日本大 医学部2016年度数学 過去問の傾向と解答・解説

日本大学 医学部 2016年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（独立小問集合：数と式・2次方程式・図形・確率）　答：(1) a=17, b=4√3+√5−9　(2) −1/3<k<0 または 0<k<1　(3) sinC=5√3/12, R=2√3　(4) 3/16

【📖大切な定義】実数 の整数部分 は を満たす整数、小数部分 は （）で定まります。2次方程式 （）が異なる2実解をもつ条件は判別式 です。

【👀ここに注目】(1) は分母を有理化してから を評価、(2) は を先に除外して2次方程式に確定、(3) は正弦定理を2回使う、(4) は「4回目が2度目の赤」を「3回目までに赤1回」と分解——それぞれ入口の一手が決まっています。

方針・解答
(1) 分母を有理化すると 、。和は 。ここで より 、すなわち 。よって整数部分 a=17、小数部分は 4√3+√5−9。
(2) 。 なら で解が1つになり不適なので 。判別式 。異なる2実解の条件 は 、すなわち より 。 を合わせて求める範囲は −1/3<k<0 または 0<k<1。
(3) 三角形ABCで 。正弦定理 より 5√3/12。外接円の半径 は から 2√3。
(4) 赤玉を引く確率は 、赤以外は 。取り出してもとに戻すので各回独立です。「4回目に2度目の赤玉」は、3回目までにちょうど1回赤が出て、4回目も赤、という事象。確率は 。よって 3/16。

【✅検算】(1) を数値計算すると整数部分17、小数部分 と一致。(2) を入れると の判別式は で2実解、 では で実解なしとなり、境界 の内外が一致。(3) 余弦定理で を満たす を求め、面積の2通り表示から を数値確認。(4) 全 通りの赤/非赤の並びを総当たりすると条件を満たすのは の3通り、確率3/16と一致。

【💡ポイントコラム】整数部分の評価は「使う無理数だけを不等式で挟む」のが要点です。 のように複数の無理数が混じるときは、 それぞれを 刻み程度で挟み、和の上下限を作れば整数部分が確定します。過度に細かく評価しなくても、境界の整数をまたがない粗さで十分です。

【💡ポイントコラム】「 回目に 度目の当たり」型の確率は、 回で 回当たり、 回目に当たり、と必ず分解できます。反復試行の という形に落とすと、負の二項分布の考え方がそのまま使えます。

第2問（独立小問集合：3次方程式・三角関数・対数・数列）　答：(1) a=5, b=35, 実数解 x=−7　(2) 最大値3, 最小値(1−5√2)/2　(3) 31桁　(4) 9/4

【📖大切な定義】実係数の方程式が虚数解 をもてば、共役 も解です。三角関数の1次結合は合成 で単振動に、対数の桁数は で判定します。

【👀ここに注目】(1) は共役解＋解と係数の関係、(2) は倍角で次数を下げて合成、(3) は が の形、(4) は両辺の対数をとって等比数列——いずれも「既知の形に落とす」問題です。

方針・解答
(1) 係数が実数で が解なので、共役の も解です。残る実数解を とおくと、解と係数の関係より、和 、2つずつの積の和 、積 。中央の式から 、よって 5、35、実数解は x=−7。
(2) を倍角で書き換えると 。 より なので 。 が最小 のとき は最大 3、 が最大 のとき は最小 (1−5√2)/2。
(3) とおくと で、 より 、。ゆえに 、すなわち 。 より 。 なので 、したがって は 31桁。
(4) の両辺で3を底とする対数をとると 、すなわち 。数列 は初項 、公比 の等比数列です。 より無限等比級数の公式から 9/4。

【✅検算】(1) を戻した に を代入すると で成立、 の直接代入でも実部・虚部とも0。(2) を1度刻みで走査すると最大 （）、最小 と一致。(3) の常用対数 から桁数31を確認。(4) から漸化式を数値反復し、部分和 と一致。

【💡ポイントコラム】 が並んだ2次同次式は、半角・倍角公式で の1次式へ必ず落ちます。あとは合成して の値域を追うだけ。定数項の を分離しておくと、最大・最小の計算が の符号ミスなく進みます。

【💡ポイントコラム】 と は互いに逆数です。 と置けば連立の1本目は となり、相加相乗の等号 から一気に が出ます。底の変換公式を毎回書くより、逆数関係を覚えておくほうが速く安全です。

第3問（ベクトルと外接円：内積・外心・方べきの定理）　答：(1) BC=√2, 面積=√7/4　(2) AO=(2/7)AB+(3/7)AC　(3) AR=(15/14)AB+(5/14)AC, 四角形ABRC面積=(5/14)√7

