内積とは｜定義・成分計算・なす角と垂直条件をわかりやすく解説【数学用語】
定義
内積とは、2つのベクトル から1つの数（スカラー）を作る計算で、なす角を として と定義されます。
成分で表すと、 のとき です。結果はベクトルではなく数になります。
① 内積の意味｜ベクトルどうしを掛けて「数」を作る
内積は、2つのベクトルの「向きの近さ」を数値化した量です。定義 を見ると、なす角 が小さい（向きが近い）ほど が大きく、内積も大きくなります。逆に、 が鈍角のときは なので内積は負になります。結果はベクトルではなく数（スカラー）である点が、内積の大きな特徴です。
② なす角の求め方と垂直条件
定義の式を について解くと、2つのベクトルのなす角を求める式が得られます。
とくに重要なのが垂直条件です。 が垂直（）のとき なので、内積は0になります。
「垂直かどうかは内積が0かどうかで判定できる」というこの性質は、図形の証明や座標の問題で頻繁に使います。
③ 具体例（検算つき）
例1： の内積となす角
まず成分から内積を計算します。
大きさは 、。よって
検算： なので は正しいです。定義 となり、成分計算の内積とも一致します。
例2（垂直条件）： が垂直になる
垂直条件は内積が0なので、成分で内積を作って0とおきます。
これを解くと 。
検算： のとき 。内積が0なので、たしかに2つのベクトルは垂直です。
④ よくある失敗
- 内積をベクトルだと思う：内積の結果は数（スカラー）です。向きをもたないので、矢印で表すものではありません。
- 成分の掛け方を間違える： です。 のように「たすきがけ」しないよう注意しましょう。
- 垂直条件を「成分の積が0」と誤る：垂直条件は内積（）が0であって、各成分の積が0という意味ではありません。
- 鈍角のとき符号を忘れる：なす角が鈍角なら で内積は負になります。負の内積が出ても計算ミスとは限りません。
⑤ よくある質問（FAQ）
Q. 内積の結果はベクトルですか、数ですか？
数（スカラー）です。内積 は大きさと角度から計算される1つの数で、向きをもちません。ベクトルどうしの計算ですが結果はベクトルにならない、という点が内積の特徴です。
Q. なす角はどうやって求めますか？
定義を変形した を使います。成分から内積 と大きさ などを計算して代入し、 の値からなす角 を求めます。
Q. 2つのベクトルが垂直かどうかは、どう調べますか？
内積が0かどうかで調べます。 すなわち が成り立てば垂直です。 のとき となることが、この判定の根拠になっています。
監修・執筆：藤原進之介（オンライン数学専門塾 数強塾）
