北里大学 2010年度 数学

北里大学 医学部 2010年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（小問集合：三角関数と3次関数／双曲線の接線／場合の数と確率）　答：(ア) ｜(イ) ｜(ウ) ｜(エ) ｜(オ) ｜(カ) ｜(キ) ｜(ク) ｜(ケ) ｜(コ) ｜(サ) ｜(シ) ｜(ス)

【📖大切な定義】、 の2式は、三角関数を の多項式に翻訳するための基本工具です。双曲線 上の点 における接線は 、漸近線は です。確率は「（条件を満たす並べ方）÷（全並べ方）」で、分子・分母をともに順列で数えるか、ともに組合せで数えるかをそろえるのが要点になります。

【👀ここに注目】(1)は のとき が を1対1で動くので、 の最大最小は の3次関数 の 上の最大最小に完全に一致します。(2)は接線と2本の漸近線の交点 を求め、 と の長さを比べるだけ。(3)は各色2枚ずつ計8枚を「区別できる8枚」とみなして順列で数えると、確率の分子・分母で並べ替えの重複が約分され、見通しよく処理できます。

方針・解答（1）：、 を代入すると

が (ア) です。（）とおくと

内の停留点は のみで、その前後で の符号は から に変わります。よって すなわち 、（(イ)）で極大かつ最大となり

が最大値 (ウ)。端点は 、 なので、最小値は すなわち 、（(エ)）のときの （(オ)）です。

方針・解答（2）：双曲線 上の点 より 、、第1象限なので （(カ)）。接線 は

で (キ) です。漸近線 との交点 は より 、すなわち 。漸近線 との交点 は より 、すなわち 。したがって

が (ク)。同様に なので （(ケ)）。接点 A が線分 PQ の中点になっている、という双曲線の性質が背後にあります。

方針・解答（3）：赤・青・黄・緑が2枚ずつ計8枚。8枚を区別できるものとみなし、4枚を取り出して左から並べる並べ方の総数は 通りです。
(i) 緑がない並べ方は、緑以外の6枚から4枚を並べる 通り。確率は （(コ)）。
(ii) ちょうど2色になるには、各色2枚しかないので選んだ2色の札をすべて（2枚＋2枚）使うほかありません。色の選び方 通り、その4枚の並べ方 通りで、 通り。確率は （(サ)）。
(iii) 4色になるには各色1枚ずつ。どの札を選ぶかが各色 通りで 、並べ方 通りより 通り。確率は （(シ)）。
(iv) 同じ色が隣り合わない確率は、色数で場合分けし条件付き確率を足し合わせます。3色になる確率は 。並びのパターン（同色の札は区別せず）で、隣り合わない割合は 2色のとき （例：ABAB, BABA の2通り）、3色のとき 、4色のときはつねに 。よって

が (ス) です。

【✅検算】(1)は端点と停留点の値を数値代入で再計算： で最大 ・最小 と一致。(2)は の中点が となり、 すなわち (ケ) を独立に確認。(3)は ではなく各設問を別法で照合しました。(ii)+(iii)+3色 と色数の全確率が になり整合。(iv)は と分子も再計算して一致します。

【💡ポイントコラム】置換したら「変域も一緒に運ぶ」：(1)で と置いた瞬間、 は へと翻訳されます。三角関数の最大最小を多項式に落とすとき、最後に効いてくるのはこの変域です。停留点が区間の内側にあるか、端点が最小最大を担うか——置換のたびに「新しい変数の動く範囲」を必ず書き添える習慣が、取りこぼしを防ぎます。

【💡ポイントコラム】確率は分子・分母の数え方をそろえる：(3)では8枚を「区別できる」とみなして順列で総数 を作り、分子も順列で数えました。もし総数を組合せ で数えるなら、分子も組合せで数える必要があります。分子と分母で「区別する／しない」がずれると誤答になりがちです。今回のように順列でそろえておくと、(iv) の並び替えまで一貫して扱えます。

第2問（1次変換：行列の決定・対角化・数列の極限）　答：(1) ｜(2) ｜(3) ｜(4)

【📖大切な定義】1次変換を表す行列 は、基底となる2つのベクトルの像が決まれば一意に定まります。「直線上のすべての点が定数倍に移る」という条件は、その直線の方向ベクトルが の固有ベクトル（固有値がその定数）であることを意味します。固有ベクトルを列に並べた を用いると は固有値を対角に並べた対角行列になり、 で 乗が一気に計算できます。

