昭和大学医学部 2022年度 数学過去問・解答

昭和大学 医学部 2022年度（令和4年度・I期）数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

出題形式と傾向

大問4題、すべて結果のみを記入する形式。「数学（その1）」「数学（その2）」に分かれています。
分野は、大問1が複素数平面（1次分数変換と軌跡）、大問2が平面ベクトル（垂心・外心）、大問3が動点の追跡と定積分の漸化式、大問4が「SHOWA」「HTTPSSHOWA」を題材にした順列。
大問4の題材が大学名と自校サイトのURL（https://showa…）という遊び心のある出題です。

大問1　複素数平面と軌跡

z=cos(π/9)+i·sin(π/9)、複素数 α は 2αz³=(1−t)α+t（t は実数）に従います。

まず α を t で表すのが出発点です。
α(2z³−1+t)=t より α=t/(t+2z³−1)。
ここで z³=e^(iπ/3)=1/2+i√3/2 なので 2z³−1=i√3。よって
α=t/(t+i√3)。

(1)(2)(3) αの軌跡：逆数をとると 1/α=1+i√3/t。
t が実数全体（0以外）を動くと 1/α は直線 Re(w)=1 上を動きます（ただし w=1 は取らない）。
この直線を w↦1/w で写すと、原点を通り実軸上に中心をもつ円になります。
よって α は 1/2（(1)）を中心とする半径 1/2（(2)）の円。ただし点 1（(3)）を除きます。
（t=0 のとき α=0 は取り、t→±∞ で1に近づくが到達しません。）

(4) γ：β=z⁶/α=z⁶(1+i√3/t)。
今度は直線に定数を掛けるだけなので、β の軌跡は直線です。
z⁶=e^(2iπ/3)=−1/2+i√3/2 として虚部を0とおくと √3/2=s/2（s=√3/t）、すなわち s=√3。
このとき実部は −1/2−3/2=−2。よって γ=−2。

(5) θ：z⁶/γ=(−1/2+i√3/2)/(−2)=1/4−i√3/4 なので
1−z⁶/γ=3/4+i√3/4。
偏角は arctan{(√3/4)/(3/4)}=arctan(1/√3)=π/6。

検算：t を−500〜500まで100万分割して α を数値計算し、|α−1/2|=1/2 が誤差2.8×10⁻¹⁶で成立することを確認。α=1 に到達しないこと（最接近3.5×10⁻³）も確認しました。(4)(5)も複素数演算で γ=−2.000000、θ=0.52359878 rad=30.0000° を確認しています。

大問2　三角形の垂心と外心

OA=2, OB=√5, AB=√3。a=OA、b=OB。

(1) |AB|²=|b−a|²=|a|²−2a·b+|b|² より
a·b=(4+5−3)/2=3。

(2) 垂心H：OH=xa+yb とおき、AH⊥OB と BH⊥OA を内積で書き下します。
3(x−1)+5y=0、4x+3(y−1)=0 を解いて x=6/11, y=3/11。
よって OH=(6a+3b)/11（＝3(2a+b)/11）。

(3) Dは直線OH上かつ辺AB上。D=(1−u)a+ub とおいて連立すると u=1/3、すなわち
D=(2a+b)/3。
(a) AD=|D−a|=(1/3)|b−a|=√3/3。
(b) |2a+b|²=4·4+4·3+5=33 より OD=√33/3。

(4) 面積は (1/2)√(|a|²|b|²−(a·b)²)=(1/2)√(20−9)=√11/2。
正弦定理から R=(2·√5·√3)/(4·√11/2)=√165/11。

(5) 外心G：|OG|=|OG−a|=|OG−b| から OG·a=|a|²/2=2、OG·b=|b|²/2=5/2。
OG=pa+qb として 4p+3q=2、3p+5q=5/2 を解くと p=5/22, q=4/11。
よって OG=(5a+8b)/22。

