帝京大学 2008年度 数学

帝京大学 医学部 2008年度（平成20年度）数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

出題形式と傾向

必須問題1題＋選択問題5題（うち3題を選択）という帝京大学の形式です。すべて答えのみを記入する空所補充型。
必須の大問1は無理数の有理化・絶対値付き2次関数の最大最小・定積分・確率と、幅広い分野から出題されます。選択問題は大問2（数列と恒等式）・大問3（三角関数と鳩の巣原理）・大問4（連立対数方程式）・大問5（長方形の中の直角）など。
この年度は大問3(3)が鳩の巣原理を要求する異色の難問である一方、大問5は素直な微分計算で完答できます。選択の見極めが得点を分けるのはこの形式の宿命です。

大問1（必須）

(1) 無理数の有理化：α は 3x²+4x−1=0 の解。
β=1−α とおくと α=1−β を代入して 3β²−10β+6=0。
これより 3β²=10β−6、両辺を 3β で割ると 1/β=(10−3β)/6。
β=1−α を戻して 1/(1−α)=(10−3(1−α))/6=(7+3α)/6。
よって A=7/6、B=1/2。

(2) 絶対値付き2次関数の最大値：f(x)=|x²−mx| の 0≦x≦1 における最大値 g(m)。
x²−mx=x(x−m) の頂点は x=m/2 で値 −m²/4。候補は「端点 x=1 での |1−m|」と「頂点での m²/4」です。
・m が小さいときは x=1 で −m+1 が最大。
・−m+1=m²/4 となるのは m=2√2−2（ウ）。
・m²/4=m−1 となるのは m=2（エ）。
よって中間の区間では g(m)=(1/4)m²（オ）。
g(m) の最小値は境目の m=2√2−2 のときで 1−(2√2−2)=3−2√2（カ）。

(3) 定積分の最小：h(m)=∫₀¹|x²−mx|dx。
0<m<1 のとき、x=m で符号が変わるので2つに分けて積分すると
h(m)=m³/3−m/2+1/3。
h′(m)=m²−1/2=0 より m=√2/2（キ）。
このとき h=1/3−√2/6=(2−√2)/6 なので、分子は 2−√2（ク）。

(4) 札を2回引く確率：a+b+c=9（各1以上）。
(i) a=2, b=3, c=4 のとき X+Y=4 は「1と3」「3と1」「2と2」なので
(2×4+4×2+3×3)/81=25/81（ケ）。
(ii) X+Y=3 の確率は 2ab/81。a+b≦8 の下で ab が最大なのは a=b=4 で ab=16。
よって 32/81（コ）。
(iii) X=Y の確率は (a²+b²+c²)/81。和が9で固定なら3つが等しいとき2乗和が最小で a=b=c=3、27/81=1/3（サ）。

検算：(1)は得られた A, B を2つの解 α それぞれで元の式に代入し、差が厳密に0になることを確認。(2)(3)は m を細かく動かして数値的に最大値・積分値を求め、g の最小 0.171600(=3−2√2)、6h の最小 0.585786(=2−√2) と一致を確認。(4)は a, b, c の組をすべて列挙して最大・最小を確認しました。

大問2（選択）　恒等式と数列

(1) (y²−x²)−(y−x)²=(y−x)(y+x)−(y−x)²=(y−x)·2x=2x(y−x)。
よって x(y−x)=(1/2){(y²−x²)−(y−x)²}。

(2) dₖ=aₖ−aₖ₋₁ とおくと Σdₖ²=n²。
n と n−1 の式を引き算して dₙ²=n²−(n−1)²=2n−1、つまり dₙ=√(2n−1)（aₙ₋₁<aₙ より正）。
よって a₃=1+√3+√5（イ）。
ここで(1)の恒等式が効きます。aₖ₋₁dₖ=½{(aₖ²−aₖ₋₁²)−dₖ²} なので
Σ[k=1..100]aₖ₋₁dₖ=½{a₁₀₀²−Σdₖ²}=(1/2)(a₁₀₀)²−5000（ウ・エ）。
同様に aₖdₖ=½{(aₖ²−aₖ₋₁²)+dₖ²} より
Σ[k=1..100]aₖdₖ=(1/2)(a₁₀₀)²+5000（オ・カ）。

