東邦大学 2017年度 数学

東邦大学 医学部 2017年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（図形と計量：垂線の足と の逆数和）　答：(ア／イ) ｜(ウ√エ／オカ)

【📖大切な定義】三角形の3辺が分かれば、余弦定理 で角が定まります。頂点から対辺へ下ろした垂線の足 について、 が成り立ちます。また と変形できます。

【👀ここに注目】 が成り立つので、 の直角三角形だと見抜ける点が急所です。直角が見えると計算が一気に軽くなります。

方針・解答： とします。余弦定理より

よって垂線の足は （ア ，イ ）。次に より外接円の直径は で、正弦定理を使うと

したがって （ウ ，エ ，オカ ）。

【✅検算】 を原点、 と置くと で条件に合います。直線 は で、原点からの垂線の足は 。 と一致します。また から で整合します。

【💡ポイントコラム】 は「まず疑う」：3辺が具体的な数で与えられたら、平方の和を試すと直角が隠れていることがあります。直角が見つかれば 、 と一気に簡単になります。

【💡ポイントコラム】 は「通分して へ」： は加法定理そのもの。 より分子は になり、正弦定理で辺の式へ落とせます。

第2問（式の計算と定積分：部分分数分解）　答：(キ／ク) ｜(ケ／コ)log サ

【📖大切な定義】 と因数分解できます。恒等式は両辺に共通分母を掛けて分子を係数比較すれば、定数 が連立1次方程式で定まります。

【👀ここに注目】分子 の項を積分すると、分母 の導関数 がちょうど現れて対数微分の形になり、区間の両端で値が打ち消し合う点が急所です。

方針・解答： の分母を払うと

係数比較 を解くと （キ ，ク ）。よって被積分関数は 。第1項は だから

残る第2項は 。したがって

【✅検算】 を恒等式に代入すると左辺 、右辺 。 では左辺 、右辺 で一致します。定積分はシンプソン則でも確認でき、 などから近似値 を得て、 と合います。

【💡ポイントコラム】 は「」：3次の和は必ずこの積に分解できます。部分分数の分母をここから読み取れば、あとは分子の未知係数を係数比較で決めるだけです。

【💡ポイントコラム】 を作ると「対数で一撃」：分子が分母の導関数（定数倍）になれば積分は 。区間の両端で の値が等しいと、その項はまるごと になります。

第3問（指数・対数：不等式と最大最小）　答：(シ) ｜(ス) ｜(セ) 最小値 ｜(ソ／タ) 最大値

【📖大切な定義】 と置換すると指数不等式が の分数不等式に変わります。両辺に を掛けて2次不等式に整理すると、解ける形になります。対数は 、 と底を揃えられます。

【👀ここに注目】 は と置くと の形。相加・相乗平均から で最小値 をとり、あとは区間の端で最大を比べればよい点が急所です。

方針・解答： とおくと より 。両辺に を掛けて

すなわち だから （シ ，ス ）。この範囲で は のとき 、 のとき なので 。 は で最小値 （セ ）。端の値は で 、 で だから、大きいほうの が最大値です（ソ ，タ ）。

【✅検算】（）で と最小値が一致。（）で 、（）で 。 なので最大値は で確定します。不等式の端 も と等号成立を確認できます。

【💡ポイントコラム】指数不等式は「 で2次へ」： が現れたら分母を払って2次不等式に。因数分解できれば境界の がそのまま の値になり、指数を比較するだけで の範囲が出ます。

