日本大学 2018年度 数学

日本大学 医学部 2018年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（独立小問集合：2次関数・複素数・空間図形・確率）　答：(1) a=5/8, b=5/2　(2) a=3, b=−14　(3) PQ=√13, RP=3√2, 面積=(3/2)√17　(4) 1/4, 1/36

【📖大切な定義】平方完成した2次関数 は、頂点 x=p が定義域に含まれるとき、そこで最小（a>0）または最大の一方が確定します。もう一方は「頂点から遠い端点」で起こる、という位置関係の読みが値域問題の核心です。

【👀ここに注目】(1) は頂点の x 座標、(2) は共役複素数も解であること、(3) は「頂点 B に集まる3辺が互いに直交する」こと、(4) は倍数判定を下位桁の情報だけで済ませられること——それぞれ入口の一手が決まっています。

方針・解答
(1) 。頂点は x=−3 で、定義域 に含まれます。a>0 より x=−3 で最小 。最大は頂点から遠い端 x=2（距離5）で起こり 。辺々引くと 、よって a=5/8、代入して b=5/2。
(2) 実係数の3次方程式が を解にもつので、共役の も解です。残る実数解を α とすると、この2つの積は 、和は2。解と係数の関係（）より3解の積は なので 、α=8/3。2次の対称和は より 、a=3。1次（和）から 、よって b=−14。
(3) 頂点 B から出る3辺 BA, BF, BC は互いに直交します。AB を1:3に内分する P は BP=3、BF の中点 Q は BQ=2、BC を3:1に内分する R は BR=3。直交する2辺で三平方の定理より 、。同様に なので三角形 PQR は PQ=QR の二等辺三角形。底辺 RP の中点へ Q から下ろした高さは 。面積は 。
(4) 3桁の数の百・十・一の位を x, y, z（各1〜6）とします。4の倍数条件は下2桁、すなわち 。これを満たす (y,z) は (1,2),(1,6),(2,4),(3,2),(3,6),(4,4),(5,2),(5,6),(6,4) の9通り。x は自由なので確率は 。さらに9の倍数は各位の和が9の倍数。上の9組に x を足して和が9になるのは (x,y,z)=(6,1,2),(2,1,6),(3,2,4),(4,3,2),(1,4,4),(2,5,2) の6組で、確率は 。

【✅検算】(1) a=5/8, b=5/2 で頂点値 、x=2 で と一致。(2) a=3, b=−14 を戻した に x=1+√2 i を直接代入すると （実部・虚部とも0）となり成立。(4) 3桁全216通りを総当たりすると4の倍数は54個、4かつ9の倍数は6個で一致。

【💡ポイントコラム】(3) の直方体では「1つの頂点に集まる3辺は直交座標軸そのもの」と割り切ると、対角線・面積・体積がすべて三平方の定理の反復で片づきます。座標を置いて B を原点、BA・BC・BF を x・y・z 軸にとってもまったく同じ答に至り、これが数値検算の骨格になります。

【💡ポイントコラム】4の倍数は「下2桁」、9の倍数は「各位の和」——倍数判定は上位桁を見ないで済む部分から攻めるのが定石です。(4) では先に4の倍数の (y,z) を確定し、その9組にだけ x を足して9の倍数を探すので、探索が から一気に9通りへ縮みます。

第2問（独立小問集合：円上の最大値・指数方程式・ベクトル・漸化式）　答：(1) 1−√2+√6/2　(2) x=log₂(2+√5)　(3) 4:5, k=7/9+√3/6　(4) bₙ=2+(3/7)ⁿ⁻¹

【📖大切な定義】円 上の点は と媒介変数表示でき、1次式の最大・最小は三角関数の合成 に帰着します。

【👀ここに注目】(1) は円の媒介変数化、(2) は の置換、(3) は角の二等分線の性質 AC:CB=OA:OB、(4) は が線形漸化式になること——いずれも「置き換えて既知の形に落とす」問題です。

方針・解答
(1) より 。。合成すると振幅は なので最大値は 。
(2) とおくと より 、また 。方程式は 、すなわち で t=4。 を で解くと 、（正の方）。よって 。
(3) より 、。OC が角 AOB の二等分線なので、角の二等分線の性質から C は AB を に内分します。。D は OA 上で 、CD⊥OA より 。 を使うと 、よって 。
(4) 、。。不動点は なので 。 より 、したがって 。

【✅検算】(1) θ を1度刻みで走査した数値最大は 0.7247…= と一致。(2) を原式へ代入すると左辺は約 。(3) で を数値確認。(4) 漸化式 を数値反復し、 と一致。

【💡ポイントコラム】(2) の と は「 を置けば前者は 」という定番の連動関係。 を見た瞬間に和や差の2乗を疑うと、指数方程式は2次方程式に化けます。

【💡ポイントコラム】(4) の分数型漸化式 は、逆数 をとると必ず の1次型になります。「不動点を引いて等比」に持ち込む流れは、医学部頻出の得点源です。

第3問（楕円と三角形の面積・通過領域）　答：(1) P(1/3, (4/3)√2), 面積=(7/4)√2　(2) y=2x−2√2, 接点(√2/2, −√2)　(3) (7√2+4+5π)/4