検算：dₖ=√(2k−1) から a₀〜a₁₀₀ を実際に計算し、2つの和が 439522.8548・449522.8548 となること、公式の値と小数第4位まで一致することを確認しました。

大問3（選択）　三角関数と鳩の巣原理

(1) tan(π/12)=tan15°=2−√3。よって a=2, b=3。

(2) (x−y)/(1+xy) はtanの加法定理そのもので tan(A−B) の形。
25π/28−π/7=25π/28−4π/28=21π/28=3π/4 なので tan(3π/4)=−1。

(3) ここが本問の山場です。aᵢ=tanθᵢ（θᵢ∈(−π/2, π/2)）とおくと、問題の式は tan(θᵢ−θⱼ)。
条件は 0≦tan(θᵢ−θⱼ)≦tan(π/12)、すなわち2つの角の差が π/12 未満であることに対応します。
区間 (−π/2, π/2) の長さはπなので、これを π/12 ずつ12個に分割します。
鳩の巣原理より、n=13 個の実数があれば必ず2つが同じ小区間に入り、条件を満たします。
よって最小のnは 13。

検算：(2)は tan(25π/28) と tan(π/7) を数値で計算し、(x−y)/(1+xy)=−1.0000000000 となることを確認しました。

大問4（選択）　連立対数方程式

u=log₂x, v=log₂y とおくのが定石です。

(1) x⁴y³=1/16=2⁻⁴ の両辺の log₂ をとって 4log₂x+3log₂y=−4。

(2) (log₂x)(log_y2)=u/v、(log₂y)(log_x2)=v/u なので、第2式は u/v+v/u=−17/4。
s=u/v とおくと 4s²+17s+4=0、すなわち s=−1/4 または s=−4。
s=−1/4 のとき u=1/2, v=−2 となり、x=√2（イ）、y=1/4（ウ）。これは x>1 を満たします。

(3) s=−4 のときは u=−16/13, v=4/13 で x=2^(−16/13)<1。
このとき y/x³=2^(v−3u)=2^(4/13+48/13)=2^(52/13)=2⁴=16。

検算：2組の解いずれについても x⁴y³=1/16 が厳密に成り立つことを確認。x<1 側では y/x³ がちょうど16になり、x>1 側では √2/16 になることも確認しました（設問が場合分けしている理由がここにあります）。

大問5（選択）　長方形の中の直角

AB=1, BC=2 の長方形で、∠AEF=90° となるよう E（辺BC上）、F（辺CD上）をとります。BE=x。

座標を B(0,0), A(0,1), C(2,0), D(2,1)、E(x,0), F(2,f) とおくと、
EA·EF=0 から f=x(2−x) が得られます。

(1) △CEF は直角三角形で、脚は CE=2−x、CF=f。
S(x)=½(2−x)·x(2−x)=½x(2−x)²。
S′(x)=½(2−x)(2−3x)=0 より x=2/3（ア）、最大値 16/27（イ）。

(2) △AEF は E が直角なので T(x)=½|EA||EF|。
|EA|=√(x²+1)、|EF|=(2−x)√(1+x²) なので T(x)=½(2−x)(1+x²)。
T′(x)=−½(3x−1)(x−1)=0 より x=1/3（ウ）、最小値 25/27（エ）。
また tan∠EFA=|EA|/|EF|=1/(2−x) なので、x=1/3 のとき 3/5（オ）。

検算：S(x)・T(x) を 0≦x≦1 で細かく数値計算し、最大 0.592593(=16/27) が x=0.6667、最小 0.925926(=25/27) が x=0.3333 で得られることを確認しました。

この年度の対策ポイント

2008年度で光るのは大問2の構造です。(1)の一見無意味な恒等式が、(2)で Σaₖ₋₁dₖ を一発で処理する道具になります。誘導の小問は必ず後で使う——この意識があるかどうかで所要時間がまるで変わります。
一方、大問3(3)はtanの加法定理を鳩の巣原理に接続するという発想が必要で、本番でひらめくのは容易ではありません。選択問題では潔く飛ばす判断も戦略です。確実に取るなら大問5（素直な微分）と大問4（置き換えで機械的）でしょう。
数強塾では、こうした誘導の読み方と選択問題の取捨判断を一対一で指導しています。

※本解説は数強塾が独自に作成したものです。解答は複数の方法で検算していますが、文責は数強塾にあります。