日本大 医学部2021年度数学 過去問の傾向と解答・解説

日本大学 医学部 2021年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（小問集合）　答：(1) x<1−√2, 1+√2<x ／ (2) cosA=7/8 ／ (3) 分散5.2 ／ (4) x=0で最小値−1 ／ (5) |z|の最大値7

【📖大切な定義】絶対値を含む不等式は「中身の符号で場合分け」して絶対値をはずすのが基本です。正弦定理は「sinの比＝辺の比」、分散は「（偏差の2乗の平均）＝(2乗の平均)−(平均)²」、そして複素数|z−α|=rは「点αを中心とする半径rの円」を表します。

【👀ここに注目】(4)はt=2^x+2^{−x}と置くと相加相乗平均からt≧2という定義域の制約が生まれ、頂点が定義域の外に出ます。(5)は条件を2乗して整理するとアポロニウスの円が現れ、原点からの距離の最大は「中心までの距離＋半径」で決まります。

方針・解答

(1) x²−3x+2=(x−1)(x−2)、右辺の符号の境目はx=3です。
・x≧3のとき：x²−3x+2>x−3すなわちx²−4x+5>0。判別式は16−20=−4<0なので常に成立し、x≧3はすべて解です。
・x<3のとき：x²−3x+2>−(x−3)すなわちx²−2x−1>0よりx<1−√2またはx>1+√2。x<3と合わせてx<1−√2または1+√2<x<3。
両者を統合すると、解はx<1−√2, 1+√2<xとなります（空所1〜4：1, 2, 1, 2）。

(2) sinA:sinB:sinC=2:3:4なので、正弦定理より辺の比はa:b:c=2:3:4。a=2, b=3, c=4として余弦定理を用いると、。答は7/8です。

(3) データ1,2,4,4,5,5,6,7,7,9の合計は50、平均は5です。偏差の2乗の和は16+9+1+1+0+0+1+4+4+16=52なので、分散は52/10=5.2。答は5.2です。

(4) t=2^x+2^{−x}とおくと4^x+4^{−x}=t²−2で、y=2(t²−2)−4t+3=2t²−4t−1。相加相乗平均よりt≧2（等号はx=0）。2t²−4t−1は軸t=1の下に凸で、定義域t≧2では増加関数ですから、最小は端点t=2すなわちx=0のときで、y=2·4−8−1=−1。x=0のとき最小値−1です。

(5) z=x+yiとおき、2|z+2|=|z−3|の両辺を2乗すると4{(x+2)²+y²}=(x−3)²+y²。整理して3x²+22x+7+3y²=0、さらに。これは中心(−11/3, 0)・半径10/3の円です。原点からの距離の最大は(中心までの距離)+(半径)=11/3+10/3=7。|z|の最大値は7です。

【✅検算】(1) x=−1：左辺6・右辺4で成立、x=2：左辺0・右辺1で不成立、と解の内外が一致。 (2) 数値でcosA=0.875、三角形の3辺2,3,4は三角不等式を満たし整合。 (3) (2乗の平均)−(平均)²=30.2−25=5.2で一致。 (4) x=0を原式へ：2·2−4·2+3=−1。 (5) 最遠点z=−7で2|−5|=10=|−10|となり条件を満たし、|z|=7。

第2問（確率）　答：m=3, M=7 ／ (2) 1/14 ／ (3) 1/14

【📖大切な定義】同様に確からしい試行では、確率は「（起こり得る場合のうち条件を満たす数）÷（全体の数）」で求めます。3×3盤面で「縦または横に3つ並ぶ」列は、3本の行と3本の列の計6本です（対角線は含みません）。

【👀ここに注目】(1)の最大値Mは「1本もそろえずに何マスまで開けられるか」という問題に読み替えられます。3×3で1列も完成させない最大のマス数を調べると、盤面全体の構造が見えてきます。(3)は「M回目でちょうど初めてそろう＝6回まで無事故で7回目に必然的にそろう」という言い換えが有効です。

方針・解答

(1) 最も早くそろうのは最初の3個がちょうど1本の列を作るときで、m=3。最大値Mは、1本もそろえないまま開けられるマス数を考えます。ある1列が完成しないためには、各行・各列に「開けていないマス」が少なくとも1つ必要です。3個の空きマスで3つの行と3つの列をすべてカバーするには、各行・各列にちょうど1個ずつ（対角線状の配置）が必要で、このとき開いているマスは6個で、まだ1本も完成しません。7個目を開けると、残る空きマスの1つが埋まり、その行（および列）が必ず完成します。よってM=7。m=3, M=7です。

