北里大学 2009年度 数学

北里大学 医学部 2009年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（小問集合：二項定理／放物線／確率／平面ベクトル）　答：(ア) ｜(イ) ／(ウ) ｜(エ) 4（組）｜(オ) ｜(カ) ｜(キ) ｜(ク) ｜(ケ) ｜(コ) ｜(サ) ｜(シ) ｜(ス) ｜(セ) ｜(ソ) ／(タ) ｜(チ) ｜(ツ) ／(テ) ｜(ト)

【📖大切な定義】二項定理より 。よって の係数は （(ア)）です。放物線 の焦点は 。反復試行では各回が独立で、 回中の並び方を数え上げるのが基本になります。平面ベクトルでは、内分点は の形、面積は外積型 で扱えます。

【👀ここに注目】(1) は「全係数と定数項の和」を の代入 と読み替えると一気に見通せます。(2) は法線と焦点半径のなす角が、計算すると というきわめて簡潔な形に化けるのが急所です。(4) は基底を に固定し、内積 を一度求めておくと全問が滑らかにつながります。

方針・解答（1）： の係数は （(ア)）。「 の係数すべてと定数項の和」は に を代入した に等しく、これが 625 なので

したがって （(イ)）または （(ウ)）。次に の係数は で、これが 216 のとき 、すなわち 。 と組み合わせ、 を2次方程式 の解として求めると、 のもとで次の4組が得られます。

よって条件を満たす組は全部で 4 組（(エ)）。この4組の は で、いちばん小さいのは （(オ)、このとき ）。

方針・解答（2）： は だから焦点は （(カ)）。点 は すなわち を満たします。 を微分して 、 より での接線の傾きは 。接線は

（(キ)、 を用いました）。法線は傾き をもち

（(ク)）。直線 の傾きは 。法線の傾き との間で、なす角 の正接を計算すると

と、みごとに簡約されます。 より 、正の数 は （(ケ)）。

方針・解答（3）：さいころを4回振り、出た目の箱に球を1個ずつ入れます。各回は独立で、目の並びは全部で 通り。
(i) 1個の箱だけに球が入るのは、4回とも同じ目のとき。箱の選び方6通りで （(コ)）。
(ii) 箱1と箱2の両方に球が入り他に入らないのは、4回の目がすべて に属し、かつ1と2が少なくとも1回ずつ出る場合。目が に入るのは 通り、そこから「全部1」「全部2」の2通りを除いて 通り。よって （(サ)）。
(iii) 2個の箱に2つずつ入るのは、箱の選び方 通り、そのうえで4回の並びを に分ける並べ方 通りだから （(シ)）。
(iv) 4個の箱に1つずつ入るのは、4回とも異なる目が出る場合で 通り。よって （(ス)）。

方針・解答（4）： とおくと 。
(i) 面積は （(セ)）。
(ii) は を に内分するので 。よって係数は (ソ) 、(タ) 。
(iii) は から に下ろした垂線の足で、。ゆえに となり

係数は (チ) （ の係数は1）。
(iv) を と表し、同時に が直線 上にあることから とも書けます。 は1次独立なので係数を比較して

第2式を第1式に代入すると 、整理して 、。したがって

係数は (ツ) 、(テ) 。
(v) は底辺 を と共有し、 の 方向成分が高さの比を与えます。 の 成分は1、 は なので

が (ト) です。

【✅検算】(1) 代表として を戻すと の の係数は 、 代入は で条件に一致。 最小の も が 係数 、 で成立。(2) なら 、、 で の傾き 、法線の傾き 。なす角は で と一致。(3) 確率は具体列挙とも整合し、たとえば(iv)は 。(4) は 、 も で、 が線分 双方の内部にあることと矛盾しません。面積も外積型 で同じ値です。

【💡ポイントコラム】「全係数の和は 代入」：多項式の係数をすべて足したいときは、変数に1を代入するのが定石です。(1) では の全係数と定数項の和を と読み替えた瞬間に、条件が という一本の式へ凝縮しました。展開して1項ずつ足す必要はありません。係数の和・偶数次だけの和（ と の平均）など、代入で情報を引き出す発想は多くの場面で有効そうです。

