因数分解とは｜定義・やり方・公式をわかりやすく解説【数学用語】｜数強塾 数学用語辞典

数強塾オリジナル 追加演習4題——「これ以上割れない」を、どうやって判定するか

④の3番目に、こう書きました。

途中で止める（因数分解し切らない）：\(x^4-1\) を \((x^2+1)(x^2-1)\) で終えず、\((x^2+1)(x+1)(x-1)\) まで分解します。まだ2乗の差が残っていないかを確認しましょう

正しい注意です。ただ、この例では \((x^2+1)\) を残したまま答えにしています。なぜ \(x^2-1\) は割るのに、\(x^2+1\) は割らなくてよいのか——「止めていい場所」の基準が書かれていません。

「これ以上割れないか」を最後に確認します、と④の1番目にもありますが、確認のしかたが1行も書かれていないのがこの記事の穴です。基準は2つあります。(1) どこまでの数を使ってよいか（範囲）、(2) 2次式が割れるかどうかの判定（判別式）。この4題で埋めます。

追加第1問　答えが「範囲」で変わる

解答

まず2乗の差とみて1回割ります。\(x^4 = \left(x^2\right)^2\)、\(4 = 2^2\) なので

\[ x^4-4 = \left(x^2+2\right)\left(x^2-2\right) \]

(1) 有理数に限るなら、ここで終わりです。\(x^2-2\) をさらに割るには \(\sqrt2\) が要りますが、\(\sqrt2\) は分数で書けません（なぜ√2は分数で表せないのか）。

(2) 無理数を使ってよいなら、\(x^2-2 = \left(x+\sqrt2\right)\left(x-\sqrt2\right)\) と割れます。

\[ x^4-4 = \left(x^2+2\right)\left(x+\sqrt2\right)\left(x-\sqrt2\right) \]

\(x^2+2\) のほうは、どちらの範囲でも割れません。どんな実数 \(x\) を入れても \(x^2+2 \ge 2 \gt 0\) で、\(0\) になることがないからです。

④が挙げた \(x^4-1\) と、この \(x^4-4\) を並べてください。\(x^4-1 = \left(x^2+1\right)(x+1)(x-1)\) は範囲を広げても答えが変わりません（\(x^2+1\) は実数の範囲では割れない）。ところが \(x^4-4\) は範囲で答えが変わります。「まだ2乗の差が残っていないか」だけでは、この2つを見分けられません。

検算

\(x = 1\) を入れます。もとの式は \(1-4 = -3\)。(1) の形は \((1+2)(1-2) = -3\)。○　(2) の形は \(3\left(1+\sqrt2\right)\left(1-\sqrt2\right) = 3(1-2) = -3\)。○

\(x = 2\) でも。もとは \(16-4 = 12\)、(1) は \((4+2)(4-2) = 12\)。○　数を1つ入れて一致を見るのが、因数分解のいちばん速い検算です。展開よりずっと速く、①が言う「展開して戻るか」の代わりになります。

追加第2問　たすきがけを探す前に、割れるかどうかを決める

解答

使うのは判別式 \(D = b^2-4ac\) です（なぜ判別式はb²-4acなのか）。判定は2段階になります。

・\(D \lt 0\) なら、実数の範囲でも割れません（\(0\) になる \(x\) が存在しない）。

・\(D \ge 0\) で、しかも \(D\) が平方数なら、\(\sqrt{D}\) が整数になるので有理数の範囲で割れます。平方数でなければ、実数の範囲でだけ割れます。

(1) \(D = 49+72 = 121 = 11^2\)。平方数なので有理数で割れます。\(\left(2x+3\right)\left(3x-1\right)\)（記事の例2）。

(2) \(D = 49-48 = 1 = 1^2\)。割れます。\(\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)\)。

(3) \(D = 49+96 = 145\)。\(12^2 = 144\)、\(13^2 = 169\) なので平方数ではありません。有理数の範囲では割れない——たすきがけをいくら探しても見つかりません。

(4) \(D = 49-120 = -71 \lt 0\)。実数の範囲でも割れません。

③の「たすきがけの組を探す」は、組が存在するときにしか終わりません。(3) と (4) を出されたら、探し続けるかぎり永久に見つからない。判別式1回（暗算で数十秒）で、探すべきかどうかが決まります。係数が大きくて組み合わせが多い問題ほど、先に \(D\) を見てください。

検算

(1) を展開：\(\left(2x+3\right)\left(3x-1\right) = 6x^2-2x+9x-3 = 6x^2+7x-3\)。○

(2) を展開：\(\left(2x+1\right)\left(3x+2\right) = 6x^2+4x+3x+2 = 6x^2+7x+2\)。○

(3) は実数の範囲なら割れます。解の公式から \(x = \dfrac{-7\pm\sqrt{145}}{12}\) で、\(\sqrt{145} \fallingdotseq 12.0416\) より \(x \fallingdotseq 0.4201,\ -1.5868\)。この2つが無理数であることが、有理数で割れない理由そのものです。○

(4) は \(x\) にどんな数を入れても正であることを確かめられます。\(x = 0\) で \(5\)、\(x = -1\) で \(6-7+5 = 4\)、\(x = -0.5\) で \(1.5-3.5+5 = 3\)。○　平方完成すると \(6\left(x+\dfrac{7}{12}\right)^2+\dfrac{71}{24}\) で、最小値が正です（なぜ平方完成すると頂点がわかるのか）。

