不等式とは｜意味・計算方法｜数強塾 数学用語辞典

数強塾オリジナル 追加演習4題——「間」でも「外側」でもないとき

③と⑥のFAQ2は、二次不等式の答えを2つに整理しています。

\((x-\alpha)(x-\beta) \lt 0\)（\(\alpha \lt \beta\)）なら解は「間」の \(\alpha \lt x \lt \beta\)、\(\gt 0\) なら「外側」

これは \(\alpha\) と \(\beta\) が異なる2つの数として存在するときの話です。ところが二次式は、いつも異なる2つの数で因数分解できるとはかぎりません。重解のとき（\(D=0\)）と、因数分解できないとき（\(D \lt 0\)）が抜けています。

このとき答えは「間」でも「外側」でもなく、すべての実数／解なし／1点だけ／1点をのぞくすべてという、まったく別の顔になります。入試でも定期テストでも、間違いがいちばん集中するのがここです。前半2題でこれを埋め、後半2題では②の「負の数を掛けると逆転」と⑥のFAQ1「変数を含む式で割るのは避ける」を、実際の問題で使います。

追加第1問　同じ左辺で、不等号だけ変える

解答

左辺はどれも同じで、しかも2乗です。2乗はつねに \(0\) 以上——この一言で4つとも決まります。

同じ左辺なのに、答えが4通りとも違います。「間か外側か」を考える型を当てはめようとすると、この4つはどれも当てはまりません。\((x-2)^2 = (x-2)(x-2)\) で \(\alpha = \beta = 2\)、つまり「間」の幅が \(0\) になっている状態です。

検算

値を入れます。\(x=1\) で \((1-2)^2 = 1\)、\(x=2\) で \(0\)、\(x=3\) で \(1\)。\(0\) になるのは \(x=2\) の1点だけで、あとはすべて正です。○

この事実から4つを読み直すと、(1) は「正であればよい」＝\(2\) 以外、(2) は「\(0\) 以上であればよい」＝全部、(3) は「負であればよい」＝なし、(4) は「\(0\) 以下であればよい」＝\(0\) になる \(x=2\) だけ。○

2乗の形が出てきたら、まず「\(0\) 以上」を思い出す。因数分解の形に当てはめるより速く、確実です。

追加第2問　因数分解できない二次不等式

解答

左辺を因数分解しようとしても、かけて \(3\)・たして \(-2\) になる整数の組はありません。判別式を見ると

\[ D = (-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 3 = 4-12 = -8 \lt 0 \]

なので、実数の範囲では因数分解できません（なぜ判別式はb²-4acなのか）。ここで手が止まりますが、平方完成すれば一発です（なぜ平方完成すると頂点がわかるのか）。

\[ x^2-2x+3 = (x-1)^2+2 \]

\((x-1)^2 \geqq 0\) なので、この式はつねに \(2\) 以上。つまりどんな \(x\) を入れても正です。

(1) すべての実数　(2) 解なし

③は「まず左辺を因数分解し」と書いていますが、因数分解できないときの道が書かれていません。その場合は平方完成です。放物線が \(x\) 軸と交わらないのだから、\(x\) 軸より上か下のどちらか一方にずっといる——上に開いていれば（\(x^2\) の係数が正なら）ずっと上、つまりつねに正。

検算

いくつか入れてみます。\(x=0\) で \(3\)、\(x=1\) で \(2\)（これが最小）、\(x=3\) で \(9-6+3 = 6\)。一度も \(0\) 以下になりません。○

頂点が \((1,\ 2)\) で、\(y\) 座標の \(2\) が最小値。最小値が正なら、当然すべて正です。○　「最小値の符号を見る」——これが \(D \lt 0\) のときの読み方です。

追加第3問　\(x^2\) の係数が負のとき

解答

このままでは因数分解の形（間・外側）に当てはめにくいので、両辺に \(-1\) を掛けます。②の表のとおり、負の数を掛けるので不等号の向きを逆にします（なぜマイナス×マイナスはプラスになるのか）。

\[ -x^2+4x-3 \geqq 0 \ \Longrightarrow\ x^2-4x+3 \leqq 0 \]

ここまで来れば③の型です。因数分解して

\[ (x-1)(x-3) \leqq 0 \ \Longrightarrow\ 1 \leqq x \leqq 3 \]

②（負を掛けると逆転）と③（間・外側）は、記事の中で別々の節に書かれていて、組み合わせた例がありません。実際の二次不等式では、この2つを続けて使う場面がいちばん多く出ます。\(x^2\) の係数を必ず正にしてから、間・外側を判断する——手順としてこう決めてしまうのが安全です。

検算

\(x=2\)（範囲の中）：\(-4+8-3 = 1 \geqq 0\)。○　\(x=1\) と \(x=3\)（境界）：どちらも \(0\) で、等号があるので成立。○

