日本大学 2024(全学統一(N1)(2／11),全学統一(N2),全学統一(N2)(3／17)なし)年度 数学

日本大学 医学部 2024年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（小問集合）　答：(1) ／(2) ／(3) ／(4) ／(5)

【📖大切な定義】マーク型の小問集合では、各設問を独立に「最短の1本道」で処理します。円に内接する四角形なら対角の和が 、複素数の累乗なら極形式、という具合に、見た瞬間に手法を1つに絞るのが速さの鍵です。

(1) 　円に内接する四角形ABCDでは 。対角線BDについて、 と で余弦定理を立てます。 とおくと なので 。 2式を等置して 、すなわち 、。これを戻すと 、。

【✅検算】もう一方の式 も同じ値を返し、 と一致します。

(2) 　 に を代入すると 、よって 。次に これは の下に凸な2次関数なので、軸 で最小になります。

【✅検算】 を で微分すると から 。平方完成 からも同じ軸が読め、最小値 で矛盾もありません。

(3) 　 の軸は 。これが直線 に一致するので 、。頂点の 座標は2で、 座標は 。頂点が直線 上にあるから、 での値 と等しく 、。

【✅検算】 のとき で頂点は 。これは 上（）にあり、対称軸も で条件を満たします。

(4) 　中心を とします。円が直線 に接し、原点を通るので、 から直線 までの距離と、 から原点までの距離（＝半径）が等しくなります。 両辺を2乗して 、展開すると 、すなわち 。

【✅検算】たとえば はこの放物線上（）にあり、直線 までの距離 と原点までの距離 が一致します。頂点 でも距離はともに で整合します。

(5) 　 と を別々に極形式で計算します。 なので 。 なので 。よって

【✅検算】比の絶対値は 、偏角は 。したがって値は で一致します。

【💡ポイントコラム】内接四角形は「対角の和 」で余弦定理を二重に：円に内接する四角形の対角線は、両側の三角形で余弦定理を立てて を使うと、未知の角と対角線の2つが連立1次で一気に解けます。トレミーの定理を持ち出さなくても、この定石だけで(1)は完結します。

【💡ポイントコラム】複素数の高次累乗は極形式が最短： や のように偏角がきれいな複素数の12乗は、展開せず と を別々に処理するのが安全です。分母・分子を先に極形式化しておけば、最後の割り算は絶対値の商・偏角の差だけで済みます。

第2問（指数関数）　答：(1) ／(2) のとき最小値

【📖大切な定義】 を含む式は と置換して、 の2次式に帰着させるのが基本です。、 と書き換えます。

(1) 　 とおくと 。 は 。左辺は と因数分解でき、。 に戻すと 、底 より 。

【✅検算】 で 、。 で 、。両端で0になり、区間内の では で不等式を満たします。

(2) のとき最小値 　 は で最小値 。 を解くと 。 は定義域に入るので、この で は最小値 をとります。

【✅検算】 なので確かに 。このとき で一致します。

【💡ポイントコラム】指数の不等式・最小値は「置換して2次」で見通す： の置換は、不等式では の範囲を出してから に戻す、最小値では の平方完成で頂点を読む、という二役をこなします。 の制約が答えに効く問題もあるので、置換後は「頂点が定義域内か」を必ず確認します。

第3問（座標平面上の円と接線）　答：(1) ／(2) ／(3)

【📖大切な定義】3点を通る円は に各点を代入して連立するのが定石です。接線は「中心からの距離＝半径」で傾きの方程式を立て、接点は中心から接線に下ろした垂線の足として求めます。

(1) 　円を とおき、3点を代入します。：。：。：。これを解くと 。よって （中心 、半径 ）。

【✅検算】3点を代入すると、：、：、： と、いずれも0になり通ります。

(2) 　点 を通り傾き の直線 が円に接する条件は、中心 との距離が半径 に等しいこと。 両辺を2乗して 、整理すると 、 より 。傾きが最大なのは で、直線 は 、すなわち 。

