藤原進之介です。このページでは東海大学2014年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
数学 問題
数学 解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：2項間漸化式 an+1 = 3an + 8 。係数が 1 でないので等差でも等比でもありません。定数をずらして等比に落とすのがこの型の一手です。
1. なぜその一手を選ぶのか
an+1 = pan + q を見たら、最初に確かめるのは p が 1 かどうかだけです。p = 1 なら公差 q の等差数列で即終了。ここでは p = 3 なので、その道は使えません。
次に考えるのは「何を足せば、余分な定数項が消えるか」です。両辺に同じ数 β を足して an+1 + β = 3( an + β ) の形にしたい。右辺を展開すると 3an + 3β なので、3β − β = 8 、つまり β = 4 と決まります。この一手を選ぶ理由は「定数項を消すため」であって、公式だからではありません。
2. 解答
- 両辺に 4 を足すと an+1 + 4 = 3( an + 4 ) 。
- よって数列 { an + 4 } は公比 3 の等比数列。
- 初項は a1 + 4 = 10 + 4 = 14 。
- したがって an + 4 = 14 · 3n−1 。
答え： an = 14 · 3n−1 − 4
3. 検算（ここまでを1セットにする）
n = 1： 14 × 1 − 4 = 10 。初項に一致します。
n = 2： 漸化式からは 3 × 10 + 8 = 38 。一般項からは 14 × 3 − 4 = 38 。一致します。
漸化式の問題は、一般項を出したら必ず n = 1 と n = 2 を入れる。符号ミスと初項ずれはここでほぼ全部捕まります。
この型の一般化： an+1 = pan + q（p ≠ 1）は、つねに β = q / (p − 1) を両辺に足せば等比に落ちます。ただし q が定数でなく n の式になっている場合（an+1 = pan + f(n)）はこの手が効かず、両辺を pn+1 で割る、階差を取る、といった別の一手に切り替えます。どの分岐を選ぶかは第11章 数列で整理しています。
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東海大学の数学の過去問は14年度ぶんを公開しています。そのうち1年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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東海大学 2014年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 整数
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 指数・対数
この年度の出題範囲と傾向
2014年度の問題PDFでは、確率・場合の数、図形・三角関数、整数、関数・グラフ、微分・積分に関する語句や設問を確認できました。東海大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は14年度、微分・積分は14年度、指数・対数は13年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、図形・三角関数、整数、関数・グラフ、微分・積分
(医 学部)
ー 2月2日 一
解符はすべて角答用紙に記入して提出しなさい。
ROLE EE.
解答は, 分数の場合には既約分数の形で, 自然数の根号を含む場合には根号の中が最小の自然数となる形で書きなさい.
[1] =ーMwTyr+2e=0は、 (F.C) nee, rex の円の方式である」
(2) 0<9<ヶとする. ces9ニ革のとき。 es29=しエー ], sind =F) cH.
3) 20087 bv a= (1 -2 8), F=B, 一1. 2) のなす角を9とすると, cosの=[| カ |]である.
(4) 直線 22 —~By 2 =O IRL TA (7, 14) と対称な点の座標は, (| キ ].[| ク ])である.
(5) 25は[| ケ VHOMMCHS. ただし, logx。2 = 0.301 とする.
2 以上の自然数 ががある. くり返しきいころを投げて。 次のルール(1) に従ってゲームをする」
() きいころを投げて, 異なる目が出たらゲームを終了し,、 さいころを投げた回数を得点とする、
(i) さいころを投げて, が回続けて同じ目が出たらゲームを終了し, 得点をパ二1点とする.
例えば, パー4とする. 1回目と2 阿目に5 の目が出て, 3 団目に5 以外の目が出たとき得点は3 となり, 1 回目
から4回日まで同じ日が出たとき得点は5 となる.
OQ) 奴言4とする. さいころをちょうど2回投げて。 ゲームが終了する確率は [| アア |]であり. ちょうど3回投げて.
ダームが藤了する確率は| イ |]である
(2) 得点が以上になる確率は| ウ |である.
(3) パー 3 のとき, 得点の期待値は[| エ |]である.
(4) 2 ミヵ名人Yのとき, 得点がヵとなる確率は[ オ |([| カ |)*であり, 得点の期待値を ovとすると.
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