追加第3問　\(x^2+1\) と \(x^2-2\) は、どこが違うのか

解答

(1) もし \(x^2+1 = (x+p)(x+q)\)（\(p,\ q\) は実数）と書けたとします。右辺を展開すると \(x^2+(p+q)x+pq\) なので、\(p+q = 0\)、\(pq = 1\)。前者から \(q = -p\) で、後者に入れると \(-p^2 = 1\)、つまり \(p^2 = -1\)。実数を2乗して負になることはないので、そんな \(p\) はありません。よって割れません。

もっと速いのは値を見ることです。\(x^2+1\) は \(x\) にどんな実数を入れても \(1\) 以上。\((x+p)(x+q)\) の形なら \(x = -p\) で \(0\) になるはずなので、\(0\) にならない式は1次式の積に書けません。

(2) \(x^2-2\) は \(x = \pm\sqrt2\) で \(0\) になります。だから \(\left(x+\sqrt2\right)\left(x-\sqrt2\right)\) と割れます。ところが \(\sqrt2\) は分数で表せない数なので、係数を有理数に限ると、この形は書けません。

表の2行目が、この記事に足りなかったところです。「割れない」には2種類あります——本当に割れない（\(D \lt 0\)）のと、使ってよい数の範囲が狭いから割れない（\(D\) が平方数でない）の2つ。中学までは前者しか出てきませんが、高校で \(\sqrt{\ }\) を使い始めると後者が現れます。

検算

(1) は値で。\(x = -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2\) を入れると \(5,\ 2,\ 1,\ 2,\ 5\)。一度も \(0\) になりません。○

(2) は展開で。\(\left(x+\sqrt2\right)\left(x-\sqrt2\right) = x^2-\left(\sqrt2\right)^2 = x^2-2\)。○　\(D = 0-4\cdot1\cdot(-2) = 8\) で、\(8\) は平方数ではありません（\(2^2 = 4\)、\(3^2 = 9\)）。○　追加第1問の \(x^4-4\) が範囲で答えを変えたのは、まさにこの \(x^2-2\) が入っていたからです。

追加第4問　「割り切った」ことを、どう確かめるか

解答

②の手順どおり、まず共通因数です。すべての項に \(3x\) がかかっています。

\[ 3x^3-12x^2+12x = 3x\left(x^2-4x+4\right) \]

中の \(x^2-4x+4\) は完全平方です（かけて \(4\)、たして \(-4\) は \(-2\) と \(-2\)）。

\[ = 3x(x-2)^2 \]

「これ以上割れない」の確かめ方

因子を並べると \(3\)、\(x\)、\((x-2)\)、\((x-2)\)。全部が1次以下です。1次式はそれ以上割れないので、ここで終わりです。

2次以上の因子が残っていたら、追加第2問・第3問の判別式で判定します。今回は残っていないので、判定するまでもありません。「1次式まで分解し切ったか」を見るのが、いちばん速い確認です。

検算

次数の和で確かめます。左辺は3次。右辺は \(x\) が1次、\((x-2)\) が1次、それが2つで合計 \(1+1+1 = 3\) 次。○　次数が合わないときは、割り忘れか割りすぎです。

値でも。\(x = 1\)：もとの式は \(3-12+12 = 3\)、答えの形は \(3\cdot1\cdot(-1)^2 = 3\)。○　\(x = 2\)：もとは \(24-48+24 = 0\)、答えの形も \(0\)。○　因数がわかっているときは、その因数を \(0\) にする値を入れると、両辺とも \(0\) になるはず——これがいちばん強い検算です。

よくある誤答　共通因数を \(3\) だけにして \(3\left(x^3-4x^2+4x\right)\) で止める（中にまだ \(x\) が共通しています。④の1番目です）／\(x^2-4x+4\) を \((x-2)(x+2)\) とする（それは \(x^2-4\) です。完全平方は符号がそろいます）。

この4題で確認したこと

• 「これ以上割れない」は、使ってよい数の範囲を決めないと言えない。同じ式でも範囲で答えが変わる（追加第1問）。
• 2次式が割れるかどうかは判別式 \(D = b^2-4ac\) で決まる。\(D \lt 0\) なら実数でも割れない、\(D\) が平方数なら有理数で割れる（追加第2問）。
• だからたすきがけは、探す前に \(D\) を見る。組が存在しない問題を延々と探さずに済む。
• 「割れない」には2種類ある。本当に割れないのと、範囲が狭いから割れない（追加第3問）。
• 分解し切ったかは「因子が全部1次以下か」で見る。2次以上が残ったら判別式へ（追加第4問）。
• 検算は展開だけではありません。数を1つ入れる／次数の和を見る／因数を \(0\) にする値を入れる——どれも展開より速く済みます。

高校範囲の型へ進むなら、複2次式 ax⁴+bx²+c の因数分解（追加第1問の続きです）、最も次数の低い文字で整理する因数分解、2元2次6項式の因数分解、3変数の対称式・交代式の因数分解 へ。全体の地図は 数と式 完全攻略ロードマップ にあります。

道具の「なぜ」は、なぜ因数分解すると二次方程式が解けるのか、なぜ因数分解は「面積を辺の積に戻す」操作なのか、なぜ判別式はb²-4acなのか、なぜ√2は分数で表せないのか にまとめてあります。

関連する用語は 二次方程式とは、平方完成とは、絶対値とは。用語の一覧は 数学用語辞典 にあります。