産業医科大学医学部 2021年度 数学過去問・解答

産業医科大学 医学部 2021年度（令和3年度・一般入試）数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

出題形式と傾向

大問4題。大問1は医療現場の単位換算（有効数字1桁）、大問2は独立小問10問、大問3・4は記述式です。
大問1が「心臓の拍出量」「献血」「組織血流量」「点滴の滴下速度」という産業医科大らしい医療テーマの計算問題である点が最大の特徴。数学的難度は高くありませんが、単位を正確に追うことが要求されます。
大問3は絶対値付き放物線と直線で囲まれる面積の最小化、大問4は楕円の接線という頻出テーマで、いずれも最後にきれいな値が出る良問です。

大問1　医療の単位換算（有効数字1桁）

ア：1日の総血液量：5リットル/分×1440分=7200リットル。
1リットル=1000cm³ なので 7,200,000cm³。有効数字1桁で 7×10⁶ cm³。

イ：献血した血液の重さ：2デシリットル=200cm³、密度1.060g/cm³ より 212g=0.212kg。
有効数字1桁で 0.2kg（＝2×10⁻¹ kg）。

ウ：組織血流量：500gの組織に3秒で0.05デシリットル（＝5mL）流入。
1分間（60秒＝3秒の20倍）なら 5×20=100mL が500gに流入。
100gあたりに直すと 100÷5=20 mL/(100g·分)（＝2×10¹）。

エ：点滴の間隔：1時間20mL＝20cm³。60滴で1cm³なので 20×60=1200滴/時。
3600秒÷1200滴=3秒に1滴。

検算：各問とも、与えられた換算（1L=1000cm³、1dL=0.1L、1mL=10⁻³L）を明示的に適用して単位を追跡し、桁を再確認しました。

大問2　小問集合（10問）

オ：3点を通る2次関数：(−1,8), (1,6), (3,20) を y=ax²+bx+c に代入して連立すると
a=2, b=−1, c=5。よって y=2x²−x+5。

カ：和96・最大公約数24：a=24s, b=24t（s, t は互いに素）とおくと s+t=4。
互いに素で s≦t となるのは (1,3) のみ。よって (a,b)=(24, 72)。

キク：6¹⁷⁰ の桁数と最高位：log₁₀6=0.3010+0.4771=0.7781 より log₁₀6¹⁷⁰=132.277。
桁数は 132+1=133桁。
小数部0.277について 10^0.277≈1.89 なので、最高位の数字は 1。

ケ：分数列の第1000項：分母 2k−1 のブロックには k 個の分数（分子1〜k）が並びます。
累積項数は k(k+1)/2 なので、k=44 までで990項、k=45（分母89）のブロックは991〜1035項目。
1000項目はその10番目なので 10/89。

コ：複素数平面上の距離：|(3−i)−(−2+4i)|=|5−5i|=5√2。

サ：切り取る線分の長さ：x²+5x−3=2x+f より x²+3x−(3+f)=0。
2解の差は √(9+4(3+f))、線分の長さは傾き2を考慮して √5 倍。
√5·√(9+4(3+f))=5 を解いて f=−4。

シ：ランダムウォークの確率：硬貨8回で、2回目に原点に戻るのが8回目となる確率。
2⁸=256通りをすべて調べると条件を満たすのは20通り。よって 20/256=5/64。

ス：2変数関数の最小：f(x,y)=3x²−6xy+7y²+12x−14y+12。
偏微分＝0の停留点は (−7/4, 1/4) で、x≧0 の範囲外です。
そこで境界を調べると、x=0 のとき 7y²−14y+12 が y=1 で最小値 5（y=0 の境界では最小12）。

セソ：ベクトルの条件が表す図形：Aを原点、AB=b、AP=p とおいて条件式を整理すると
9|p|²−18p·b+8|b|²=0、すなわち |p−b|²=|b|²/9。
つまり 点Bを中心とする半径 AB/3 の円です。

