｜(エ) ｜(オ) ｜(カ) ｜(キ) ｜(ク) ｜(ケ) ｜(コ) ｜(サ) ｜(シ)

【📖大切な定義】面積は「上の関数−下の関数」を区間で積分、軸まわりの回転体は「バウムクーヘン（シェル）法 」か「輪切り（ディスク）法 」で求めます。楕円の弦の中点は「直線と楕円を連立してできる2次方程式の解と係数の関係」で一気に出せます。複素数平面の直線 （実数 ）は、 を代入すれば の1次式になります。実数係数の2次方程式が虚数解 をもてば、共役 ももう1つの解です。

【👀ここに注目】(1) は が 軸に接する（頂点が 軸上）ことに気づくと図形がはっきりします。(2) は連立2次方程式の「2解の和」を で割れば中点の 座標になり、 の値域は「 を の方程式とみて実数解をもつ条件（判別式）」で決めます。(3)(カ) は共役の項が「もとの式の共役」になることを使えば の形にまとまり、(キ) は「原点から直線への垂線の足＝接点」です。(4) は黒石・白石が同色内では区別できないことに注意し、(iii) は「各行・各列に黒白がそろう」→「各行・各列に黒1・白1・空1がちょうど1つずつ」と読み替えるのが急所です。

方針・解答（1）： は頂点 で 軸に接し、 で を通ります。図形 は で曲線・軸・軸に囲まれた部分なので、面積は

軸まわりの回転体はシェル法で、 の各 における高さが だから

方針・解答（2）：点 を通る傾き の直線 を楕円 に代入すると

2つの共有点の 座標を とすると解と係数の関係より 。中点の 座標は

（点 は楕円の内部 なので、どの傾き でも直線は楕円と2点で交わり、判別式 からも常に2交点をもつことが確認できます。） の値域は、 を についての方程式 とみて実数 が存在する条件から求めます。 は で実現。 のときは判別式 、すなわち 。よって求める範囲は

方針・解答（3）：（は実数）を に代入します。 は の共役なので、左辺は 。ここで だから 、よって 、すなわち直線 。 について解くと

原点中心の円が に接するときの接点 は、原点から に下ろした垂線の足です。 の法線方向は なので接点を とおくと 、。ゆえに接点は 、複素数で （(キ)）。この を解にもつ実数係数の2次方程式 では、もう1つの解が共役 なので、解と係数の関係より

方針・解答（4）：9個のますから黒石を置く3ますを選び、残り6ますから白石を置く3ますを選べばよいので

（同色の石どうしは区別しないため、単なる組合せの積になります。）(ii) 黒石が縦または横の1列にそろう場合は、その「列」が縦3・横3の合計6通り。黒石の位置が決まった後、白石3個を残り6ますに置く方法が 通り。黒3個で1列はちょうど1本に定まり重複しないので

(iii) 「縦のどの列にも黒石と白石」「横のどの列にも黒石と白石」がある条件を考えます。黒石は3個で3列すべてに1個以上必要だから各列に黒ちょうど1個、同様に各行にも黒ちょうど1個。つまり黒石は各行・各列に1個ずつの「順列型」配置で 通り。白石も同じ理由で各行・各列に1個ずつ。黒と白は同じますに置けないので、白の配置は黒と全ての行で列がずれる（同じ位置を避ける）必要があり、これは黒配置に対する「かく乱順列」で 文字なら 通り。よって

【✅検算】(1) 回転体を輪切り法で再計算すると、高さ での半径は なので となり(イ)と一致します。(2) では直線は 軸で交点 、中点 となり に合致。 では と上端に達し、値域の端 が実際にとれることも確認できます。(3) 接点 は直線 を満たし、原点との距離 は点と直線の距離 に一致。 の判別式 で虚数解をもつことも整合します。(4)(i) は と別式でも一致。(iii) は黒を対角 に固定すると、白が同位置を避ける配置は の2通り、黒6通り分で と数え上げでも合います。

【💡ポイントコラム】軸回転は「シェル」と「ディスク」で二度検算：(1)(イ) では、軸まわりの回転体をバウムクーヘン で求めましたが、同じ体積は輪切り でも計算できます。2通りの見方が同じ値になれば、積分区間や被積分関数の取り違えをほぼ確実に排除できます。回転軸が 軸のときは「 で積むならシェル、 で積むならディスク」と、両方を候補に持っておくと安全といえそうです。

【💡ポイントコラム】弦の中点は「解と係数の関係」で一発：(2) では2交点をわざわざ求めず、連立2次方程式の「2解の和」だけから中点 を出しました。 は直線の式に を戻すだけです。さらに値域は「 を の方程式とみて実数解の存在条件」を判別式で書き下すのが定石で、増減を調べるより速く確実です。中点の軌跡・弦の長さ・傾きの範囲は、いずれも「解と係数の関係」から機械的に処理できると考えておくと見通しが立ちます。