\(x=0\)（範囲の外）：\(-3\) で不成立。○　\(x=4\)（外）：\(-16+16-3 = -3\) で不成立。○

もし向きを変え忘れると、\(x^2-4x+3 \geqq 0\) すなわち \(x \leqq 1\) または \(x \geqq 3\) という真逆の答えが出ます。\(x=0\) を入れれば \(-3\) で成り立たないので、その場で気づけます。範囲の外の点を1つ試す——これだけで向きのミスは全部落ちます。

追加第4問　⑥のFAQ1が「避ける」と書いた、その先

まず、割るとどうなるか

両辺を \(x\) で割ると \(x \gt 3\)。ところが \(x=-1\) を元の式に入れると、左辺 \(1\)、右辺 \(-3\) で \(1 \gt -3\)。成り立つのに答えに入っていません。

理由は2つあります。\(x\) が負なら不等号の向きが逆になるのに、そのまま割ってしまったこと。そして \(x=0\) ではそもそも割れないこと。⑥のFAQ1が「符号が不明な式で割るのは避け」と書いたのは、この2つを指しています。

正しい解き方（移項して因数分解）

\[ x^2-3x \gt 0 \ \Longrightarrow\ x(x-3) \gt 0 \]

\(x = 0\) と \(x = 3\) で \(0\) になり、不等号は \(\gt\) なので外側です。

\[ x \lt 0\ \ \text{または}\ \ x \gt 3 \]

別解（符号で場合分けする）

どうしても割りたい場合は、\(x\) の符号で3つに分けます。

・\(x \gt 0\)：割っても向きはそのままで \(x \gt 3\)。条件と合わせて \(x \gt 3\)。

・\(x \lt 0\)：割ると向きが逆になり \(x \lt 3\)。条件 \(x \lt 0\) と合わせて \(x \lt 0\) 全部。

・\(x = 0\)：元の式は \(0 \gt 0\) で不成立。

合わせて \(x \lt 0\) または \(x \gt 3\)。移項したときと同じ答えです。○

「避ける」の中身は、移項して因数分解するか、符号で場合分けするかの2つです。実際には移項のほうが速いので、不等式で文字が両辺にあったら、まず片側へ集めて \(0\) と比べると決めてしまってください。前回の二次方程式でも同じでした——\(=0\) や \(\gt 0\) の形にそろえてから解くのが、どちらにも共通する第一手です。

検算

4点で試します。\(x=-1\)：\(1 \gt -3\) ○（範囲内）　\(x=1\)：\(1 \gt 3\) ×（範囲外）　\(x=4\)：\(16 \gt 12\) ○（範囲内）　\(x=0\)：\(0 \gt 0\) ×（境界）

すべて答えと合っています。○　「外側」の答えが出たら、内側の点を1つ入れて不成立を確かめる——これで間・外側の取りちがえ（⑤の3番目）も同時に潰せます。

二次不等式の答えの型は、7つある

③とFAQ2が挙げた2つに、今回の5つを足すとこうなります。

上2行が記事に書いてあるもの、下5行が今回埋めたものです。まず判別式を見て、\(D \gt 0\) のときだけ「間・外側」を考える——この順にすると、答えの型を取りちがえません。

この4題で確認したこと

• 「間・外側」が使えるのは \(D \gt 0\) のときだけ。それ以外は別の型になる（追加第1問・第2問）。
• 2乗の形が出たら「\(0\) 以上」を思い出す。同じ左辺でも、不等号で答えが4通りに分かれる。
• 因数分解できないときは平方完成して最小値の符号を見る（追加第2問）。
• \(x^2\) の係数が負なら、先に \(-1\) を掛けて正にする。そのとき不等号は逆転（追加第3問）。
• 文字が両辺にあったら片側へ集めて \(0\) と比べる。変数で割らない（追加第4問）。
• 検算は範囲の内と外を1点ずつ。向きのミスも、間・外側の取りちがえも、これで落ちます。

手を動かすなら 1次不等式と絶対値の特訓道場｜条件を集合に直す20題と全解説、学習順の全体は 方程式・不等式 完全攻略ロードマップ、解の位置を条件で絞る発展は 解の配置の原理｜「D・軸・端点」は公式ではない へ。

道具の「なぜ」は、なぜ判別式はb²-4acなのか、なぜ平方完成すると頂点がわかるのか、なぜマイナス×マイナスはプラスになるのか、範囲を図で見る段階は なぜ領域は不等式で表せるのか にまとめてあります。

記事が案内している 絶対値（距離として範囲を考える次の段階）、一次方程式 に加えて、二次方程式とは（解と係数の関係の追加演習つき）も同じ範囲です。全体の地図は 数学辞書・学習マップ にあります。