(2) m=3回目でそろう確率は、取り出した順序つきの3個がちょうど1本の列になる確率です。順序を区別すると全体は9·8·7=504通り、条件を満たすのは6本×3!=36通り。したがって。答は1/14です。

(3) M=7回目に「初めて」そろうのは、6回目まで1本も完成せず、7回目で完成する場合です。6個の開いたマスが1本も列を作らないのは、閉じている3マスが各行・各列に1個ずつ（対角線状）となるときに限られ、その並べ方は3!=6通り。6マスの選び方は₉C₆=84通りなので、6回目まで無事故である確率は。7個開ければ必ずどこかがそろう（1本も作らない配置は6マスが上限）ため、この確率がそのまま「7回目に初めてそろう」確率になります。答は1/14です。

【✅検算】(1) 対角線に相当する玉1,5,9を最後に残すと、6個開けても各行各列に空きが1つずつ残り未完成、7個目で必ず一列完成。数え上げの論理と一致します。 (2) 36/504=1/14≈0.0714。 (3) 「無事故の6マス配置は6通り」を余事象側（閉じマスが対角線状の置換）から数えても同数となり、6/84=1/14。前半の最小・最大で同じ1/14が現れるのは、盤面の対称性による興味深い一致と言えます。

第3問（図形と方程式）　答：中心(−2,−3)・半径2 ／ PQの最小 √5−2 ／ PRの最小 3√5/5

【📖大切な定義】「円がy軸に接する」とは「中心とy軸の距離＝半径」ということです。点と直線の距離はで、直線と円（放物線）の最小距離を求める道具になります。円上の点との距離の最小は「（中心までの距離）−（半径）」です。

【👀ここに注目】円C₁が通る2点(−2,−1), (−2,−5)はx座標が等しいので、中心のy座標は2点の中点、すなわち−3に確定します。あとはy軸接触の条件で中心のx座標が決まります。

方針・解答

(1) 中心を(h, −3)とおくと、半径の2乗は(h+2)²+(−3+1)²=(h+2)²+4。y軸に接するので半径=|h|、すなわちh²=(h+2)²+4。展開して0=4h+8よりh=−2。よって中心は(−2, −3)、半径は|−2|=2です。

(2) 直線ℓ：2x−y−4=0と円C₁の中心(−2,−3)の距離は。これは半径2より大きいので、PQ（ℓ上の点とC₁上の点の距離）の最小は√5−2。答は√5−2です。

(3) 放物線C₂：y=x²上の点を(t, t²)とすると、ℓ2x−y−4=0との距離は（t²−2t+4=(t−1)²+3>0より絶対値がはずれます）。分子はt=1で最小値3をとるので、最小距離は。答は3√5/5です。

【✅検算】(1) 中心(−2,−3)から(−2,−1)まで√4=2、(−2,−5)まで√4=2、y軸まで|−2|=2ですべて半径に一致。 (2) √5≈2.236、引く2で0.236>0（円と直線は交わらない）。 (3) 接点候補(1,1)のℓへの距離は|2−1−4|/√5=3/√5≈1.342で一致。

第4問（空間図形）　答：4≦PH≦6 ／ √10/10 ≦ sinα ≦ √5/5

【📖大切な定義】平面上で「1点から円周までの距離」は、（中心までの距離）±（半径）の範囲を動きます。空間では、xy平面へ下ろした垂線AHがその平面と直交するので、三角形APHは∠Hが直角の直角三角形になります。

【👀ここに注目】点A(3,4,2)の真下の足はH(3,4,0)で、原点Oからの距離は√(9+16)=5。Pは原点中心・半径1の円周上を動くので、PHは5±1の範囲を動きます。AHの長さは点Aのz座標そのままの2です。

方針・解答

(1) H(3,4,0)、|OH|=5で、Pは中心O・半径1の円周上の点です。よってPHは|OH|−1=4から|OH|+1=6まで動き、4≦PH≦6です。

(2) AHはxy平面に垂直なのでAH⊥PH、三角形APHは∠Hが直角です。AH=2、斜辺はAP=√(AH²+PH²)=√(4+PH²)なので。PHが増えるとsinαは減るので、PH=6で最小、PH=4で最大。よって√10/10 ≦ sinα ≦ √5/5です。

【✅検算】(1) |OH|=√(3²+4²)=5で、最短はP,H,Oが一直線に並ぶ5−1=4、最長は5+1=6。 (2) 中間のPH=5を代入するとsinα=2/√29≈0.371で、√10/10≈0.316と√5/5≈0.447の間に収まり整合します。

第5問（数列・級数）　答：f(x)=(1−x^{n+1})/(1−x) ほか ／ Σk(1/3)^{k−1}=(3/4){3−(2n+3)(1/3)^n} ／ 無限和 9/4