【💡ポイントコラム】 は「内部で最小・端で最大」： の凸関数なので、最小は の 、最大は区間の端で決まります。端を両方代入して大きいほうを選ぶのが安全です。

第4問（極方程式：円への変換）　答：(アイ√ウ, エオ) 中心 ｜(カ) 半径

【📖大切な定義】極座標と直交座標は で結ばれます。 型は両辺に を掛けると の2次式になり、平方完成すれば円と分かります。

【👀ここに注目】加法定理で を展開し、 を作るために両辺へ を掛ける、という一手が急所です。

方針・解答： だから

両辺に を掛けて 、すなわち 。平方完成すると

よって中心 （アイ ，ウ ，エオ ）、半径 （カ ）の円です。

【✅検算】 では なので点は 。中心からの距離は 。 では で点 、中心からの距離は 。いずれも半径 に一致し、円であることが確認できます。

【💡ポイントコラム】 は「必ず円」：両辺に を掛けると 。中心 、半径 の円で、原点を通ります。

【💡ポイントコラム】位相のずれは「加法定理で展開」： はまず にバラすと、直交座標へ翻訳しやすくなります。角度のまま扱わず成分に開くのがコツです。

第5問（微分：変曲点と極大値をもつ条件）　答：(キ, ク) 変曲点 ｜(ケ, コサ)

【📖大切な定義】変曲点は の前後で凹凸が変わる点です。4次関数 は上に開くので、極大値をもつのは導関数 が相異なる3つの実数解をもつときに限られます。

【👀ここに注目】 には定数 が現れないので変曲点は によらず定まります。極大値の条件は、3次関数 の極大値と極小値の間に が挟まるか、で判定できる点が急所です。

方針・解答：。 は で、前後で符号が変わるので変曲点は と （キ ，ク ）。次に を と読み替えます。 より は で極大値 、 で極小値 。 が3つの実数解をもつのは

このとき は符号を と変え、中間で極大値が現れます。よって が極大値をもつ の範囲は （ケ ，コサ ）。

【✅検算】境界 では となり、 が重解で符号が変わらないため極大値は生じません。 では で が重解、やはり極大値なし。範囲内の では が相異なる3実解 をもち、確かに極大値が現れます。

【💡ポイントコラム】変曲点に「定数項・1次項は無関係」： を作ると や は消えます。凹凸の切り替わりは高次の係数だけで決まるので、変曲点は の値によらず固定されます。

【💡ポイントコラム】極値の個数は「 の交点数」： を「定数 次関数」の形に分離すると、水平線と曲線の交点数として実解の個数が読めます。極大・極小の値の間に定数が入るかで判定できます。

第6問（平面ベクトル：重心条件と三角形の面積）　答：(シス) ｜(セ√ソ／タ)

【📖大切な定義】原点 を頂点にもつ の重心は 。三角形の面積は で内積から直接求められます。

【👀ここに注目】重心が与えられると が決まり、その大きさの2乗を展開すると内積が芋づる式に出てくる点が急所です。

方針・解答：重心が なので 、したがって 。一方

よって から （シス ）。面積は

したがって の面積は （セ ，ソ ，タ ）。

【✅検算】 と置くと より 、 から 。面積は と一致します。内積 は 、その2乗 とも整合します。

【💡ポイントコラム】重心は「和ベクトルの 」：原点を含む三角形なら重心 。逆に重心が分かれば和ベクトルが決まり、その大きさの2乗から内積へ一直線です。

【💡ポイントコラム】面積は「 の半分」： を求めなくても、内積さえ分かれば面積が出ます。 と内積の3つで完結するのが強みです。

第7問（円に内接する四角形：余弦定理と相似）　答：(アイ／ウ) ｜(エ√オカ／キク)

【📖大切な定義】円に内接する四角形では向かい合う角の和が なので 。対角線 を2つの三角形で表して等号で結ぶと、余弦が定まります。等しい円周角からは相似な三角形が生まれます。

【👀ここに注目】条件 から 、さらに円周角 を組み合わせると が見える点が急所です。

方針・解答：対角線 を と で表します。 に注意して

両者を等しいとおくと 、これより （アイ ，ウ ）。このとき なので 。次に 、 より 。対応辺の比から

したがって （エ ，オカ ，キク ）。

【✅検算】トレミーの定理 。一方 で 、 で を等号で結ぶと 、、。すると とトレミーに一致し、 も整合します。

【💡ポイントコラム】内接四角形は「向かい合う角で符号反転」： なので余弦は符号が逆。同じ対角線を2つの三角形で表し、 の符号違いを使って1本の方程式にまとめます。