【📖大切な定義】楕円 上の点は と表せます。三角形の面積は、1頂点を原点へ平行移動すると の形に簡単化でき、さらに媒介変数化＋三角合成で最大値へつながります。

【👀ここに注目】(1) は「底辺 AB を固定し、P の高さ＝AB からの距離を最大化」、(2) は判別式=0の接線条件、(3) は動く三角形の通過領域を台形・三角形・楕円弓形に分解する、という筋です。

方針・解答
(1) 。A が原点に来るよう全体を平行移動すると B は 、P は に移り、面積は不変です。面積は （α は を満たす鋭角）となり、 のとき最大です。このとき面積は 、点 P は より 。
(2) 接線は y 軸に平行でないので傾き k とおき、B を通る直線 を楕円に代入。 の判別式を0とすると 、。第4象限で接するのは k=2 の方で、直線は 。重解 、。接点は 。
(3) P が楕円を1周するとき、三角形 ABP の周および内部が通過する領域は、辺 AB の外側へ膨らむ弓形を含む形になります。（(2)の接点）をとり、領域を台形 OBAC、三角形 OBD、楕円の弓形 E に分けて足します。台形部分 、三角形部分 。楕円 は円 を y 方向に2倍したものなので、対応する円の扇形面積 を2倍して 。合計は 。

【✅検算】(1) θ を細かく動かした数値最大面積は 2.4749…= で、そのときの P は と一致。(2) と楕円を連立すると判別式0（重解 x=√2/2）を数値確認。(3) 領域をモンテカルロ積分すると面積 6.396…、閉形式 と一致。

【💡ポイントコラム】「三角形の面積の最大」は、1つの辺を底辺に固定して残る頂点の“高さ”を最大化するのが基本。頂点が楕円上を動くなら を代入し、三角合成で を狙えば、頂点の座標まで同時に決まります。

【💡ポイントコラム】楕円の面積計算は「円を一方向に 倍した図形」という見方が近道です。楕円弓形の面積は、対応する単位円の扇形（角度は媒介変数 θ から読む）を 倍するだけで済み、積分を書かずに が出ます。

第4問（放物線の直交する2接線・記述式）　答：(1) 点Rのy座標は常に−1/16　(2) 面積=(b−a)³　(3) 最小値 1/64

【📖大切な定義】放物線 の点 における接線は （）。2直線が直交する条件は「傾きの積が 」、すなわち です。三角形の面積は1頂点を原点へ平行移動して で計算します。

【👀ここに注目】(1) の直交条件から が出て、これが(2)(3)まで全問を貫く“不変量”になります。

方針・解答
(1) P, Q での接線は 。直交より 、。交点 R の x 座標は から 。これを に代入すると 。よって R の y 座標は a, b によらず常に 。
(2) R が原点へ来るように P, Q, R を平行移動すると 。面積は 。 より なので 。ゆえに面積 （ より正）。
(3) (2)より三角形 PQR の面積は なので、 の最小を求めればよいです。 と （積が負・）より 、。相加相乗平均から 、等号は （このとき ）。よって面積の最小値は 。

【✅検算】(1)(2) で P(−1/8,1/16), Q(1/8,1/16), R(0,−1/16)。底辺 PQ=1/4、高さ 1/8 で面積 と一致。別値 でも座標公式で面積 を確認。(3) を数値最小化すると b=0.125 で最小 0.25、面積 0.015625=1/64 と一致。

【💡ポイントコラム】放物線の直交2接線の交点は「常に準線上」を動きます。本問の はまさに の準線で、(1) はその一般事実の再確認。“交点が動かない座標”に気づくと、面積を 一変数で扱う(2)(3)への橋が見えます。

【💡ポイントコラム】面積が のように差の関数で書けたら、あとは制約 一定 のもとで を最小化するだけ。 なので は相加相乗の定型に乗り、微分を使わずに最小値へ到達できます。

第5問（空間の三角形と回転体・対数積分・記述式）　答：(1) H(16/21, 8/21, 4/21)　(2) S(a)=π/5·(4−a)²　(3) −2log3

【📖大切な定義】平面 ABC 上の点は （）と表せ、垂線条件は 。回転体の断面積では、直線上で相似比が変わるので「断面は相似比の2乗で縮む」ことを使います。

【👀ここに注目】(1) は係数条件と2本の垂直条件で連立、(2) は の高さで三角形を切ると軸からの最遠・最近距離が相似で決まる、(3) は被積分関数が の形——それぞれ入口が明確です。

方針・解答
(1) 。平面は 、すなわち 。原点からの垂線の足は の形で、代入すると 、。よって 。
(2) まず （z=0 の断面）を考えます。三角形 OAB で 、面積を2通りに表して原点から AB への距離 。T を z 軸で1回転させた立体の の断面は、外半径 、内半径 の円環で 。高さ では、辺 AC, BC, OC 上の対応点がつくる三角形が元と相似で相似比は 。断面積は相似比の2乗で縮むので 。
(3) なので より 、よって値は 。

【✅検算】(1) は （）を満たし、 も成立。(2) a=0 で 、公式 と一致。(3) を数値積分すると 、 と一致。

【💡ポイントコラム】回転体の断面が「円環」になる理由は、その高さでの図形の“軸からの最遠点”が外半径、“最近点（＝垂線の足）”が内半径になるから。原点から辺への距離 OD を「面積の2通り表示」で出すのは、内半径を求める最短ルートです。

【💡ポイントコラム】 は対数微分の逆。分子が分母の導関数になっている積分を見たら、まず を疑うと、面倒な の展開を一切せずに まで一気に運べます。

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