東海大学 2024年度 数学

東海大学 医学部 2024年 数学 全問解説（2月2日実施）

このページでは、オンライン数学専門塾「数強塾」代表・藤原進之介が、東海大学 医学部医学科 一般選抜（2024年2月2日実施）の数学について、全大問を省略なく解説していきます。各設問は、まず標準的な正攻法で解いたうえで、数値代入や独立した別解による検算を添える二段構えで進めていきますので、答えの根拠まで含めて確認していただけるかと思います。なお、掲載している問題文・数値は本番の問題冊子（本学公式の配布物）をもとに整理したものですが、細部の表記は読みやすさを優先して調整している場合がある点をご了承ください。

大問1　小問集合（ア〜ケ）

(1) 定積分の差　→　ア

問われているのは の値です。

📖 大切な定義：二つの定積分は積分区間が共通なので、被積分関数の差を先にとってから積分できます。すなわち の性質を使うのが見通しの良い方針でしょう。

👀 ここに注目： は和と差の積に因数分解でき、 次の項がきれいに消えてくれます。

解答：まず被積分関数の差を整理すると、

したがって、

となり、ア と求められます。

✅ 検算：それぞれ展開して素朴に積分しても確かめられます。、。差は となり、一致が確認できます。

(2) 極限（微分係数の定義）　→　イ

👀 ここに注目：分子は に を代入した式で、 で分母 となる形です。これは微分係数の定義 にほかならないと読み取れます（ただし の確認が前提です）。

解答：まず なので、与式は に一致します。導関数は

ですから、

よって イ と考えられます。

✅ 検算： に を代入すると 。これは と等しく、別ルートでも同じ値に落ち着きます。

(3) 3直線が1点で交わる整数の組　→　ウ （個）

👀 ここに注目：直線 は によらずある定点を通るわけではありませんが、「3直線が1点で交わる」ためには、はじめの2直線の交点を第3の直線が通ればよい、と整理できます。

解答： と を連立すると、 が交点です。第3の直線 がこの点を通る条件は

ここで なので 。条件 は 、すなわち となり、整数 は の5通りが候補になります。

ただし のとき となり、この直線は と完全に一致してしまいます。これでは「3直線」が実質2直線となるため、通常はこの組を除いて数えるのが自然でしょう。残る の4組が答えと考えられ、ウ となります。

✅ 検算：候補を数値代入で確認します。たとえば なら で交点を通り、（範囲内）。 は で成立し 。いずれも定点を通ることが直接確かめられます。なお「一致する直線も1点で交わるとみなす」立場では5個と数える余地もあり、採点基準次第で解釈が分かれ得る点は補足しておきます。

(4) 三角関数の最大・最小　→　エ 、オ

📖 大切な定義： は三角関数の合成で と書き換えられます。

解答： のとき は を動きます。この区間で は （＝）のとき最大値 、両端 で最小値 をとります。よって

となり、エ 、オ と求められます。

✅ 検算：端点で直接評価すると、 で 、 で 、 で 。最大 、最小 と一致します。

(5) 確率から赤玉の個数を逆算　→　カ （個）

解答：赤玉を 個とおくと、非復元で2個続けて赤である確率は 。これが に等しいので、

より 。したがって カ と考えられます。

✅ 検算： を戻すと となり、題意の確率に一致します。赤8・青3で合計11個という配分も整合的です。

(6) 空間ベクトルと角　→　キ

👀 ここに注目： はすべて の平面上、 だけが真上にあります。まず C から直線 AB への垂線の足 H を求めるのが方針でしょう。

解答： とおきます。 が と垂直なので、

よって 。ここで 、 です。注目すべきは、 の水平成分がちょうど に一致している点で、 は「水平方向 に対する仰角」と見なせます。 なので、

したがって キ と求められます。

✅ 検算：内積から余弦を出す別ルートでも確認できます。、 より 。ここから となり、同じ値に到達します。

(7) ベクトルの大きさの最大・最小　→　ク 、ケ

方針： とおき、条件を の関係式に落とし込むのが扱いやすいでしょう。

解答：、。辺々引くと 、すなわち 。第1式に代入して 、つまり です。求めたい量は

次に の動ける範囲を押さえます。 より 。またシュワルツの不等式 から 、すなわち （この上限は から来る より厳しく、こちらが有効です）。よって は の減少関数なので、

