昭和大学 2010年度 数学

昭和大学 医学部 2010年度（平成22年度・I期）数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

出題形式と傾向

大問4題。大問2がまるごと証明問題で、それ以外は結果のみを記入する形式です。
分野は、大問1が2乗型の漸化式／垂線の足とベクトル／三角不等式／極限と未定係数、大問2がガウス記号（エルミートの恒等式）の証明、大問3が積分で定義された関数／円と放物線の共有点／正24角形、大問4が遺伝子と疾患のベイズの定理。

特筆すべきは大問4です。「遺伝子 XA・XB と疾患 D」という設定で、P(XA|D) を求めさせる完全なベイズの定理の問題。医学部入試らしい題材であると同時に、臨床の「陽性的中率」の考え方そのものです。
大問2のエルミートの恒等式も、大学レベルでも登場する有名な等式を高校範囲で証明させる良問です。

大問1　漸化式・ベクトル・三角不等式・極限

(1) a₁=3/2、aₙ₊₁=2aₙ(aₙ+1)。

(1-1) bₙ=aₙ+1/2 とおくと
bₙ₊₁=aₙ₊₁+1/2=2aₙ²+2aₙ+1/2=2(aₙ²+aₙ+1/4)=2(aₙ+1/2)²。
よって
bₙ₊₁=2bₙ²。

（2乗の形にまとまるように 1/2 をずらしているのがこの置き換えの意味です。）

(1-2) b₁=3/2+1/2=2。bₙ₊₁=2bₙ² の両辺の log₂ を取ると、cₙ=log₂bₙ として
cₙ₊₁=2cₙ+1、c₁=1。
これは cₙ₊₁+1=2(cₙ+1) と変形でき、cₙ+1=2ⁿ なので cₙ=2ⁿ−1。
したがって bₙ=2^(2ⁿ−1) となり
aₙ=2^(2ⁿ−1)−1/2。

（実際 a₁=3/2, a₂=15/2, a₃=255/2, a₄=65535/2, … と「2の累乗−1」を2で割った形が並びます。2ⁿ が指数に入る二重指数の増え方です。）

(2) 三角形 ABC、AB の中点 M、M から CA, CB への垂線の足が E, F。CE=(1/3)CA、CF=(1/4)CB、CA=a、CB=b。

(2-1) CM=(a+b)/2 なので
ME=CE−CM=(1/3)a−(a+b)/2、すなわち
ME=−(1/6)a−(1/2)b。

(2-2) 垂直条件を内積で書きます。a·b=k とおくと
ME·a=0：−(1/6)|a|²−(1/2)k=0 → |a|²=−3k
MF=CF−CM=−(1/2)a−(1/4)b で MF·b=0：−(1/2)k−(1/4)|b|²=0 → |b|²=−2k
（k<0、つまり ∠C は鈍角だと分かります。）

さらに |AB|²=|b−a|²=|b|²−2k+|a|²=−2k−2k−3k=−7k。
よって
BC:CA:AB=|b|:|a|:|b−a|=√2 : √3 : √7。

(3) cos(x+5π/12)+cos(x+π/12)+sin(x+π/4)≧1（0≦x<2π）。

まず和積の公式で最初の2項をまとめます。
cos(x+5π/12)+cos(x+π/12)=2cos(x+π/4)cos(π/6)=√3cos(x+π/4)。
残りと合わせて θ=x+π/4 とおくと √3cosθ+sinθ。これを合成して
=2sin(θ+π/3)=2sin(x+7π/12)。

したがって sin(x+7π/12)≧1/2。u=x+7π/12 は [7π/12, 7π/12+2π) を動き、この範囲で sinu≧1/2 となるのは
u∈[7π/12, 5π/6] と u∈[13π/6, 17π/6]。
x=u−7π/12 に戻して（x<2π に注意）
0≦x≦π/4、19π/12≦x<2π。

(4) (x²+x−6)f(x)=ax⁴+bx²+c+d sin(x²−4)。左辺の x²+x−6=(x+3)(x−2)。

(4-1) f(x) は右辺を (x+3)(x−2) で割ったもの。x→∞ で有限な極限をもつには、分子の次数が分母（2次）を超えてはいけません。ax⁴ があると x² のオーダーで発散するので
a=0。
このとき f(x)=(bx²+c+d sin(x²−4))/(x²+x−6)。sin は有界なので x→∞ の極限は b。よって
b=5。

(4-2) x→2 で分母は0に近づくので、極限が有限であるには分子も x=2 で0でなければなりません。
分子に x=2 を代入すると 5·4+c+d·sin0=20+c=0 なので
c=−20。

このとき分子は 5(x²−4)+d sin(x²−4)=5(x−2)(x+2)+d sin(x²−4)。
ここで sin(x²−4)/(x−2) の極限を求めます。sinθ/θ→1 を使うため θ=x²−4 と見て
sin(x²−4)/(x−2)={sin(x²−4)/(x²−4)}·(x+2)→1·4=4。
したがって
lim[x→2]f(x)=(5·4+4d)/(2+3)=(20+4d)/5=24。
これを解いて
d=25。

