日本大学 2009年度 数学

日本大学 医学部 2009年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（独立小問集合：循環小数・因数分解・点と直線の距離・三角関数・指数方程式・確率・ベクトル・数列）　答：(1) 1237/999　(2) (2x+y−2)(x−2y+1)　(3) 2　(4) −19/25　(5) x=log₃(1+√3)　(6) 58/143　(7) √10　(8) aₙ=3n²−n+1

【📖大切な定義】循環小数は「循環部の長さぶんだけ10倍してずらし、差をとる」と分数になります（循環節が3桁なら を分母に見込む）。点 と直線 の距離は 。和積の公式 、2倍角 を機械的に使えることが前提です。数列の和 と一般項は 、 で結ばれます。

【👀ここに注目】(1)は「循環節3桁→ してずらす」、(2)は「 について整理して2次式を因数分解」、(4)は「差の形は和積で が主役」、(5)は「 と置いて3次方程式」、(8)は「差をとった後に必ず を確認」——各問の入口の一手が決まっています。

方針・解答
(1) とおくと循環節は3桁なので 。辺々引くと 、よって 。 は素数で約分できないので 1237/999。
(2) を の2次式とみます。まず 。定数を含めて と展開すると の係数条件 、 の係数条件 、定数条件 が出ます。これを解くと 。ゆえに (2x+y−2)(x−2y+1)。
(3) 直線を と書けば、距離は 2。
(4) 和積の公式より 。よって 。したがって −19/25。
(5) とおくと 、 なので、方程式は 。因数分解して 、ゆえに または 。 より （このとき で除外）または 。求める の解は すなわち x=log₃(1+√3)。
(6) 赤6個・白8個の計14個から4個を同時に取り出す総数は 通り。白が3個以上とは「白3個・赤1個」または「白4個」の場合で、その数は 通り。よって確率は 58/143。
(7) だから 。 は実数全体を動くので最小は のとき 。 より最小値は √10。
(8) のとき 。この式に を代入すると と一致するので、 で成り立ちます。ゆえに aₙ=3n²−n+1。

【✅検算】(1) で確かに が循環。(2) を代入すると原式 、因数分解形も で一致。(3) 点 からの符号付き値 、絶対値 を で割り 。(4) 、。(5) を に入れると 。(6) は分子分母を7で割って 。(7) で 、。(8) の和 と が一致。

【💡ポイントコラム】循環小数の分数化は「循環節の桁数だけ10倍してから元の数を引く」だけで、循環部が消えて整数どうしの差になります。循環節が 桁なら が分母の目安で、本問のように3桁なら を作ればよく、最後に約分するのを忘れないのがコツです。

【💡ポイントコラム】指数方程式 は、 と置けば という3次方程式に化けます。指数のまま睨むのではなく、 のように「底 の多項式」へ翻訳し、最後に の条件で解を選別する流れが定石です。

【💡ポイントコラム】 から一般項を出すときは が使えるのは だけで、 は別扱いです。差から得た式に を代入して と一致すれば「 で成立」とまとめられますが、一致しない年度もあるので、最後の チェックを必ず入れる習慣をつけたいところです。

第2問（図形と計量：正弦定理・円に内接する四角形の面積）　答：(1) AC=√6+√2　(2) 3+2√3

【📖大切な定義】外接円の半径 の三角形では正弦定理 が成り立ちます。円に内接する四角形は向かい合う角の和が 。三角形の面積は2辺とはさむ角から で求められます。平行線 と円周角を組み合わせると、四角形の各頂点の角が芋づる式に定まります。

【👀ここに注目】(1)は「正弦定理で を先に確定→鈍角条件で を選ぶ」、(2)は「内接四角形の性質と平行から が二等辺と分かる→2つの三角形の面積和」——角の決定が全体の鍵です。

方針・解答　三角形の内角を頂点の記号で のように表します。
(1) 半径 の円に内接するので 。正弦定理より 。 から 、 から 。 が鈍角なので は鋭角で、。よって で、 ゆえに AC=√6+√2。
(2) 。円に内接する四角形ABCDでは 。また より同側内角から 。ここから なので、 は の二等辺三角形です。四角形ABCDを対角線ACで2つに分け、 、、 を代入すると 。ゆえに 3+2√3。

