東邦大学 2013年度 数学

東邦大学 医学部 2013年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（剰余の定理）　答：（アイウ＝171）

【📖大切な定義】多項式 を で割った余りは に等しい（剰余の定理）。割り算の等式 を書き下すのが出発点です。

【👀ここに注目】 を で割った商が なので、余りは剰余の定理より 。すると という等式が全 で成り立ちます。

方針・解答：等式 に を代入すると、 を で割った余りは なので、、すなわち 。よって 、 となります。

【✅検算】 は で左辺 、右辺 と一致し等式として妥当です。数値では が得られ、値は 171 で確定します。

第2問（三角形の成立条件）　答：（エ＝8、オカ＝13）

【📖大切な定義】3つの正の数 が三角形の3辺になる必要十分条件は、各辺が他の2辺の和より小さいこと、すなわち がすべて成り立つことです。

【👀ここに注目】3辺は 。まず3辺がすべて正であることから 。あとは3つの三角不等式を について解いて共通範囲をとります。

方針・解答： より 、 なので 。次に より 、 なので または 。最後に は で常に成立します。 と合わせて共通部分をとると となります。

【✅検算】 では3辺 。 をすべて満たし三角形が作れます。 では で となり退化、 では で となり退化するので、両端は除外され が妥当です。

第3問（三角比の相互関係）　答：（キ＝5、ク＝6）

【📖大切な定義】 が三角比の基本関係。1次式の条件が与えられたら一方を他方で表し、この恒等式に代入して2次方程式に帰着させます。

【👀ここに注目】 から 。 なので という範囲の制約で解を絞れます。

方針・解答： を に代入すると 、整理して 、。よって 。対応する はそれぞれ ですが、 より 。したがって です。

【✅検算】 を直接代入すると 。7sinθ+cosθ=4.2+0.8=5 も条件を満たします。

第4問（円・方べきの定理・最大角）　答：（ケ＝3、コ＝5）

【📖大切な定義】直線 と直線 の交点 について、点 から2点を見込む角 は、 の加法定理と相加・相乗平均で最大化できます。方べきの定理 は交点が線分内にあるかの検証に使えます。

【👀ここに注目】、 より （ は と の間）。 とおくと と表せます。

方針・解答：。 より相加・相乗平均で 、等号は すなわち のとき。分母が最小のとき が最大、 も最大になるので です。方べきの定理 から となり、 が線分 上にあることも確かめられます。

【✅検算】 は で最小値 。 や を入れると は大きくなり は小さくなるので、 が最大角を与えることと整合します。

第5問（格子上の確率）　答：（サ＝8、シス＝27）

【📖大切な定義】独立試行で「ある事象が 回中 回起こる」確率は反復試行の公式 で計算できます。和 は「 座標が2になる」事象すべての確率の合計です。

【👀ここに注目】1回のサイコロで 方向に進む確率は「1または2の目」で 。 は「4回中ちょうど2回 方向に進む」確率にほかならず、残り2回で 方向に進まなければ の値は問いません。

方針・解答： 方向に進む確率 、進まない確率 。4回中ちょうど2回 方向へ進む確率は 。これがそのまま です。

【✅検算】、約分して 。 方向2回・非 方向2回の場合の数と確率を直接足しても同じ値になります。

第6問（群数列）　答：（セソ＝43、タ＝8）

【📖大切な定義】規則的に区切れる数列は「群数列」として、第 群までの項数の和を使って、通し番号の項が第何群の第何項かを特定します。第 群が 個の項をもつなら、累積項数は 。

【👀ここに注目】この数列は と、第 群が の 個からなる群数列と見なせます。

方針・解答：第 群までの項数は 。 で 、 で なので、第250項は第22群に属します。 より第22群の第19項です。第 群の第 項は なので、 を代入して です。

【✅検算】第22群の分子はすべて 、分母は と2ずつ減ります。第19項の分母は なので となり一致します。

【💡ポイントコラム】群数列は「①各群の項数の規則を見抜く」「②累積項数で群を特定する」「③群内での位置から一般項へ」の3段階で必ず処理できます。本問のように分子・分母それぞれに別の規則がある場合は、分子は群番号 だけで決まり、分母は群内の位置で動く、と役割を分けて眺めると混乱しません。累積項数 の値を あたりでいくつか手計算しておくと、境界の取り違えを防げます。

第7問（多項定理・展開式の係数）　答：（チツテ＝149）

【📖大切な定義】複数の因数の積における特定の項の係数は、各因数から取り出す項の次数を組み合わせ、係数の積の総和として求めます。3項以上の因数には多項定理 （）を使います。

【👀ここに注目】 で の係数を求めます。第3因数から取り出す項が と の次数を上下させるので、第1・2因数と組み合わせて になるパターンを列挙します。

方針・解答：第3因数の一般項は （）で、 を生みます。第1因数からの の係数は 、第2因数からの の係数は 。合わせて が必要です。可能なのは、第3因数から （、係数1）を取り （係数 ）、（、係数 ）を取り （係数 ）、（、係数7）を取り （係数 ）、（、係数 ）を取り （係数 ）の4通り。係数は です。

【✅検算】計算機で を展開し の係数を取り出すと となり、手計算の内訳（）とも一致します。

第8問（指数・対数の連立と実数存在条件）　答：（ト＝5、ナ＝4）

【📖大切な定義】2つの実数 の和と積が与えられたとき、 が実在する条件は「 を解にもつ2次方程式の判別式 」です。真数条件・底の変換公式も併用します。

【👀ここに注目】 を底2にそろえると和 が、 を底3にそろえると積 が、それぞれ で表せます。真数条件から も必要です。

方針・解答：第1式は 、整理して 、よって 。第2式は より 、よって 。 は の2解なので、実数解をもつ条件は判別式 、すなわち 、。真数条件 と合わせて です。