検算：垂心・外心とも連立方程式をsympyで解き、OD=√33/3=1.914854、R=√165/11=1.167748 を数値でも確認しました。外心は「OG·a=|a|²/2」という関係に気づけば連立2元で済むのがポイントです。

大問3　動点の追跡と定積分の漸化式

(1-1) Pは (0,0) から y 軸を速さ1で上昇するので P(0,t)。
Qは (1,0) から角速度 π/2 で反時計回りなので Q(cos(πt/2), sin(πt/2))。
直線PQと x=−1 の交点Rは、直線の式から
R=(−1, t−(sin(πt/2)−t)/cos(πt/2))。

(1-2) t→1 のとき cos(πt/2)→0 なので不定形になります。
t=1−ε とおくと cos(πt/2)≒πε/2、sin(πt/2)−t≒ε なので、分数の部分は 2/π に収束。
よってRは 点(−1, 1−2/π)（≈(−1, 0.3634)）に近づきます。

(2-1) I₁=∫₀¹√(1−x²)dx は四分円の面積なので π/4。

(2-2) 部分積分で I_(n+2)=(n+2)∫₀¹x²(1−x²)^(n/2)dx=(n+2)(Iₙ−I_(n+2))。
整理して I_(n+2)=(n+2)/(n+3)·Iₙ。

(2-3) I₅=(5/6)I₃=(5/6)(3/4)I₁=(5/6)(3/4)(π/4)=5π/32。

検算：(1-2)はsympyの片側極限で (π−2)/π=0.36338023 を確認し、1−2/π と一致。(2-2)は n=1, 2, 3, 4 の4通りで両辺を直接積分して完全一致を確認（3π/16, 8/15, 5π/32, 16/35）。(2-3)も直接積分で 5π/32 を再確認しました。

大問4　「SHOWA」「HTTPSSHOWA」の順列

(1) SHOWA は5文字すべて相異なるので 5!=120通り。

(2-1) HTTPSSHOWA は H, T, S がそれぞれ2個、P, O, W, A が1個ずつの計10文字。
10!/(2!·2!·2!)=453600通り。

(2-2) SS と TT をともに含む：[SS] と [TT] をそれぞれ1文字とみなすのが定石。
残るのは H, H, P, O, W, A なので、全部で8個（Hが2個）の並べ替え。
8!/2!=20160通り。

(2-3) SHSH を含まない：余事象で考えます。
SHSH は S2個・H2個をすべて使うので、[SHSH] を1文字とみなすと残りは T, T, P, O, W, A の6文字、計7個（Tが2個）。
含むものは 7!/2!=2520通り。よって含まないのは 453600−2520=451080通り。

(2-4) ST または TS を少なくとも一方含む：287280通り。
（どちらも含まないのは166320通りで、合計が453600になります。）

検算：HTTPSSHOWA の45万3600通りをすべて列挙し、各条件を満たす個数を直接数え上げました。(2-1)453600・(2-2)20160・(2-3)451080・(2-4)287280 がいずれも理論値と完全一致。(2-4)は補集合166320との和が総数に一致することも確認しています。

この年度の対策ポイント

大問1は「1/α をとると直線になる」という1次分数変換の基本が核心です。2z³−1=i√3 ときれいになる時点で方針が見えます。さらに β のほうは掛けるだけなので直線のまま——「反転すると円、掛けるだけなら直線」という区別が問われました。
大問2の外心は、OG·a=|a|²/2（Aの中点で垂直二等分線に載る条件）に気づけば連立2元で終わります。垂心・外心はどちらも内積の条件2本に翻訳するのが定石です。
大問4は「かたまりにする」「余事象で数える」という順列の2大技法をそのまま問う良問。(2-3)でSHSHがS・Hをすべて使い切ることに気づけるかが分かれ目でした。
数強塾では、こうした定石の使い分けを一対一で指導しています。

※本解説は数強塾が独自に作成したものです。解答は複数の方法で検算していますが、文責は数強塾にあります。