【👀ここに注目】直線 （方向 ）上の点が5倍に、直線 （方向 ）上の点が2倍に移る、というのはまさに が固有値 、 が固有値 の固有ベクトルだということ。ここに気づけば、対角化行列 はもう目の前にあります。

方針・解答（1）： 上の点 が に移るので 。 上の点 が に移るので 。2式をまとめると 。 を右からかけて

方針・解答（2）： は なので 。 より

固有値 が対角に並び、対角化が確認できます。

方針・解答（3）：、以降 なので 。(2)より だから

これを に作用させ、第2列を取り出すと

方針・解答（4）：。 で分子分母をくくると 、。 なので

したがって極限値は です。距離は最大固有値 の項に支配される、と読めます。

【✅検算】(1)は 、 を代入して条件を満たすことを確認。(3)は で 、一方 と一致。 では一般式が 、 と一致します。(4)は 、、比 。 を増やすと と5へ近づき、極限 と整合します。

【💡ポイントコラム】固有ベクトルは「像が定数倍になる方向」：この問題の出発点「直線上の点がすべて定数倍に移る」は、固有値・固有ベクトルの定義そのものです。行列を明示的に求める前から、 と が対角化に使える2本の軸だと分かっていました。1次変換を見たら「動かない向き」「伸びるだけの向き」を探す——現行課程で行列を学ばない場合でも、漸化式 を解く際の指針になります。

第3問（微分・積分：ロドリゲス型多項式の論証と部分積分）　答：(1) 次多項式・最高次の係数 ｜(2) 帰納法で証明｜(3) 部分積分 回で証明｜(4)

【📖大切な定義】 は、（ 次多項式）を 回微分したもの。多項式を1回微分するごとに次数は1下がるので、 回で次数は になります。部分積分 では、境界項 が消えるかどうかが勝負を分けます。 は で になる点が、この問題の心臓部です。

【👀ここに注目】(3)で部分積分を繰り返すとき、各段階の境界項には （）が現れます。(2)で示すとおりこれは を因子にもつので、 で必ず 。だから境界項はすべて消え、微分が から へ「移る」だけになります。この仕組みが分かれば(4)は一瞬です。

方針・解答（1）： の最高次の項は なので、 の次数と最高次の係数は のそれに等しくなります。

よって は 次の多項式で、最高次の項の係数は です。

方針・解答（2）： のとき を、 についての数学的帰納法で示します。
： で、 は1次式。成立。
で成り立つと仮定し、 次多項式 を用いて と書けるとします。両辺を微分すると

波括弧の中は 次多項式なので、 でも命題は成立。以上より、 なる自然数 すべてで示されました。

方針・解答（3）： を多項式とし、 を部分積分します。1回目は として

(2)より は を因子にもち で 。したがって境界項は消えます。同じ操作を繰り返すたびに、境界項の中身は （）で を因子にもつため、毎回 。微分の符号 が 回で となり

が示されました。

方針・解答（4）：、。(3)より 。4回微分すると

ここで に注目すると、 の置換で

のいずれでも なので、この値は 。したがって です。

【✅検算】(1)は で確かめると 、2回微分して （2次・最高次係数 ）。公式 に を入れると で一致。(4)は別法として直接計算でも確認できます。 の は4次多項式で、(3)の等式を使わずとも が奇関数的に 対称、かつ が 対称の偶関数なので、被積分関数 は について奇対称。区間 上の積分は になり、置換計算の結果と一致します。

【💡ポイントコラム】部分積分は「境界で消える因子」を仕込む技：ロドリゲス型 の妙味は、 回積分し戻すあいだ、境界項がつねに を因子にもって消える点にあります。ルジャンドル多項式など直交多項式の理論も同じ骨組みです。「端点で になる関数を 乗して微分する」と、部分積分の境界項が自動的に落ちる——この設計思想を知っておくと、見慣れない積分でも構造から攻められます。

【💡ポイントコラム】対称性は最後の一手：(4)の検算では、置換積分とは独立に「 についての奇対称だから積分は 」という見方を使いました。積分値が になりそうなときは、被積分関数の対称性を疑うと、計算せずに答えが読めることがあります。二重検算の相方として、対称性は非常に相性のよい道具です。

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