日本大 医学部2020年度数学 過去問の傾向と解答・解説

日本大学 医学部 2020年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（小問集合：放物線の共有点・集合の要素数・三角比・線形計画）　答：(1) 、直線 　(2) 　(3) 　(4) 最小値 、最大値

【📖大切な定義】2つの放物線の共有点は「2式を連立して を消去した2次方程式の解」です。さらにその2交点をともに通る直線は、2つの放物線の式を辺々引いて の項を消せば、そのまま得られます（2交点はどちらの式も満たすので、差の式も満たす）。

【👀ここに注目】(2) の はド・モルガンの法則で に等しく、 は「 から を除いた集合」です。補集合の記号は、いったん交わりの補集合に直すと数えやすくなります。

方針：(1) は連立して2次方程式へ、直線は辺々の差で。(2) は倍数の個数を包除で。(3) は与式を因数分解して を導き余弦定理へ。(4) は領域の頂点を求めて を各頂点で評価します。

解答　(1) より 、 だから 。2交点をともに通る直線は、2式の差 が になる点の集合という見方でもよいですが、確実なのは2点の座標から求める方法です。 のとき 、 のとき 。傾きは なので、 すなわち 。

(2) 全体集合 は 以上 以下の自然数で が2の倍数、 が3の倍数、 が5の倍数。 は の倍数で、 の 個。次に なので 。、 より 。

(3) を と因数分解します。 なので 、すなわち 。 と余弦定理から 。よって 、。

(4) 領域 は の共通部分です。境界線の交点を調べると、頂点は の4点になります（例えば と の交点は 、 と の交点は ）。目的関数 を各頂点で計算すると、 で 、 で 、 で 、 で 。1次式の最大・最小は頂点で起こるので、最小値 、最大値 。

ここで補足すると、(2) の は「 以下の2の倍数は の 個」という数え方から出ます。同じ要領で の倍数は 個、 の倍数は 個ですが、本問で必要なのは 全体と の倍数の個数だけなので、余計な数え上げをしないのが時間短縮のコツです。また (4) では、目的関数 の等高線（傾き の平行な直線群）を平行移動させると、領域の頂点で初めて領域に触れ、最後に離れる頂点で最大・最小になる、という図形的なイメージを持っておくと、計算した数値が妥当かどうかを直感的に点検できます。

【✅検算】(1) 2交点 を に代入すると両方成立。(3) で余弦定理 を満たし と一致。(4) 4頂点以外の内部点、例えば （すべての不等式を満たす）で となり、確かに と の間に収まります。

【💡ポイントコラム】2つの放物線 の共有点をともに通る直線は、 が2次式なら「2交点の座標から直線を引く」のが最短です。差が最初から1次式になる場合（ の係数が等しいとき）は、差の式そのものが求める直線になります。係数を見て、どちらの型かを最初に判断すると速く解けます。

【💡ポイントコラム】 のような4次式は、 を核にして共通因数 をくくり出すのが定石です。「三角形の辺の関係式が因数分解できたら、 や のような二等辺条件を疑う」という発想を持っておくと、余弦定理につなぐ流れが見えやすくなります。

【💡ポイントコラム】線形計画法では、目的関数 の値は必ず領域の頂点で最大・最小になります。すべての頂点を漏れなく出すには、境界の直線を2本ずつ連立し、その交点が「他のすべての不等式を満たすか」を1つずつ確認するのが確実です。図をていねいに描いておくと、余分な交点をふるい落とせます。

第2問（小問集合：空間ベクトル・三角関数・複素数の数列・整数の因数分解）　答：(1) 、 のとき最小値 　(2) 最小値 、最大値 　(3) 、　(4) 、素数となる整数は 個、最大の素数は

【📖大切な定義】空間ベクトルの大きさは で、成分の2乗和です。 の2次式になれば、平方完成で最小値が求まります。三角関数の最大・最小は、 のような公式で「1つの角の関数」に統一してから、置き換えて2次関数に帰着させます。

【👀ここに注目】(3) の は絶対値 、偏角 の複素数です。 の実部 は周期6で循環します。周期性を見抜けば、積も和も有限個の計算に落ちます。

方針：(1) は内積を成分計算し、 を の2次式にして平方完成。(2) は を に統一。(3) はド・モアブルで実部の周期性を利用。(4) はまず を2つの2次式の積に因数分解し、片方が になる整数だけを調べます。