【✅検算】(1) 。余弦定理でも 、 で一致。(2) 4つの弦の中心角は （和は ）。中心を用いた面積 と一致。

【💡ポイントコラム】正弦定理 は、外接円の半径が与えられた瞬間に各角の を一気に確定できる強力な道具です。 の値からは鋭角・鈍角の2通りが出るので、「 は鈍角」のような条件で角を1つに絞り込むところまでが一続きの作業になります。

【💡ポイントコラム】円に内接する四角形の面積は、対角線で2つの三角形に分けて を足すのが基本です。別解として、各弦が中心に張る中心角を求め とする方法もあり、両者が一致すれば強力な検算になります。平行条件と内接四角形の性質から角を芋づる式にたどるのがポイントです。

第3問（微分・極限：反比例のグラフの接線と無限級数）　答：(1) Pₙ=(2n(n+1)/(2n+1), 2/(2n+1))　(2) 1/4

【📖大切な定義】曲線 上の点 での接線は 。三角形の面積は2つの辺ベクトル から で求められます。無限級数は部分分数分解 で望遠鏡和（隣接項が打ち消す和）にすると、部分和の極限として求まります。

【👀ここに注目】(1)は「接線 を の式で表し を解く」、(2)は「 を計算→ が部分分数になる→望遠鏡和」——(1)で得た を(2)の面積計算に流し込む積み上げ型です。

方針・解答　 より 。
(1) 点 での接線は 。 は を に置き換えて 。交点の 座標は を解いて 。これを に代入すると 。ゆえに Pₙ=(2n(n+1)/(2n+1), 2/(2n+1))。
(2) 、。三角形の面積公式に代入すると 線分 の中点の 座標は 。よって したがって 1/4。

【✅検算】(1) のとき 、 の交点は 。公式でも で一致。(2) で 、、。部分和は で確定。

【💡ポイントコラム】2直線の交点を求めるとき、片方を 、もう片方を の式にしておくと、差 や がきれいに約分されて のような整った形にまとまります。文字を含む一般項の計算では、通分と約分を最後まで丁寧に運ぶことが正答への近道です。

【💡ポイントコラム】3点の三角形の面積は、2辺ベクトルから で出すと座標が複雑でも機械的に処理できます。得られた が のように部分分数に分かれれば、 の望遠鏡和として無限級数がただちに求まります。

第4問（積分・領域：半円と直線で囲まれた領域の面積と1次式の最小）　答：(1) π/6−√3/4　(2) 1−√2

【📖大切な定義】 は、両辺を移項して2乗すると 、すなわち中心 ・半径 の円の下半分の弧です。半径 ・中心角 の扇形の面積は 。1次式 の最小は、傾き の直線群が領域Dに触れる最も下の位置（境界の円弧に接するとき）で実現します。

【👀ここに注目】(1)は「下側の曲線が円弧と気づく→扇形−三角形（＝弓形の面積）」、(2)は「 を傾き1の直線とみて円弧に接するときが最小」——曲線を円と見抜けるかが両問の入口です。

方針・解答　直線 と曲線 の交点は、 を2乗して 、すなわち 。交点は原点 と です。
(1) 領域Dは、下を円弧 、上を直線 で挟まれた部分です。 第1のかたまりは 。 と置くと 。合わせて 。ゆえに π/6−√3/4。
（別解）直線 は円 の弦OQそのもので、Dはこの弦と下側の弧が作る弓形です。中心 から見た なので、弓形の面積＝扇形−三角形＝ と一致します。
(2) とおくと （傾き 、 切片 ）で、 を最小にするのはこの直線が領域Dと共有点をもちながら最も下がる位置、すなわち下側の円弧 に接するときです。この曲線は で、接点では傾きが だから 、2乗して 。 より 、このとき 。よって の最小値は 1−√2。

【✅検算】(1) 。細分した数値積分でも同程度の値になり、弓形（扇形 − 三角形 ）と一致。(2) 接点 で 。境界の弦上での は端点Q で にとどまり、円弧上の の方が小さいことも確認できます。

【💡ポイントコラム】 のような無理関数は、 と移項して2乗すれば となり、円弧の正体が見えます。円と気づけば、積分せずとも「扇形−三角形＝弓形」で面積が出せ、積分による結果の検算にもなります。ルートの中身が の形を見たら、まず円を疑うのが有効です。

【💡ポイントコラム】「領域上での の最小」は線形計画法の発想で、 を傾き の平行直線群とみて、領域に触れる限界の位置を探します。境界が直線なら頂点で、円弧のように曲がっていれば接点で最適値をとるので、頂点だけでなく「接するとき」も必ず調べることが取りこぼしを防ぐカギです。