検算：(1)は a₁〜a₅ を有理数のまま計算して 3/2, 15/2, 255/2, 65535/2, 4294967295/2 を得、公式 2^(2ⁿ−1)−1/2 とすべて一致することを確認。(2)は a·b=−1 として実際に三角形を数値構成し、ME·CA=0、MF·CB=0、辺の比が 1.414214 : 1.732051 : 2.645751（＝√2:√3:√7）になることを確認。(3)は恒等式 左辺=2sin(x+7π/12) を sympy で厳密に確認し、200万分割の数値走査で解の区間が [0, 0.785398] と [4.974190, 6.283185]（＝[0, π/4]、[19π/12, 2π)）であることを確認。(4)は a=0, b=5, c=−20, d=25 のとき lim[x→2]f=24、lim[x→∞]f=5 を sympy の limit で厳密に確認しました。

大問2　ガウス記号（エルミートの恒等式）の証明

[t] は t を超えない最大の整数（床関数）。

(1) 任意の実数 x に対して [x]+[x+1/2]=[2x] …①
x=m+α（m は整数、0≦α<1）と表します。整数部分は自由に外に出せるので、α の範囲で場合分けするだけです。

(1-1)【証明】0≦α<1/2 のとき
[x]=[m+α]=m（0≦α<1）。
x+1/2=m+(α+1/2) で 1/2≦α+1/2<1 なので [x+1/2]=m。
よって左辺 =2m。
一方 2x=2m+2α で 0≦2α<1 なので [2x]=2m。
両辺が一致するので①が成立。∎

(1-2)【証明】1/2≦α<1 のとき
[x]=m。
x+1/2=m+(α+1/2) で 1≦α+1/2<3/2 なので [x+1/2]=m+1。
よって左辺 =2m+1。
一方 2x=2m+2α で 1≦2α<2 なので [2x]=2m+1。
両辺が一致するので①が成立。∎

(2)【証明】任意の実数 x と n≧2 の整数に対して
[x]+[x+1/n]+…+[x+(n−1)/n]=[nx] …②

これはエルミート（Hermite）の恒等式として知られる等式です。(1)は n=2 の場合にあたります。

x=m+α（m は整数、0≦α<1）とおくと、各項は [x+k/n]=m+[α+k/n] なので
左辺 =nm+Σ[k=0→n−1][α+k/n]。
右辺 =[nm+nα]=nm+[nα]。
したがって Σ[k=0→n−1][α+k/n]=[nα] を示せば十分です。

[nα]=p とおくと p≦nα<p+1、すなわち p/n≦α<(p+1)/n。
0≦α<1、0≦k≦n−1 より 0≦α+k/n<2 なので、各項 [α+k/n] は 0 か 1 のどちらか。
[α+k/n]=1 となるのは α+k/n≧1、すなわち k≧n−nα のとき。
nα∈[p, p+1) なので n−nα∈(n−p−1, n−p]。k は整数なので、この条件は k≧n−p と同値です。

したがって k=n−p, n−p+1, …, n−1 のちょうど p 個だけが1、残りは0。
よって Σ[α+k/n]=p=[nα] となり、②が成立します。∎

（「各項が0か1しかとらないので、1になる個数を数えればよい」——ここに気づけるかどうかが分かれ目です。(1)の場合分けを一般化しようとすると n 通りの場合分けになって収拾がつきません。）

検算：①については −50〜50 の乱数を20万個生成して [x]+[x+1/2]=[2x] を検証し、反例0件。②については x を −30〜30、n を 2〜12 の乱数で6万通り生成して検証し、こちらも反例0件でした。

大問3　積分で定義された関数・共有点・正24角形

(1) f は [α, β] で定義され、∫_α^β f(x)dx=1、∫_α^β x f(x)dx=A。g(y)=∫_y^β f(x)dx。

（f は確率密度関数、A はその平均、g は上側確率にあたります。）

(1-1) 積分の上端が定数、下端が y なので
dg/dy=−f(y)。

(1-2) 部分積分します。g′(y)=−f(y) なので
∫_α^β g(y)dy=[y·g(y)]_α^β−∫_α^β y·g′(y)dy=[y g(y)]_α^β+∫_α^β y f(y)dy。
ここで g(β)=0（積分区間の幅が0）、g(α)=∫_α^β f=1 なので
[y g(y)]_α^β=β·0−α·1=−α。
よって
∫_α^β g(y)dy=A−α。