【✅検算】 は中心から にあり円外なので接線は2本。 と中心 の距離は で半径に一致します。

(3) 　接点は中心 から に下ろした垂線の足です。法線方向 を用いて を に代入すると 、、。よって接点は 。

【✅検算】 は円上（）にあり、直線 上（）でもあります。円と直線をともに満たす唯一の点なので接点として正しいです。

【💡ポイントコラム】接点は「中心からの垂線の足」で一発：接線の傾きが決まったら、接点をあらためて連立方程式で解く必要はありません。中心から法線方向へ進んだ点を接線の式に代入してパラメータを1つ求めれば、接点座標が直接得られます。判別式を経由するより計算量が小さくなります。

第4問（確率）　答：(1) ／(2) ／(3)

【📖大切な定義】まず1回の試行で「2点（同色）」「1点（異色）」となる確率を確定させます。白3・赤2から2個取る総数は 通り。同色は 通り、異色は 通り。したがって 、 です。

(1) 　得点が2点になるのは2個が同色のときなので、そのまま 。

【✅検算】 で、全事象を尽くしています。

(2) 　3回の合計が5点になるのは、2点の回数を とすると合計 、すなわち 。3回中ちょうど2回が同色（2点）、1回が異色（1点）です。

【✅検算】3回の合計点は最小3点（すべて1点）〜最大6点（すべて2点）。5点は「2点が2回・1点が1回」に限られ、場合の数 通り、各確率 で、合計 と一致します。

(3) 　7回の合計が11点のとき、2点の回数 は より （同色4回・異色3回）。この条件のもとで「3回目までの合計が5点」＝「最初の3回で2点が2回・1点が1回」となる条件つき確率を求めます。各回は独立で、2点4回・1点3回をもつ系列はどれも同じ確率 をもつので、確率の比は場合の数の比に一致します。全系列は 通り、そのうち最初の3回に2点がちょうど2回入るのは 通り。よって条件つき確率は 。

【✅検算】確率で直接計算しても、分子 、分母 の比をとると となり、場合の数の議論と一致します。

【💡ポイントコラム】得点は「回数の1次式」に翻訳する：各回が2点か1点かなので、 回の合計点は「2点の回数 」だけで と表せます。合計点の条件は瞬時に の条件へ翻訳でき、あとは二項分布に持ち込むだけです。(3)のように「独立試行で1系列の確率が並び順によらず一定」なら、条件つき確率は場合の数の比で処理できます。

第5問（数列）　答：(1) ／(2) 、

【📖大切な定義】階差数列 が与えられたら、 で 。本問の は初項3・公比 の等比数列なので、部分和は等比数列の和の公式で求まります。

(1) 　 の初項から第 項までの和は よって 。これは でも となり、初項と整合します。

【✅検算】この式から となり、与えられた階差数列に戻ります。

(2) 、　 が等比数列になるのは、定数項 が消えるときです。、すなわち なら で、公比 の等比数列になります。このとき なので 。これは初項 ・公比 の等比数列で、 分母を有理化（）すると なので

【✅検算】数値で確かめると、 は から で公比 。8項の和は約 。一方 で一致します。

【💡ポイントコラム】「等比になる条件」は定数項を消す： の形が等比数列になるのは、余分な定数項が0のときだけです。ここを見抜けば が即決でき、以降は初項・公比が明快な等比数列の和として処理できます。根号付きの和は「 を公比とする等比数列」と捉え、分母の有理化で仕上げるのが定石です。

第6問（微分積分・無理関数と回転体）　答：(1) 接線の傾き 、／(2) 面積 、体積

【📖大切な定義】（）は と逆に解け、右に開いた放物線の上半分です。導関数は 。共有点の個数は連立方程式の実数解の個数で、回転体の体積は について積分（ワッシャー法）で扱えます。

(1) 接線の傾き 、　 の点Aは で 。接線の傾きは に を入れて 。
次に と の共有点が2個となる の範囲を考えます。 で、 と原点から引いた直線の傾きに注目すると、境界は2つあります。ひとつは端点 を通るとき傾き 。もうひとつは が に接するときで、接点を として と を連立すると 、 から 、このとき （接点はAに一致）。原点を通る直線を から立ち上げていくと、 の範囲で と2点で交わり、 で接して1点になります。よって 。