帝京大学医学部 2007年度 数学過去問・解答

帝京大学 医学部 2007年度（平成19年度）数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

出題形式と傾向

必須問題1題＋選択問題5題（うち3題を選択）という帝京大学の形式です。すべて答えのみを記入する空所補充型。
必須の大問1は3次関数・面積比・順列・確率と4分野をまたぎます。選択問題は大問2（格子点の番号付け）・大問3（くじと期待値）・大問4（二等辺三角形）・大問5（整数と合同式）・大問6（放物線への2接線）。
この年度は「最後にきれいな数が出る」問題が多いのが特徴で、大問4(3)のCP=√5、大問6(2)の最小面積√6 はいずれも答えの美しさが検算になる好例です。

大問1（必須）

(1) 3次関数が常に正となる条件：f′(x)=6(x−a)(x−2a) なので、a>0 のとき x=a で極大、x=2a で極小。
・2a≦1 のときは x>1 で単調増加なので f(1)≧0 が条件。f(1)=12a²−9a+3/2≧0 を解くと a≦1/4 または a≧1/2。
・2a>1（a>1/2）のときは極小値 f(2a)=4a³−1/2>0 が条件で、これは a>1/2 なら自動的に成立。
以上より 0<a≦1/4（ア）、または 1/2≦a（イ）。
a=1/4 のときの極小値は f(1/2)=−7/16（ウ）。

(2) 面積比と角度：y=x² と y=mx+1 の交点のx座標を α（<0）, β（>0） とすると αβ=−1。
線分OPと放物線が囲む面積は |α|³/6、OQ側は β³/6 なので、S₁:S₂=1:8 から β=2|α|。
|α|β=1 と連立して |α|=√2/2, β=√2（エ）。
m=α+β=−√2/2+√2=√2/2=1/√2（オ）。
このとき OP·OQ=αβ+α²β²=−1+1=0 なので ∠POQ=90度（カ）。

(3) 同じ数字を含む順列：1が4個、2が3個、3が2個。
3桁：3種類から重複を許して並べる27通りから、3が3個必要な「333」だけを除いて 26個（キ）。
8桁：(1の個数, 2の個数, 3の個数) が (3,3,2), (4,2,2), (4,3,1) の3通りで、
560+420+280=1260個（ク）。
33000000より小さいものは、先頭2桁が「33」のものを除けばよいので 1260−35=1225個（ケ）。

(4) 数直線上のランダムウォーク：4以下（確率2/3）で −1、5以上（確率1/3）で +2。
(i) −1 から2回で原点＝合計 +1。(−1)+(+2) の順序2通りで 2×(2/3)(1/3)=4/9（コ）。
(ii) −2 から5回で原点の右側。+2 が k 回なら位置は 3k−7>0、すなわち k≧3。
{C(5,3)·4+C(5,4)·2+1}/243=51/243=17/81（サ）。

検算：(1)は a を0.001〜3まで細かく動かして x>1 での最小値を数値計算し、正となる区間が (0, 0.25] と [0.5, ∞) になることを確認（境界 a=0.25, 0.5 でちょうど0）。(3)は3桁・8桁とも全パターンを列挙して個数を確認。(4)も全事象を列挙して確率を確認しました。

大問2（選択）　格子点の番号付け

0≦y≦x² を満たす格子点を、xの小さい順・同じxならyの小さい順に並べます。x=k の列には k²+1 個の点があります。

(1) 累積個数は x=0 まで1個、x=1 まで3個、x=2 まで8個、x=3 まで18個。
番号11は x=3 の列の（8番から数えて）3番目なので A₁₁=(3, 3)。

(2) x=8 までの累積は Σ(k²+1)=204+9=213 個。(9, 0) が番号213なので、(9, 17) は n=230。

(3) Aₙ(k, k) の番号は Σ[j=0..k−1](j²+1)+k。
整理すると n=k(2k²−3k+13)/6（エ・オ）。

検算：格子点を実際に並べて番号を振り、A₁₁=(3,3)・(9,17)→230 を直接確認。(3)の式も k=1〜5 で実測値 2, 5, 11, 22, 40 と完全一致しました。