解答　(1) （ によらず一定）。次に なので 。よって のとき最小で、、。

(2) で 。 を用い、 とおくと より 。。これは上に凸の放物線で、軸は 。最大は のとき 。最小は端点で調べ、 のとき 、 のとき だから、最小値 。

(3) より 。順に 。積は 。和は周期6で1周期分 。 なので、 周期分は 、残り 。よって 。

(4) 。 の形（ の係数を にするため2つ目の1次の係数を にする）で係数比較すると、 の係数 、 の係数 、定数 。 とおくと かつ より となり を満たします。よって 。 が素数になるには、2つの因数の一方の絶対値が でなければなりません。 を解くと （ のとき）、（ のとき）。 を解くと （ のとき）、 のときは整数解なし。候補 について を調べると、 で （素数）、 で （素数）、 で （素数でない）、 で （素数でない）、 で （素数）。したがって が素数になる整数は の 個で、最大の素数は 。

【✅検算】(1) で 、 で 、 で と、軸で最小になることを確認。(2) （）で 、数値的にも区間の最小と一致し、最大は 。(3) より は周期6。(4) で 、素数であることを確認しました。

【💡ポイントコラム】 のように、角が と で混在する式は、倍角公式 で「小さいほうの角」にそろえるのが定石です。 を1文字に置き換えると2次関数になり、定義域（ここでは ）に注意して頂点と端点を比べれば最大・最小が確定します。

【💡ポイントコラム】 が素数になる整数を探す問題は、まず を整数係数の積 に因数分解し、「素数＝1×素数」から一方の因数の絶対値が になる だけに絞り込みます。候補を出したら、もう一方の因数が本当に素数か（ のように合成数になっていないか）を1つずつ確かめる、という二段構えが大切です。

【💡ポイントコラム】絶対値 の複素数 の 乗は、ド・モアブルの定理で偏角が になるだけです。実部・虚部が周期的に循環するので、数列の和や積は「1周期分」を計算し、あとは項数を周期で割った商と余りで処理します。 のような割り算が計算の要になります。

第3問（確率：得点ゲームと反復試行）　答：(1) 、各自 点　(2) 　(3)

【📖大切な定義】さいころを 回振り、「2以下の目」が出た回数を とすると、その回数は成功確率 の反復試行に従い、ちょうど 回となる確率は です。まずは得点を と の式で表し、条件を の不等式・方程式に翻訳します。

【👀ここに注目】2以下が 回、3以上が 回。A君の得点は 、B君は 。この2式さえ立てれば、あとは「等しい」「小さい」という条件を素直に式にできます。

方針：得点を で表し、(1) は等号を解いて 、(2)(3) は条件を満たす の値を集めて反復試行の確率を足します。

解答　A君の得点 、B君の得点 とおきます。(1) で両者が等しいとき、 すなわち 、、。このとき各自の得点は 点（B君も 点で一致）。

(2) で両者が等しいのは 、、 のとき。反復試行の確率は 。

(3) でA君の得点がB君より小さいのは 、、 より 。それぞれの確率は 、、。合計して 。

なお、このゲームは「1回ごとにA君とB君の得点差がどう動くか」に注目しても解けます。2以下が出るとB君が 点・A君が 点で差はB君側に 、3以上が出るとA君が 点・B君が 点で差はA君側に 動きます。最初の持ち点差は （A君が 点リード）なので、 回後の得点差は 。これを とおけば (1) の 、負にすれば (3) の条件が同じ式で出てきます。どちらの立式でも結論は変わりませんが、差に注目すると計算量が減る場面が多いので、両方の見方を持っておくと安心です。

【✅検算】(1) を代入するとA君 、B君 で一致。(2) 以外では となり、確率は の場合だけを数えればよく 。(3) の確率を全列挙で足し合わせても と一致しました。

【💡ポイントコラム】得点を争うゲームでは、まず「1回の試行で両者に入る点差」を固定し、回数 を使って総得点を1次式で表すのが出発点です。得点の等式・不等式が についての単純な条件に化けるので、あとは反復試行の確率公式 に当てはめるだけになります。

【💡ポイントコラム】「A君の得点がB君より小さい」のように範囲で条件が出るときは、 の不等式を解いて該当する整数値をすべて拾い、その確率を足します。 を に直すとき、 が整数であることを使う一手を忘れないのがポイントです。

第4問（微分：分数関数の導関数・単調性・不等式評価）　答：(1) 　(2) 区間 で より単調減少　(3)