【✅検算】 のとき で 、重解 （実数）が存在します。（）では で判別式 となり実数 が存在しないので、境界は で妥当です。

第9問（区分求積による極限）　答：（ニヌ＝96）

【📖大切な定義】和を の形に整えると、 の極限は定積分 に等しくなります（区分求積法）。対数の性質で積を和に、冪を係数に直すのが下ごしらえです。

【👀ここに注目】 を対数法則で分解します。 を使い、 を区分求積の形に持ち込みます。

方針・解答：。よって 。 で 。この積分は なので 。したがって です。

【✅検算】 を数値で追うと 。 となり整合します。

【💡ポイントコラム】区分求積は「和を に整形できるか」がすべてです。本問の急所は と積の形に見抜くところで、これに を掛けると和 が現れます。 の中の を「各因数を で割る」と読み替える発想は、階乗や二項係数が絡む極限で繰り返し役立ちます。積分 は部分積分の定番なので、値 ごと覚えておくと速いです。

第10問（微分係数と極限）　答：（ネ＝9、ノ＝4）

【📖大切な定義】 は、微分係数の定義を対称に使う頻出の変形です。関数の積は積の微分法 で扱います。

【👀ここに注目】 とおくと 。与式を と括り出すと、 の対称差商が現れます。

方針・解答： とおくと、与式の極限は 。 より 。分母は 。よって です。

【✅検算】、。 で元の式を数値計算しても約 となり一致します。

第11問（領域における分数式の最大）　答：（ハ＝2、ヒ＝2）

【📖大切な定義】2変数の条件下で式の最大を求めるとき、一方の変数 を固定して他方の可動域から候補を絞り、残った1変数関数を微分するのが確実です。分子が正なら2乗して比較しても最大の位置は変わりません。

【👀ここに注目】 の下で を最大化します。 を固定すると の上限は 、しかも の領域で なので分子は大きいほど有利で、 が最良です。

方針・解答： で を最大化。正なので2乗した を微分すると、。定義域内で は で正、 で負となるので で極大かつ最大。。もとの式はその平方根で です。

【✅検算】 は を満たし境界上。。 を や にずらすと値が下がるので、 が最大で整合します。

第12問（行列と逆行列）　答：（フ＝7、ヘ＝1）

【📖大切な定義】 の逆行列は 。 を1文字におくと成分の連立方程式が扱いやすくなります。

【👀ここに注目】 とおくと 。成分ごとに4本の式が立ちます。

方針・解答：成分比較で 。第1式と第4式を辺々加えると 、すなわち 。 より なので 。すると は 、、同様に 。 より 。第1式 と から 、 より 。以上より です。

【✅検算】 を解くと 、。、 なので 、 と条件に一致します。

第13問（ベクトルと正三角形）　答：（ホ＝4、マ＝3、ミ＝3、ム＝4）

【📖大切な定義】平面上の点 は基底 を用いて と一意に表せます。長さの条件は内積で処理し、位置（内側／外側）の情報で解を選びます。

【👀ここに注目】 とおくと 。 から を展開して内積 が求まります。正三角形 は を与えます。

方針・解答： より 。 とおき、（）から …①、（）から …②。①②で 、。①へ代入して整理すると 、 より 、対応する 。正三角形 が の外側にある方は を満たす です。よって です。

【✅検算】座標で （）とし、 から 。 が成り立ち、 は辺 について と反対側（外側）にあることも確認できます。

第14問（絶対値付き積分方程式）　答：（メ＝5、モ＝4）

【📖大切な定義】定積分 は を含まない定数なので、これを とおくと が の1次式で表せます。あとは が満たす方程式を立て、絶対値の符号で場合分けして解きます。

【👀ここに注目】 とおくと 。零点は と で、区間 上の符号は の位置で決まります。

方針・解答：。[1] のとき、 で となるのは 。（右辺は の4倍）を計算すると 、 の範囲で 。[2] のとき、 で常に となり から となるが、これは を満たさず不適。よって 。このとき なので です。

【✅検算】 のとき零点は 。 を数値計算すると 、その が となり自己整合します。 も一致します。

第15問（双曲線の接線と漸近線）　答：（ヤ＝2、ユヨ＝39）

【📖大切な定義】双曲線 上の点 における接線は 。漸近線は 。対称性から接点は に限って考えれば十分です。

【👀ここに注目】接線 が 軸と で交わることから接点の 座標 が決まります。 と2漸近線の交点 を求め、条件 と から を確定します。

方針・解答：接点を （）とすると接線は 。 を通るので 、双曲線上にあることから 。漸近線 との交点を求めると、、（対称な計算による）。条件から 。すると 、 より 、よって 。最後に に を入れると 、 です。

【✅検算】 は 、、 を満たし条件と整合。、 が得られ、根号内は （平方因数をもたない最小形）で確定します。

【💡ポイントコラム】双曲線と漸近線が絡む問題は、接点を1つの文字で置き、 と面積 を の対称式に落とすのが定石です。本問では と が直接与えられるので、 から和と差を作り、 の条件で符号を確定できます。根号を含む最終形は「根号内が平方因数を含まない最小形」まで整えるのが東邦のマーク方式の作法で、 のように必ず外へ出せる因数を出し切ることが正答の条件になります。

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