大問3（選択）　くじと期待値

A（当たり確率1/4）、B（2/3）、C（3/10）をこの順に1本ずつ引きます。

(1) 余事象で 1−(3/4)(1/3)(7/10)=1−7/40=33/40（ア）。

(2) 2本当たり1本はずれの3通りを足して 35/120=7/24（イ）。

(3) 期待値は各くじの当たる確率の和（期待値の線形性）で 1/4+2/3+3/10=73/60（ウ）。

(4) X は初めて当たる番号（全部はずれなら0）。
P(X=1)=1/4, P(X=2)=1/2, P(X=3)=3/40 なので
E[X]=1/4+2·(1/2)+3·(3/40)=59/40（エ）。

検算：(1)〜(4)すべてを有理数で厳密計算し、確率の総和が1になること（P(X=0)=7/40 を含む）も確認しました。

大問4（選択）　二等辺三角形

AB=AC=a+1, BC=2、AP=1（Pは辺AB上）、CQ=1（Qは辺AC上）、BQ=x。

(1) 余弦定理から cos A=1−2/(a+1)²。AQ=a なので
x²=(a+1)²+a²−2a(a+1)cos A=1+4a/(a+1)=(5a+1)/(a+1)。
よって s=5、t=1。

(2) x=a+1 のとき (a+1)³=5a+1、整理して a(a²+3a−2)=0。
a>0 より a=(−3+√17)/2（ウ）。

(3) x=a のとき a³+a²=5a+1。
一方 CP²=(a+1)²+1−2(a+1)cos A=a²+4/(a+1)=(a³+a²+4)/(a+1)。
ここに a³+a²=5a+1 を代入すると (5a+5)/(a+1)=5。
よって CP=√5（エ）——aの値によらずきれいに定まります。

検算：a³+a²−5a−1=0 の正の実数解 a≈1.903212 を数値で求め、BQ²=a² が成り立つこと、および CP²=5.0000000000（CP=2.236068=√5）となることを確認しました。

大問5（選択）　整数と合同式

Aₙ={(x,y) | 1≦x,y≦51, x²+y²+2 が n の倍数}。

(1) x²+y²+2 が偶数 ⇔ x, y が同じ偶奇。1〜51には奇数26個・偶数25個なので
26²+25²=1301。

(2) 平方数を3で割った余りは0か1。x²+y²≡1 (mod 3) となるのは一方が3の倍数、他方がそうでないとき。
3の倍数は17個、そうでないものは34個なので 2×17×34=1156。

(3) 2と3は互いに素なので A₂∩A₃=A₆。

(4) x, y がともに奇数なら x²≡y²≡1 (mod 8) なので x²+y²+2≡4 (mod 8)。
つまり必ず4の倍数だが、決して8の倍数にはならない。
よって |B∩A₄|=26²=676（エ）、|B∩A₈|=0（オ）。

検算：1≦x,y≦51 の2601通りをすべて走査し、|A₂|=1301・|A₃|=1156・|A₂∩A₃|=|A₆|=578・|B∩A₄|=676・|B∩A₈|=0 を直接確認しました。

大問6（選択）　放物線への2接線

y=−x² 上の点 P(p, −p²) から y=x²−2x+2 に2本の接線を引き、接点のx座標を α, β とします。

(1) 接点 t における接線 y=(2t−2)x−t²+2 が P を通る条件から
t²−2pt+(−p²+2p−2)=0。
よって解と係数の関係より α+β=2p、αβ=−1p²+2p−2（ア・イ・ウ）。

(2) 線分QRと放物線が囲む面積は6分の1公式で (β−α)³/6。
(β−α)²=(α+β)²−4αβ=8p²−8p+8=8(p²−p+1) なので、p=1/2（エ）で最小値6をとります。
このとき面積は (√6)³/6=√6（オ）。

検算：接点の方程式をsympyで展開して解と係数の関係を確認し、(β−α)²=8(p²−p+1) の最小が p=1/2 で6になること、面積が 6√6/6=√6 になることを確認しました。

この年度の対策ポイント

2007年度は「答えが簡単な形になる」設計が随所にあります。大問4(3)のCP=√5 は a の3次方程式を解かなくても、与えられた関係式を代入するだけで消えます。大問6(2)も6分の1公式に載せれば一瞬。
逆に大問1(1)は極小点が区間 x>1 に入るかどうかの場合分けを落とすと、答えが片方の区間だけになってしまいます。a の範囲が「0<a≦1/4 または 1/2≦a」と2つに分かれていることが、場合分けを要求しているサインでした。
数強塾では、こうした答えの形から出題意図を逆算する読み方を一対一で指導しています。

※本解説は数強塾が独自に作成したものです。解答は複数の方法で検算していますが、文責は数強塾にあります。