【💡ポイントコラム】場合の数は「必要条件で各行・各列を1個ずつに固定」：(4)(iii) の急所は、「3個の石で3列すべてを覆う」なら各列ちょうど1個、という数え上げの必要条件でした。行についても同じ議論が効き、黒・白ともに各行・各列に1個ずつ＝順列型に固定されます。あとは黒と白が衝突しない配置＝かく乱順列を数えるだけです。「合計数と列（行）数が等しい」ときは、まず各列（行）を均等割りに固定できないか疑うのが有効な一手といえそうです。

第2問（三角関数：置き換え による4次関数の最大最小）　答：(1) ｜(2) ｜(3) ｜(4) 最大値 （ 等）, 最小値 （ 等）

【📖大切な定義】 は合成すると なので、 の変域は 。両辺2乗すると が得られ、 という重要な関係が使えます。さらに なので、 も の3次式に化けます。

【👀ここに注目】(2) は に を代入するのが最短です。(3) は各項をすべて で書き換え、(4) は得られた4次関数を で微分し、 が因数分解できることに注目します。定義域が閉区間なので、極値だけでなく両端 の値も必ず比較するのがポイントです。

方針・解答（1）：。 の値域は なので

方針・解答（2）： より 。したがって

方針・解答（3）： なので 、ゆえに 。また 。以上と(2)を合わせて

方針・解答（4）：（）を微分すると

区間内の増減は、 で （減少）、 で （増加）、 で （減少）。よって候補は端点 と極値点 の4つ。それぞれ代入すると

数値では 。したがって最大値は で 、最小値は で 。

【✅検算】(2) のとき 、公式 と一致。 では 、公式 も合致します。(4) 最大値は を与える を原式に直接代入して確認します。。最小値は を与える で 。いずれも 式の値と一致します。

【💡ポイントコラム】 と は「1つの で束ねる」：この問題の骨格は、 と2乗の関係 だけです。これで がすべて の多項式に化け、三角関数の問題が「1変数の多項式関数の最大最小」に姿を変えます。「和と積が同時に出てきたら和を とおく」は対称式でおなじみの発想で、三角関数でも強力に働くといえそうです。

【💡ポイントコラム】置き換えたら「新しい変数の変域」を必ず添える： に置き換えたとき、 が動ける範囲は に限られます。もしこの制約を忘れて の解だけで最大最小を決めると、区間外の値を拾ったり端点の比較を落としたりしがちです。閉区間上の連続関数は必ず最大・最小をもつので、極値点と両端をすべて並べて数値で見比べるのが、取りこぼしのない安全な進め方といえます。

第3問（行列： を満たす2次正方行列）　答：(1) は逆行列をもたない（背理法）｜(2) ｜(3) または

【📖大切な定義】2次正方行列 についてケーリー・ハミルトンの定理 が成り立ちます。 が逆行列をもつ（＝正則）とは のこと。逆に なら は逆行列をもちません。 はトレース（対角成分の和）で、以下では と書きます。

【👀ここに注目】(1) は「もし逆行列をもてば」と仮定して矛盾を導く背理法が最短です。(2) は(1)で が確定するので、ケーリー・ハミルトンが と簡単になり、これを に代入してトレースの方程式を作ります。(3) は与えられたベクトル条件から成分の関係を出し、 と(2)の結果で を絞り込みます。

方針・解答（1）：もし が逆行列 をもつと仮定します。すると の両辺に を掛けて 、すなわち 。これは条件 に反します。したがって は逆行列をもたず、 です。

方針・解答（2）：(1)より 。ケーリー・ハミルトンの定理 は となります。両辺に を掛けると 。条件 は 、すなわち 、。 のときは より または 。 のときも （このとき で条件を満たし、 も成立）。以上より

方針・解答（3）： より 、すなわち 。このとき

(1)より なので 、したがって 、。(2)より だから または 。
・ のとき 、。
・ のとき 、。
いずれも 、、 を満たします。求める行列は または 。

【✅検算】(2) 具体例で確認します。 は なので 、トレース 。 は なので 、トレース 。どちらも に含まれ、 の両方が実現することがわかります。(3) 2つの解を条件に戻すと、前者は 、後者は となり、いずれも与式を満たします。さらに の関係から、 だと逆行列をもってしまい(1)に反することも確認できます。

【💡ポイントコラム】「逆行列をもつと 」型の背理法：(1) の証明は、（）タイプの関係で頻出の型です。正則と仮定して両辺に を掛ければ 、さらに絞ると に落ちて前提と矛盾します。ここから が確定し、ケーリー・ハミルトンが と一段軽くなるのが最大の恩恵です。「 という但し書きは、たいてい を導くための伏線」と読むと方針が立てやすくなります。

【💡ポイントコラム】 のときトレースが行列の性格を決める： のもとでは となり、 は なら「べき等（射影）」、 なら「べき零 」という2つの型に分かれます。この問題の答え は、まさにこの2型に対応しています。特別な条件を満たす2次行列を扱うときは、まず とトレースの2つの不変量に注目し、ケーリー・ハミルトンで累乗を1次式に落とすのが定石といえそうです。

▶ 関連：北里大学医学部 2007年度 数学｜近畿大学医学部 過去問一覧｜過去問解説・数学問題集