【📖大切な定義】等比数列の和は（x≠1）。両辺を微分するとΣk x^{k−1}の形が得られ、これにx=1/3を代入すると求める和に直結します。無限級数では|r|<1のときnr^n→0を使えます。

【👀ここに注目】(2)のΣk(1/3)^{k−1}は、まさに(1)で求めたf'(x)にx=1/3を代入したものです。誘導が一本の線でつながっている点を意識すると計算が速くなります。

方針・解答

(1) 等比数列の和より商の微分法で（空所39〜45はすべて1、および(n+1), (n+1)の係数1です。）

(2) Σk(1/3)^{k−1}=f'(1/3)。(1−1/3)²=4/9より。分子は。したがってn→∞では(2n+3)(1/3)^n→0なので答は順に、和の一般項が(3/4){3−(2n+3)(1/3)^n}、無限和が9/4です。

【✅検算】(1) n=2でf(x)=1+x+x²、f'(x)=1+2x。公式の分子1−3x²+2x³は(1+2x)(1−x)²に一致。 (2) n=1で左辺は1、公式は(3/4)(3−5/3)=1。n=2で左辺1+2/3=5/3、公式(3/4)(3−7/9)=5/3。無限和は公式とも一致します。

第6問（微分積分）　答：a=6, b=3 ／ 面積 1/3 ／ 体積 (11/5)π

【📖大切な定義】2曲線が点Aを「共有し、Aで共通接線をもつ」とは、Aでy座標が等しく、かつ接線の傾きも等しいことです。区間で上下関係が決まった2曲線ではさまれた面積は∫(上−下)dx、x軸まわりの回転体の体積はπ∫(外側²−内側²)dx（ワッシャー法）で求めます。

【👀ここに注目】C₂:y=8√xの傾きはで、x=1のとき4。C₁の傾き−2x+aをx=1で4に合わせるとaが決まり、共有点条件でbが決まります。区間[0,1]では両曲線とも正の値をとるので、回転体は素直にワッシャー法で計算できます。

方針・解答

(1) 点A(1,8)の共有より−1+a+b=8、すなわちa+b=9。接線の傾きの一致より、C₁’:−2x+aをx=1で、C₂’:4/√xをx=1で等しく：−2+a=4よりa=6。よってb=3。a=6, b=3です（C₁:y=−x²+6x+3）。

(2) 区間[0,1]で、C₁−C₂=−x²+6x+3−8√xはx=0で3、x=1で0となり、途中で符号を変えずC₁≧C₂です。左端はy軸(x=0)で区切られます。

1) 面積は答は1/3です。

2) x軸まわりの回転体の体積は、外側がC₁・内側がC₂のワッシャーで被積分関数の原始関数はなので、x=1を代入して答は(11/5)πです。

【✅検算】(1) C₁(1)=−1+6+3=8、C₁'(1)=−2+6=4でC₂'(1)=4と一致。 (2)-1) 被積分関数はx=0で3・x=1で0と細くなる領域で、細かい区分求積でも0.33前後となり1/3に収束。 (2)-2) 展開の要(−x²+6x+3)²=x⁴−12x³+30x²+36x+9から64xを引くと−28xが残り、x=0.5での被積分値も正。数値積分でもV/π≈2.2=11/5で一致します。

【💡ポイントコラム】「置き換え」で定義域の制約を持ち込む：第1問(4)のt=2^x+2^{−x}や第5問のx=1/3代入のように、式を別の文字でまとめると、相加相乗平均によるt≧2のような「新しい変数が動ける範囲」が自然に現れます。頂点が定義域の外に出るタイプの最小問題は、この制約を見落とすと誤答につながりやすいので、置き換えたら必ず変域を確認しておくとよいでしょう。

【💡ポイントコラム】「点と直線の距離」で図形を一元化する：第3問はℓと円・ℓと放物線という異なる相手ですが、どちらも「点と直線の距離」に帰着します。円なら(距離)−(半径)、放物線なら(t,t²)を代入して距離をtの関数として最小化、という2手で処理できます。第4問の直角三角形も含め、「距離を1つの式にまとめてから動かす」という発想は、図形の最小問題全般で有効だと考えられます。

【💡ポイントコラム】数え上げは「最大の反例」を作って言い換える：第2問の最大試行回数Mは、「1本もそろえない配置の上限」を具体的に構成して求めました。そろわない最大の状態＝閉じマスが各行各列に1個ずつという反例を作れると、(3)の確率計算まで一気につながります。確率の前に「どこまで無事故でいられるか」を組合せで押さえる姿勢が、この種の設問では効きます。

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