産業医科大学医学部 2020年度 数学過去問・解答

産業医科大学 医学部 2020年度（令和2年度・一般入試）数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

出題形式と傾向

試験時間100分（10:20〜12:00）、大問2題。大問1は独立小問12問、大問2は「1のm乗根を使って複素数平面上に図形を描く」という長い設定の総合問題です。
大問1は極限・平面幾何・整数・媒介変数・空間図形・場合の数・2次曲線・微分方程式まで含み、1問あたり4分程度で処理する速度が要求されます。大問2は複素数平面・確率・数列・図形の面積を一体化した重量級で、この年度最大の山場です。

大問1　小問集合（12問）

(1) 方程式の解の個数：πˣ=eˣ+||x−2|−1|。
x<0 では πˣ<eˣ で右辺の絶対値部分（1−x>1）にも届かず不成立。x=0 では左辺1・右辺2。
x が大きくなると πˣ が eˣ を引き離すため、ちょうど一度だけ追い越します。よって解は 1個（x≈0.7545）。

(2) 数列の極限：Σk⁴=n(n+1)(2n+1)(3n²+3n−1)/30 の最高次は n⁵/5。
よって lim(Σk⁴)/n⁵=1/5（∫₀¹x⁴dx と見ても同じです）。

(3) 内心までの距離：AB=5, BC=8, CA=5 の二等辺三角形。座標に置くと A(0,0), B(5,0), C(−7/5, 24/5)。
内心は I=(a·A+b·B+c·C)/(a+b+c)（a, b, c は対辺の長さ）で I(1, 4/3)。
よって CI=4√10/3。

(4) 素数の和：4以上50以下の偶数は24個。そのすべてが2つの素数の和で表せます（ゴールドバッハ予想がこの範囲で成立）。
よって 24個。

(5) 媒介変数表示の曲線：x=cos3t, y=sin4t と y=1/3 の交点。
sin4t=1/3 は 0≦t<2π で8個の解をもち、対応する x=cos3t はすべて相異なります。よって 8個。

(6) 正四面体の体積：1辺1の正四面体の体積は √2/12。

(7) 平行六面体の体積：AB=(1,−2,0), AC=(1,0,0), AD=(1,1,2) のスカラー三重積の絶対値。
行列式を計算して 4。

(8) 支払い方の総数：100円硬貨を h 枚（0〜30）使うと、残りを50円と10円で払う方法は 61−2h 通り。
Σ(61−2h)=31×61−930=961通り。

(9) 外接円の半径：AB=3, BC=5, CA=7。最大辺 CA=7 の対角Bについて
cos B=(25+9−49)/(2·5·3)=−1/2 より B=120°。
正弦定理から R=7/(2sin120°)=7√3/3。

(10) 2次曲線の離心率：y²=2x²+2x−1 を整理すると
(x+1/2)²/(1/4)−y²/(1/2)=1 という双曲線。
離心率は √(1+b²/a²)=√(1+2)=√3。

(11) 微分方程式：y′+y=0 より y=Ce⁻ˣ。f(1)=1 から C=e。
よって f(x)=e¹⁻ˣ、f(0)=e。

(12) 微分方程式：y′+y/x=0 は変数分離で y=C/x。f(2)=1 から C=2。
よって f(3)=2/3。

検算：(1)は広範囲を細かく走査して符号変化がちょうど1回であることを確認。(4)は4〜50の偶数24個すべてについて素数分解を全数探索。(5)は媒介変数を細かく刻んで交点を数え上げ。(8)は組合せを全数カウントして961を確認。(3)(7)(9)は座標・行列式で独立に再計算。

大問2　1のm乗根で描く図形（複素数平面と確率）

1の m 乗根を偏角の小さい順に z₀, z₁, …, z_(m−1) とし、w₀=1 を基点として複素数平面上を動かしていく設定です。

ルール1（m=6・サイコロ）

wₙ=a·z_(a−1)·wₙ₋₁（a はサイコロの目）。|z|=1 なので |wₙ| は出た目の積になります。

ス：|wₙ|=15 となる確率：目の積が15になるのは 3と5が1個ずつ、残りはすべて1 のときだけ。
3と5の位置の選び方は n(n−1) 通りなので、確率は n(n−1)/6ⁿ。