タ：複素数の6乗：1+√3i=2e^(iπ/3)、√3+i=2e^(iπ/6) なので z=e^(iπ/6)。
よって z⁶=e^(iπ)=−1。

検算：カは1〜48を全数探索して該当が1組のみと確認。ケはブロックの累積項数を計算し直して位置を再確認。シは256通りすべてを列挙して20通りを確認。スは領域内を細かく格子探索して最小値5（(0,1)）を確認。セソは一般のベクトル成分で展開して円の式に帰着することを確認。

大問3　絶対値付き放物線と面積の最小化（記述式）

y=|x²−4x+1| と直線 y=f で囲まれる面積Sを考えます。

(1) 頂点：x²−4x+1=(x−2)²−3 なので、絶対値をとるとグラフは x=2±√3 で0に接し、その間が高さ3の「こぶ」になります。
よって頂点は (2, 3)。

(2) f=9 のときのS：|x²−4x+1|=9 の解は x=2±2√3（もう一方の x²−4x+1=−9 は実数解なし）。
この区間で ∫(9−|x²−4x+1|)dx を計算すると S=24√3（≈41.57）。

(3) Sが最小となるf：ここが本問の山場です。
0<f<3 では、直線が「こぶ」も横切るため、囲まれる領域は3つに分かれます（左右の2つと、こぶが直線の上に出る部分）。
u=x−2 と平行移動して計算すると、
S(f)=(8/3)(3−f)^(3/2)+(4/3)(3+f)^(3/2)−8√3。
微分すると S′(f)=−4√(3−f)+2√(3+f)。
S′(f)=0 より √(3+f)=2√(3−f)、すなわち 3+f=4(3−f) から f=9/5。
このとき最小値は S=16√30/5−8√3（≈3.671）。

検算：導いた S(f) の式を、f=0, 1, 9/5, 2, 3 について数値積分の結果と照合し、小数第6位まで完全一致することを確認。さらに f を0〜6まで細かく動かして数値的に最小を探し、f≈1.800・S≈3.6707 となることも確認しました。

大問4　楕円の接線（記述式）

楕円 x²+y²/2=1 と、x軸上の点 D(d, 0)（|d|>1）。

(1) 直線 l の式：y=m(x−d) を楕円に代入すると
(2+m²)x²−2m²dx+m²d²−2=0。
接する条件（判別式＝0）を整理すると m²(1−d²)=−2、すなわち m²=2/(d²−1)。
傾きが正のほうを選んで l: y=√(2/(d²−1))·(x−d)。

(2) 線分QRの長さ：原点を通る同じ傾きの直線 t: y=mx を楕円に代入すると x²=(d²−1)/d²。
1+m²=(d²+1)/(d²−1) を使うと
QR=2|x|√(1+m²)=2√(d²+1)/|d|。

(3) 三角形PQRの面積：接点Pのx座標は x_P=m²d/(2+m²)=1/d（きれいに求まります）。
Pから直線 t までの距離は |md|/√(1+m²)=|d|√2/√(d²+1)。
よって面積は
(1/2)×{2√(d²+1)/|d|}×{|d|√2/√(d²+1)}=√2。
つまり面積はdの値によらず常に√2という、美しい結論になります。

検算：d=1.5, 2, 3, −2.5, 5 の5通りについて、接点・Q・Rの座標を数値的に求め、接点が楕円上にあること（x²+y²/2=1.000000）と、三角形の面積がすべて1.414214（＝√2）になることを確認しました。QRの長さも公式と一致しています。

この年度の対策ポイント

大問1の単位換算は、産業医科大が「医療現場で使う数値感覚」を重視していることの表れです。数学というより理科・実務に近く、落とすと致命的なサービス問題なので、単位の変換を落ち着いて追う練習をしておきましょう。
大問3(3)は、「fが3より小さいと領域が3つに割れる」という場合分けに気づけるかどうかがすべてです。グラフを正確に描いてから積分に入る習慣が生きます。
大問4は、最後に d が消えて √2 という定数になります。答えが簡単になったときは計算が合っている強いサイン——この感覚を持てると、試験中の検算が速くなります。
数強塾では、こうした場合分けの精度と答えの妥当性チェックを一対一で指導しています。

※本解説は数強塾が独自に作成したものです。解答は複数の方法で検算していますが、文責は数強塾にあります。