【💡ポイントコラム】反復試行は「並びの総数を数える」：(3) の4つの確率は、いずれも「 通りの目の並び」を分母に固定し、条件を満たす並びを数え上げるだけで求まりました。(ii) の「両方の箱に入る」は から全部同じの2通りを引く「余事象の間引き」、(iii)(iv) は箱の選び方と並べ替えの積、と役割がはっきりしています。確率の問題では、まず全事象を1つの数え上げ空間にそろえてしまうと、各設問の違いが「数え方の違い」として見通しよく整理できます。

第2問（行列：交換可能条件とケーリー・ハミルトンの定理）　答：(1) ｜(2) ｜(3) ｜(4)

【📖大切な定義】2次正方行列 について、ケーリー・ハミルトンの定理は 。 は対角成分の和、 は行列式です。これにより を と の1次結合に落とせ、さらに高次のべきも同じ枠内で表せます。また が の実数倍でないとき、 からは が従います（1次独立性）。

【👀ここに注目】まず を成分比較して の自由度を の2つに絞るのが出発点です。すると と の1次結合で書け、 のべきはすべて （あるいは ）と の世界で閉じます。最後の は、 を の1次結合で表し、 が の実数倍でないことから係数を比較すれば、 の連立に帰着します。

方針・解答（1）： について

の各成分を比較すると から 、 から （残り2式もこれらと矛盾しません）。よって

方針・解答（2）： を (1) の と比較します。、 より 。（ も右下成分と一致します。）よって 。

方針・解答（3）： に対するケーリー・ハミルトンの定理を用います。、 だから

と比較して、 より は の実数倍でないので係数は一意に定まり

方針・解答（4）：(3) を使って を下げます。

ここに (2) の を代入すると

（ の係数は ）。 と比較し、 は の実数倍でないので

第1式より だから、第2式は 。このとき で、第1式は 、すなわち 。 より 、、。よって

【✅検算】(1) の は実際 を満たします（たとえば なら で明らかに交換可能）。(4) は数値でも確認できます。、 より 。この を3乗すると各成分は にごく近い値となり、 が数値的にも成り立ちます。また で第1式も満たされています。

【💡ポイントコラム】交換可能な行列は「 の1次結合」： を満たす は、 が単位行列の定数倍でない限り の形に限られます（この年の(1)(2)がまさにその具体化）。この事実を知っていると、成分の泥臭い連立を組む前に「答えは と の重ね合わせ」と当たりをつけられます。さらにケーリー・ハミルトンで を1次に落とせば、 の何乗でも の世界で計算が閉じ、 のような高次方程式も係数比較だけで解けるようになります。

第3問（微分・積分：4次関数の極値・面積・面積比）　答：(1) で極大値 、 で極小値 ｜(2) ｜(3)

【📖大切な定義】 は偶関数です。極値は の前後の符号変化で判定し、面積は「 軸との上下関係」を確かめてから積分の符号を決めます。偶関数の定積分は と半分にできるのも有効です。

【👀ここに注目】 と4つの実根 （ より ）をもつので、区間 では 、 では が符号で読めます。(3) の は分母 15 が共通なので分子どうしの等式に直せ、 での解の一意性は因数分解と増減で示せます。

方針・解答（1）： を微分して

より または 。符号を調べると の前後で （極大）、 の前後で （極小）。極大値は 。極小値は を代入して

よって で極大値 、 で極小値 。

方針・解答（2）： で なので、偶関数性を使って

では だから 。原始関数を とすると

（整理すると分子は ）。

方針・解答（3）： は分母 15 が共通なので分子で

これを整理すると 、2で割って

が1つの解です。残る について、 での符号を調べます。 は で正（ かつ増加）なので は で単調増加。 より では で、 となる は存在しません。したがって を満たす はただ1つ、 と定まります。

【✅検算】(1) の極小値は、 のとき 、極大値は 。 を （ 付近の代わりに）で見ると と負で、極小 と整合します。(2)(3) は を代入して 、。すると 、 でぴたりと一致し、 が成り立ちます。因数分解も を展開すると に戻ることで確認できます。

【💡ポイントコラム】面積比の方程式は「因数分解＋増減で一意性」：(3) のように「 を満たす を求めよ」という問いは、まず両辺を多項式の等式に直し、明らかな解を1つ見つけて因数分解し、残りの因数が指定範囲で符号を変えないことを微分で示す、という型で処理できます。この年は が素直に見つかり、残る4次式が で正であることを単調増加＋端点の値で押さえるだけでした。「解を1つ当てて割り、残りの符号を追う」という段取りは、解の個数を問う問題全般に通じる考え方といえそうです。

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