東邦大 医学部2011年度数学 過去問の傾向と解答・解説

東邦大学 医学部 2011年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（小問集合：2次曲線・ベクトル・不等式・逆関数・対数・積分・図形）　答：(1) k=−3/4　(2) (−2, 4)　(3) −10　(4) k=−1/3　(5) x=1/64　(6) π/4　(7) 3π/32　(8) 1≦a≦5/3　(9) √37/2　(10) 2984

【📖大切な定義】共有点の個数は「連立方程式の実数解の個数」に一致します。片方を代入して1変数の方程式に落とし、得られた解が元の変数でいくつの点を生むかまで数え切ることが要点です。

【👀ここに注目】(1) 放物線 から を作り、双曲線 へ代入します。1つの に対し なので、 なら交点は2個、 なら1個です。

方針・解答：代入すると 、すなわち 。この の2次方程式で とおくと が常に成り立ち、 は2解の外側にあります。判別式は 。 では相異なる2解がともに より大きく、各々が2点を生むので交点は4個。 では重解 で交点はちょうど2個。 では実数解がなく0個。よって 。

【✅検算】 のとき 、 で2点のみ。数値で を試すと の2値、各2点で計4点となり「2個」を超えることも確認できます。

【👀ここに注目】(2) は の2次式で、平方完成すると最小点は3点の重心になります。

方針・解答：和は 。 で微分（または平方完成）して最小点は 。

【✅検算】重心公式そのもの。各成分で 、 と一致します。

【👀ここに注目】(3) は積が の一定値になる2項の和で、相加・相乗平均が使えます。

方針・解答： 等号は 、すなわち 、 のとき。このとき だから 。よって 。

【✅検算】 で等号が成立し、 と一致します。

【👀ここに注目】(4) はすべての で成り立つ恒等式なので、逆関数を求めて係数を比較します。

方針・解答： を について解くと 。条件式の両辺を整理して の恒等式とみると、定数項の比較から 、すなわち （1次・2次の項の比較でも同じ を得ます）。

【✅検算】 のとき 。 で 、。一方 で一致します。

【👀ここに注目】(5) 指数に対数が乗っている形は、両辺の底2の対数をとり の2次方程式に帰着させます。

方針・解答：両辺 をとると 。整理して 、。 だから最小の は のとき 。

【✅検算】 では 、指数は 。 で確かに成り立ちます。

【👀ここに注目】(6) は、 版との和と差をとる対称技法が定石です。

方針・解答：、 とおくと 、。よって 。

【✅検算】被積分関数の数値積分でも約 0.7854 となり に一致します。

【👀ここに注目】(7) 頂点Aで2辺に接する円の列は、半角30°の角の中に並ぶ相似な円で、半径は等比数列になります。

方針・解答：角の半分は 。両辺に接し互いに接する2円の半径比は 。よって面積比は の等比数列。1辺1の正三角形の内接円半径は で 。したがって

【✅検算】、公比 の等比和は で一致します。

【👀ここに注目】(8) は について1次で、 と整理でき、 で です。

方針・解答：下限 は 。右辺は で増加し最大は の 。上限 は 。右辺は で減少し最小は の 。よって 。

【✅検算】 で 、 で と上限に到達し、両端の妥当性が確認できます。

【👀ここに注目】(9) 中点どうしを結ぶ は、始点をAにそろえるとベクトル の単位ベクトルだけで表せます。

方針・解答：Aを原点、 を 方向の単位ベクトルとすると 。（ を用いた）。ゆえに

【✅検算】 とおくと 、大きさの2乗は で と一致します。

【👀ここに注目】(10) 逆行列をもつ条件は 。相異なる4数で となる場合を全体から引きます。

方針・解答： の並べ方は 通り。 は「相異なる2数の積が等しい2組」に対応し、1〜9では積 、、、、 の5組。各組で「どちらを対角にするか（2通り）×対角の順序（2通り）×反対角の順序（2通り）」＝8通りずつ、計 通りが 。よって逆行列をもつのは 通り。

【✅検算】積6の組で対角・反対角の割当を列挙すると確かに8通り。5組×8＝40を全体3024から引いて2984と一致します。

【💡ポイントコラム】「代入して1変数に落とす」：(1)の共有点、(4)の逆関数、(5)の指数方程式は、いずれも2変数・複合形を「1つの文字の方程式」に翻訳してから解いています。マーク式で答が一意に決まる問題ほど、まず変数を減らす一手を最優先にすると迷いが消えます。

【💡ポイントコラム】和と差の対称技法：(6)の定積分は「 と 」を作る典型で、 と の対称性を突いています。三角の分数積分でこの形を見たら、まず相方の積分との和と差を疑うのが近道です。

第2問（微分積分：媒介変数曲線 x^{2/3}+4y^{2/3}=4 と面積・接線）　答：(1) I₂=π/4, I₆=(5/6)I₄　(2) 3π/4　(3) −1/4　(4) A の x 座標が 4√2 のとき最大値 2

【📖大切な定義】曲線 は、 と媒介変数表示できます。実際 で和が4になり、 をなぞります。

【👀ここに注目】(1) は、 を半角公式で、一般の関係は部分積分による漸化式 で処理します。

方針・解答：。漸化式より なので 。

【✅検算】ウォリスの公式で 、 と一致します。

【👀ここに注目】(2) 面積は 。媒介変数に置換すると の積の積分になり、(1)の が再登場します。

方針・解答：、 は に対応。 (1)より なので 。

【✅検算】。 と一致します。

【👀ここに注目】(3) 曲線の式を で陰微分すると、 がきれいに一定値へまとまります。

方針・解答：両辺を で微分して 。整理すると 。よって

【✅検算】 で、 によらず一定と確認できます。

【👀ここに注目】(4) 第1象限の点Pでの接線の 切片A、 切片Bを媒介変数で表すと、面積が の形になり最大が一目で分かります。

方針・解答：、。接線の 切片は 、 切片は 。よって 最大値は のとき 。このとき A の 座標は 。

【✅検算】切片を代入で確認すると 、。面積 は で最大2、そのとき と一致します。

【💡ポイントコラム】漸化式は”作って使う”：第2問は(1)で の漸化式を用意し、(2)でその を利用して面積を一気に処理する連動型です。小問（1）が後半の計算の道具になっている構成では、（1）の結果を「後で使う形」で書き残しておくと手が止まりません。

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