【💡ポイントコラム】等しい角は「相似のサイン」：与えられた角の等式に円周角の等式を足すと、対応する2角が一致して相似に。相似が見えれば辺の比 から未知辺が即座に出ます。

第8問（データの分析：2群の合併平均と分散）　答：(ケコ) 平均 ｜(サシ) 分散

【📖大切な定義】各群の平均 と分散 から、その群の「2乗の平均」は です。合併した集団の分散は「群内分散の加重平均＋群平均の散らばり（群間分散）」に分解できます。

【👀ここに注目】人数の重み で平均・2乗平均を足し合わせ、最後に を作れば分散が出る点が急所です。

方針・解答：全体平均は人数で加重して

2乗の平均は 群が 、 群が なので、全体の2乗平均は

よって分散は （サシ ）。

【✅検算】分散の分解でも確かめます。群内分散の加重平均は 、群間分散は 。合計 となり、2乗平均を用いた計算と完全に一致します。

【💡ポイントコラム】分散は「2乗の平均－平均の2乗」：。逆に と読めば、群ごとの2乗平均を人数で足し合わせて合併分散に持ち込めます。

【💡ポイントコラム】合併分散は「群内＋群間」：全体のばらつきは、各群の内部のばらつきと、群の平均どうしのばらつきの和。2通りの計算が一致するかで検算になります。

第9問（数列：連立漸化式と極限）　答：(ス／セ) 公比 ｜(ソ／タ)

【📖大切な定義】連立漸化式は、うまい1次結合をとると等比数列や等差数列に化けます。、 のように組み合わせを試し、定数項が消えれば等比、定数項だけ残れば等差になります。

【👀ここに注目】 は定数項が打ち消えて等比、 は毎回一定量だけ増える等差、という2方向の分解で個々の を復元できる点が急所です。

方針・解答： とすると

よって は公比 の等比数列（ス ，セ ）。初項 より 。一方 は

すなわち公差 の等差数列で、初項 より 。 だから

したがって （ソ ，タ ）。

【✅検算】具体値で確かめます。 から 。 で公比 に一致。 で公差 に一致。 は と合い、 で に収束します。

【💡ポイントコラム】連立漸化式は「良い組み合わせ探し」： の形を仮定して係数を合わせると、等比になる組が見つかります。定数項が残る組は等差。2本の関係が取れれば を復元できます。

【💡ポイントコラム】極限は「消える項・残る項」で判断： なので等比の寄与は消え、等差から来る と定数だけが残ります。 の形にすると発散部分が相殺され、有限の極限が見えます。

第10問（場合の数：積が となる自然数の組）　答：(チツ) 通り｜(テト) 通り

【📖大切な定義】 では、まず の約数から積の分け方（因数の組）を絞ります。、 という範囲の制約で候補が限られます。

【👀ここに注目】 の約数のうち和の範囲に収まる分け方は の3通りだけ。あとは各和を作る単調な組を数える点が急所です。

方針・解答：（和 ）の組数を 、（和 ）の組数を とします。数えると 、。 と だけを課す（1）では2群が独立なので、各因数の組で積をとって

（2）は なので の連結条件が加わります。 は に対し 、 は に対し となり を満たせず 通り。残る では と を の下で組むと

これらを合計して 通り（テト ）。

【✅検算】（2）の12組を具体的に並べると 。いずれも 、各 、 を満たし、確かに12組です。（1）の も 〜 の列挙で確認できます。

【💡ポイントコラム】積の条件は「約数で場合分け」： はまず を約数の積に分けます。各因数の取りうる範囲（和の最小・最大）で分け方を絞ると、数え上げる場面がぐっと減ります。

【💡ポイントコラム】 の連結は「またぐ条件に注意」：（1）と（2）の違いは の一点。前半群の最大 と後半群の最小 を比べ、両立しない因数の組は最初に捨てると計算が速くなります。

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