したがって最大値 、最小値 と考えられ、ク 、ケ となります。

✅ 検算：両端で実際にベクトルを構成できます。 のときは が条件をすべて満たし 。 のときは で が同じ向き（シュワルツ等号）となり、。いずれも独立に成立し、値が一致します。

大問2　データの分析（金融商品の資産）

金融商品 A・B の各年（1月31日）1単位あたり評価額が表1で、A を 単位、B を 単位（）保有したときの各年の資産が表2で与えられています。表2の3年分の資産について、平均を 、分散を とします。まず各年の資産を の式で整理しておくと見通しが良いでしょう。

(1) 、　→　ア 、イ

解答： では資産が なので 。 では資産が 、平均 で、

よって ア 、イ と求められます。

✅ 検算： は「2乗平均−平均の2乗」でも確認できます。。一致します。

(2) 相関係数　→　ウ

解答：A の評価額 （平均11）、B の評価額 （平均12）について、偏差はそれぞれ 、。共分散は 。分散は 、 なので、

したがって ウ （およそ ）と考えられます。

✅ 検算：数値で見ると 、。一方 で一致します。負の弱い相関という向きも、Aが増える年にBが減る表の傾向と整合的です。

(3) の最大　→　エ 、オ

解答：平均は 。これは の増加関数なので、 では のとき最大値 。よって エ 、オ となります。

✅ 検算：（(1)と一致）、。1次関数として単調増加なので端点 が最大、という判断は妥当でしょう。

(4) の最小を与える 　→　カ

解答：平均 を使って各年の偏差を出すと、、、。分散は

下に凸の2次関数なので、頂点 （区間 内）で最小。よって カ と求められます。

✅ 検算： で(1)の値に一致し、係数が正しいことが裏づけられます。頂点が に収まる点も条件に合っています。

(5) が で最大　→　キ

方針： の下で、 を の2次式に展開し、その最大が で実現される条件を頂点の位置から詰めるのが自然でしょう。

解答： より

では なので2次の係数 、つまり上に凸です。上に凸の放物線が区間 で を最大点とするには、頂点が 以上にあればよく、 上で増加していれば十分です。頂点は

したがって必要十分条件は と考えられ、キ となります。

✅ 検算： で頂点を計算すると となり、ちょうど が頂点＝最大点。境界が正しく で切り替わることが確認できます。

大問3　数列（等差数列と指数型数列）

初項から第5項までの和が100、初項から第10項までの和が25である等差数列 に対し、数列 を 、 で定めます。

(1) 一般項と和　→　ア 、イ

解答： より 、 より 。連立すると 。よって

したがって ア 、イ と求められます。

✅ 検算：、。与えられた条件に合致します。

(2) の値　→　ウ

👀 ここに注目：漸化式を掛け合わせると と、指数が部分和 になる形が見えてきます。

解答： なので 。 より 。よって ウ と考えられます。

✅ 検算： の和は 。指数が3項の和に一致し、 が裏づけられます。

(3) となる最小の自然数 　→　エ

解答： は と同値。 は では 、すなわち 。よって最小の自然数は で、エ となります。

✅ 検算： なので 、 なので 。境界が で切り替わることが確認できます。

(4) の最大とその桁数・最高位　→　オ 、カ 、キ

解答： は が最大のとき最大になります。 は で頂点をとる上に凸の2次式なので、自然数では が最大（ で確かに が上回ります）。よって オ 、最大値は 。

桁数と最高位は常用対数で評価します。。与えられた より

整数部分が なので桁数は 桁、カ 。さらに小数部分は と の間で、 より仮数は 〜 程度、つまり最高位の数字は と判断でき、キ となります。

✅ 検算： は(1)の条件そのもので整合。桁数について、もし が下限 でも上限 でも整数部分は で変わらず、31桁という結論は与えられた不等式の範囲内で安定しています。最高位も小数部分が 未満なので仮数が 未満に収まり、 で確定と考えられます。

解答一覧（2月2日実施分）

※ 大問1(3)は「一致する直線も3直線が1点で交わるとみなすか」の解釈で答えが4個か5個かに分かれ得るため、本解説では実質2直線となる組を除いた4個を主たる答えとして扱っています。採点基準により判断が異なる可能性がある点はご了承ください。

解説執筆：藤原進之介（数強塾代表）。本記事は東海大学が公表した入試問題を典拠に、学習用として作成したものです。内容には十分注意していますが、解釈や計算に誤りが含まれる可能性もあるため、最終的な確認は公式資料とあわせて行っていただければ幸いです。