セ：線分Pₙ₋₁Pₙ がはじめて虚軸と交わる確率：偏角は毎回 60°×(a−1) だけ増え、6通りが等確率なので、各ステップ後の偏角は6状態に一様分布します。
実部が正になるのは 0°, 60°, 300° の3状態＝確率1/2。
よって「n−1 回目まで実部が正で、n 回目に負へ移る」確率は 1/2ⁿ。

ソ：線分の長さが5√31 となる確率：|wₙ−wₙ₋₁|=|wₙ₋₁|·|a·z_(a−1)−1|。
後半の因子は a=1,…,6 で順に 0, √3, √13, 5, √31, √31。
5√31 となるのは |wₙ₋₁|=5 かつ a=5または6 のときだけです。
積が5になるのは5が1個・残り1で (n−1) 通りなので、確率は {(n−1)/6ⁿ⁻¹}×(2/6)=2(n−1)/6ⁿ。

ルール2（m=8・漸化式）

wₙ=√2·z₁·wₙ₋₁−1。z₁=e^(iπ/4) なので √2z₁=1+i、つまり wₙ=(1+i)wₙ₋₁−1。

タ：不動点は w=−i。wₙ+i=(1+i)(wₙ₋₁+i) と等比化でき、w₀+i=1+i より
wₙ=(1+i)ⁿ⁺¹−i。

チ：vₖ=wₖ+i=(1+i)ᵏ⁺¹ と平行移動しても面積は変わりません。
Pₙ〜Pₙ₊₄ の5点は (1+i)ⁿ⁺¹ 倍の相似形なので、面積は |(1+i)ⁿ⁺¹|²=2ⁿ⁺¹ 倍。
基本形（n=0）の五角形 1+i, 2i, −2+2i, −4, −4−4i の面積は15なので、
求める面積は 15·2ⁿ。

ルール3（m=20・コイン）

ツ：sin(π/10)=(√5−1)/4。

テ：a=1（裏）で18°回転・倍率√5、a=3（表）で54°回転・倍率1/5。
ちょうど1周して基点に戻る条件は 18p+54q=360 かつ (√5)ᵖ(1/5)^q=1。
後者から p=2q、代入して q=4, p=8、つまり n=12。
90°回転で不変であるためには、3ステップ（=90°・倍率1）を4回くり返す必要があります。3ステップの中身は「18°を2回・54°を1回」で、その並べ方は3通り。
それぞれの面積を計算すると (35−√5)/2、7/2−√5/10、7/10−√5/50。
最大は (35−√5)/2（≈16.382）。

ルール4（一般のm・コイン）

ト：a=1 で 360/m 度、a=2 で 720/m 度回転。ちょうど1周する条件は p+2q=m。
これは「m を1と2の和に分ける（順序つき）」ことに対応し、長さ n の並びの確率は (1/2)ⁿ。
総和を P(m) とおくと P(m)=P(m−1)/2+P(m−2)/2（P(0)=1, P(1)=1/2）。
これを解いて P(m)=2/3+(1/3)(−1/2)^m。

検算：スは n=2,3,4 で全数列挙（6ⁿ通り）し、公式 n(n−1) と一致を確認。セは40万回のモンテカルロで理論値1/2ⁿとの一致を確認（n=1〜4）。タは漸化式を逐次計算して閉じた式と5項まで完全一致。チは実際の5点で靴ひも公式を計算し、n=0〜3で15·2ⁿと一致。テは3通りの並べ方すべてを厳密計算し最大値を特定。トは m=4〜10 で直接列挙した値（11/16, 21/32, 43/64, 85/128, 171/256 …）が公式と完全一致。

この年度の対策ポイント

大問1は「知識の在庫」勝負です。内心の位置ベクトル公式（(3)）、スカラー三重積（(7)）、2次曲線の離心率（(10)）、変数分離形の微分方程式（(11)(12)）は、いずれも即答できるかどうかで時間差が生まれます。
大問2は長文ですが、実は「絶対値は倍率の積、偏角は回転の和」という複素数の基本性質を分けて考えるだけで、大半の設問が処理できます。とくにセは「偏角が一様分布する」ことに気づけば計算がほぼ不要になり、ルール2は不動点を引いて等比数列にするという定石そのものです。
数強塾では、こうした長い設定を短い構造に翻訳する読み方を一対一で指導しています。

※本解説は数強塾が独自に作成したものです。解答は複数の方法で検算していますが、文責は数強塾にあります。