【📖大切な定義】商の微分法 と、指数関数の微分 。単調減少は「その区間でつねに 」で言い切れます。不等式が「つねに成り立つ」条件は、変数を分離して や の形に翻訳するのが定石です。

【👀ここに注目】(3) の不等式は、両側とも を移項して をはさむ形に変形できます。この中央の式はちょうど本問の そのもの。だから (2) で示した「 は単調減少」がそのまま最大・最小の場所を教えてくれます。

方針：(1) は商の微分で整理。(2) は の符号を評価。(3) は不等式を変数分離して に直し、 を最小にします。

解答　 とします。(1) 分子 、分母 とおくと 、。商の微分で分子は 。したがって 。

(2) 区間 では なので 、、。よって の符号は分子の の符号で決まります。この区間で 、かつ なので、。ゆえに が区間全体で成り立ち、 は で単調減少です。

(3) 区間 （）で不等式 を考えます。左側は より 。右側は同様に 。これらが区間全体でつねに成り立つ条件は 。(2) より は減少するので、、。 なので となり、等号すなわち最小は のとき。、。したがって 。

【✅検算】(1) で分子 、分母 となり、数値微分でも と一致（負で減少と整合）。(3) 、 で、区間の両端 で不等式が等号成立し、内部ではすき間ができることを数値で確認しました。

【💡ポイントコラム】「区間でつねに が成り立つ」タイプは、 を移項して真ん中の式を1つの関数 に押し込み、 と読み替えるのが最短ルートです。 の最小は「 を最大値ちょうど、 を最小値ちょうど」に取るときに実現します。

【💡ポイントコラム】分数関数の は、分母が2乗で必ず正になることが多いので、符号の判定は分子だけに集中できます。本問のように分子が と積の形に整理できれば、各因数の符号を区間で確かめるだけで増減が決まります。「分母は正、符号は分子で」という視点を常に持っておくと速いです。

第5問（微分積分：分数関数の極値・変曲点の接線・2接線と曲線で囲む面積）　答：(1) 極大値 （）、極小値 （）　(2) 　(3)

【📖大切な定義】 の増減は 、凹凸と変曲点は で調べます。変曲点は の前後で凹凸が入れかわる点。面積は「上の関数 − 下の関数」を積分し、 を用います（ は自然対数）。

【👀ここに注目】(3) の2本の接線 の接点はともに 座標が で、 の接点は 、 の接点は 。2直線の交点で積分区間を2つに分け、各区間で「接線 − 曲線」を積分して足し合わせます。

方針：(1) は の符号変化で極値。(2) は から変曲点を出し接線を立てる。(3) はもう1本の接線 を求め、2直線の交点を境に面積を2つに分けて積分します。

解答　。(1) 。 は 。 の前後で は正から負に変わるので極大値 、 の前後で負から正に変わるので極小値 。

(2) 。 での変曲点は かつ前後で凹凸が変わる 。このとき 、傾き 。よって接線 は 、すなわち 。

(3) 点 （曲線上にあり ）での接線を とすると、傾きは 。よって 、整理して 。 と の交点は から 。区間 では、この曲線は上に凸（ で ）なので接線は曲線の上側にあり、面積は 。 を使って計算すると、第1の積分は 、第2の積分は 。和は 。すなわち 。

面積の途中計算をもう少していねいに書くと、第1の積分 は、原始関数 に両端 を代入して となります。第2の積分も同様に原始関数 を使い、両端 を代入して 。2つを足すと対数部分が にまとまるのが気持ちよいところで、最終的に が得られます。分子・分母の がうまく約分される構造を見ておくと、計算ミスに気づきやすくなります。

【✅検算】(1) の分子 の符号から が極大、 が極小で、値は 。(2) で が負から正に変わり、確かに変曲点。(3) 2つの接点の 座標がともに 、交点は 。面積を数値積分すると 、公式値 と一致しました。

【💡ポイントコラム】2本の接線と曲線で囲まれた面積は、「2直線の交点」を境目にして積分区間を2つに割り、それぞれで『(接線)−(曲線)』を積分するのが基本形です。曲線が上に凸か下に凸かを の符号で確認しておくと、どちらが上側かで迷わずに済みます。

【💡ポイントコラム】 は「分子が分母の微分の定数倍」という形の典型で、 の応用です。分数関数の面積計算では、この対数型の原始関数がほぼ必ず登場するので、瞬時に書けるようにしておくと計算が安定します。

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