（確率で言えば「平均は上側確率の積分に等しい」という有名な公式（E[X]=α+∫P(X>y)dy）です。）

(2) y=x²+a と x²+y²=1 が4つの異なる共有点をもつ a の範囲。
x²=y−a を円の式に代入して
y²+y−(a+1)=0 …h(y)=0。

共有点が4つになるのは、h(y)=0 が相異なる2実解をもち、そのどちらも x²=y−a>0 を満たす（各 y につき x=±√(y−a) の2点ずつ）とき。
・判別式：1+4(a+1)>0 → a>−5/4
・両解が y>a：h(a)=a²−1>0（つまり |a|>1）かつ 軸 y=−1/2>a（つまり a<−1/2）
これらを合わせると a<−1 かつ a>−5/4。よって
−5/4<a<−1。

(3) 半径 r の円に内接する正24角形の面積。
中心から各頂点に線を引くと、頂角 2π/24=15° の二等辺三角形が24個。
S=24×(1/2)r²sin15°。
sin15°=(√6−√2)/4 なので
S=12r²·(√6−√2)/4=3(√6−√2)r²（約 3.1058r²）。

（円の面積 πr²≈3.1416r² に対して98.86%。24角形にもなればほぼ円、という実感が持てます。アルキメデスが円周率を求めた方法そのものです。）

検算：(1-2)は3つの具体的な密度関数（f=2x on [0,1]、f=1/2 on [1,3]、f=(2x+1)/6 on [−1,2]）で ∫g dy と A−α を厳密計算し、すべて一致することを確認。(2)は a=−1.3〜1.1 の12点で実際の共有点数を数え、4点になるのが −1.2, −1.1, −1.01（＝−5/4<a<−1 の内部）だけで、a=−1.25(=−5/4) と a=−1 では4点にならないことを確認。(3)は sympy で S=3r²(√6−√2) を厳密に確認しました。

大問4　ベイズの定理（遺伝子と疾患）

設定：疾患 D に関係する遺伝子 XA、XB。誰もがどちらか一方だけを持ちます。
P(XA)=0.2（したがって P(XB)=0.8）、P(D|XA)=a、P(D|XB)=b。

(1) 2人を復元抽出したところ、一方が XA、他方が XB だった。この条件の下で2人とも疾患 D である条件つき確率。
2人の抽出は独立で、XA を持つ人が D である確率は a、XB を持つ人が D である確率は b。
よって
=ab。

(2) 無作為に1人抽出したとき、その人が D である確率。全確率の定理より
P(D)=P(XA)P(D|XA)+P(XB)P(D|XB)=0.2a+0.8b。
分数で書くと
P(D)=(a+4b)/5。

(3) 抽出した人が D だったとき、その人が XA を持つ条件つき確率。ベイズの定理より
P(XA|D)=P(XA∩D)/P(D)=0.2a/(0.2a+0.8b)。
分母分子を5倍して
P(XA|D)=a/(a+4b)。

（この「逆向きの確率」がベイズの定理の核心です。「XA なら D か？」（＝a）と「D なら XA か？」（＝a/(a+4b)）はまったく別物。医療現場で「検査の感度」と「陽性的中率」を混同してはいけない、という話とまったく同じ構造です。）

(4) (3)の確率が 0.5 以上となる条件。
a/(a+4b)≧1/2。a+4b>0（そうでないと確率が定義できません）なので両辺を 2(a+4b) 倍して
2a≧a+4b、すなわち
a≧4b。

（XA を持つ人は全体の 1/5 しかいないので、「D の人の半分以上が XA」と言うには、XA の発症率が XB の 4 倍以上必要——という、直感にも合う結論です。人口比 0.2 : 0.8 = 1 : 4 がそのまま出てきます。）

検算：(a, b)=(0.6, 0.1), (0.4, 0.1), (0.3, 0.1), (0.2, 0.3) の4組について、それぞれ20万人のモンテカルロ・シミュレーションを実施。P(D) の実測値 0.19941, 0.15952, 0.13884, 0.27860 は式 (a+4b)/5 の 0.2, 0.16, 0.14, 0.28 と一致し、P(XA|D) の実測値 0.60062, 0.49843, 0.42951, 0.14322 も式 a/(a+4b) の 0.6, 0.5, 0.42857, 0.14286 と一致。a≧4b のときだけ P(XA|D)≧0.5 となることも確認できました（a=0.4, b=0.1 がちょうど境界）。

学習アドバイス

2010年度は「意味を考えると見通しがよくなる問題」が並んだ年です。

大問2のガウス記号は、機械的な場合分けに走ると n 通りの場合分けで破綻します。「各項は0か1しかとらない。では1は何個か？」という視点に切り替えた瞬間に、証明は数行で終わります。
大問3(1)も、f を確率密度、g を上側確率と読めば、答えの A−α（＝平均−下端）が自然に見えてきます。
そして大問4。ベイズの定理は「P(D|XA) と P(XA|D) は別物」という一点に尽きます。答えの a/(a+4b) に現れる 4 は人口比 0.8/0.2 であり、「珍しい原因は、結果から遡ると思ったより効かない」という基準率（base rate）の効果そのものです。医学部を目指す人にとって、単なる計算問題以上の意味を持つ一題です。