【📖大切な定義】 から角の余弦が読めます。外心 は各辺の垂直二等分線の交点で、 を満たします（ から各辺の中点への射影条件）。方べきの定理は交わる2弦で 。

【👀ここに注目】(1) は内積から を出して余弦定理、(2) は外心の射影条件を で連立、(3) は の交点で三平方＋方べきの定理——順に積み上がる構成です。

方針・解答
(1) 。よって 。余弦定理より 、BC=√2。面積は √7/4。
(2) とおきます。 を用い、外心の射影条件 に代入すると 。解いて 。よって (2/7)AB+(3/7)AC。
(3) となる弦 と の交点を とします。 とおき、 で三平方の定理を用いると 、すなわち より 。ゆえに で 、。方べきの定理 より 。よって 。 は直線 上なので (15/14)AB+(5/14)AC。四角形ABRCは対角線 が直交するので面積は (5/14)√7。

【✅検算】座標を （ を満たす）にとって数値計算すると、 は に一致、外接半径 は各頂点まで等距離。 の を円上に求めると 、四角形ABRC面積 と一致。

【💡ポイントコラム】外心をベクトルで求めるときは、（辺ABの中点で垂直に射影される）を2辺分立てるのが最短です。垂直二等分線を座標で連立するより計算が軽く、 の3つの内積さえ用意すれば機械的に解けます。

【💡ポイントコラム】円に内接する弦の長さは、垂線の足で分けて「三平方の差」 を作ると位置が定まり、その先は方べきの定理 で残りの弦がわかります。三角比を持ち出さずに、直角と等長だけで四角形の面積まで到達できるのが本問の骨格です。

第4問（面積と極限・最大：記述式）　答：(1) lim kS₂/S₁ = π/2　(2) S₂−S₁=k−2√(k²−1)+2f(k), k=2/√3 で最大値 π/3

【📖大切な定義】曲線 と の交点の 座標 は で定まり、このとき 。陰関数 を で微分すると が得られます。

【👀ここに注目】(1) は を積分で表し、全体面積 を使って比の極限をとる、(2) は と書き直し、陰関数微分で増減を調べる——面積の分解が鍵です。

方針・解答
領域 （）の全体面積は 。 の解を （）とすると、 の部分は 。よって 。
(1) 。 のとき 、。分子は が支配的で 、分母は なので比は π/2。
(2) k−2√(k²−1)+2f(k)。これを とおき で微分すると、 を用いて 。 は 、すなわち 、、（ を満たす）。 で 、 で なので、k=2/√3 で最大。このとき より 、 より 。最大値は π/3。

【✅検算】 で 。、、 と一致。 など前後の値で を数値確認。(1) は で と一致。

【💡ポイントコラム】交点の 座標を と名づけたら、 を で微分して を陰関数のまま取り出すのが定石です。 の具体式（）を書かずに済み、増減表の が という扱いやすい形にまとまります。

【💡ポイントコラム】「 と の面積の差」は、全体 を使えば と一発で書けます。差や和を直接積分し直すより、片方 と全体 だけ求めて引き算する方が計算量が減り、ミスも防げます。

第5問（2曲線の共通接線と回転体・記述式）　答：(1) 共有点(√e, a), 接線 l：y=(2a√e/e)x−a　(2) V₁=πea/6, V₂=(48−29√e)/6·πa², a=e/(48−29√e)

【📖大切な定義】2曲線が接する（共通接線をもつ）とは、共有点で関数値と導関数値がともに一致すること。差 （一方）−（他方）を作り、 かつ が1点のみ、そこで 、を示すのが標準です。回転体の体積は「円錐から回転体を引く」など、既知の立体との差で組み立てると見通しよく計算できます。

【👀ここに注目】(1) は差 の最小値が0であることを増減表で示す、(2) は を「円錐−回転体」で表し部分積分で を処理——構造の見抜きが要点です。

方針・解答
(1) 真数条件 。差 を微分すると 。 で を境に負から正へ変わり、最小値は 。よって が常に成り立ち、等号は のみ。ゆえに2曲線はただ1点 を共有します。共有点での傾きは、 が 、 が で一致するので共通接線をもち、その方程式は y=(2a√e/e)x−a。
(2) は 軸と 、 軸と で交わります。 は「・直線 ・ 軸で囲む三角形を 軸まわりに回した円錐」から「曲線① ・・ 軸で囲む部分の回転体」を引いて求めます。円錐は底面半径 ・高さ で体積 、曲線①の回転体は 。よって πea/6。
は「・直線 ・ 軸で囲む三角形を 軸まわりに回した円錐」から「曲線②・・ 軸で囲む部分の回転体」を引きます。円錐は底面半径 ・高さ で体積 。曲線②は で 軸と交わるので （部分積分を2回）。よって (48−29√e)/6·πa²。 は 、両辺を整理して 、ゆえに a=e/(48−29√e)。