二次方程式とは｜定義・解の公式・判別式をわかりやすく解説【数学用語】
定義
二次方程式とは、移項して整理すると （ただし ）の形になる方程式のことです。文字 についての最も高い次数が2であることが特徴です。
たとえば や はいずれも二次方程式です。 が条件で、 だと一次方程式になってしまいます。
① 二次方程式の意味｜「解＝グラフとx軸の交点」
二次方程式 の解とは、その式を成り立たせる の値のことです。二次関数 のグラフ（放物線）を思い浮かべると、 すなわちグラフが 軸と交わる点の 座標が解にあたります。
放物線と 軸の交わり方は「2点で交わる」「1点で接する」「交わらない」の3通りがあり、これが後で出てくる解の個数にそのまま対応します。二次方程式は、代数（式）と幾何（グラフ）の両面から見られるのが大切なポイントです。
② 解き方｜因数分解・解の公式
二次方程式の解き方は、大きく2つあります。まず試すのは因数分解です。左辺を積の形にできれば、「かけて0なら、どちらかが0」という性質で解けます。
因数分解しにくいときは、どんな二次方程式にも使える解の公式を用います。
この公式は、 を平方完成して導かれます。まず因数分解を試し、だめなら解の公式、という順で考えると効率的です。
③ 判別式｜解の個数を調べる
解の公式のルートの中身 を判別式といい、 で表します。この符号だけで、実際に解かなくても実数解の個数がわかります。
| 判別式 |
実数解の個数 |
グラフとx軸 |
|
異なる2つ |
2点で交わる |
|
1つ（重解） |
1点で接する |
|
なし（実数解） |
交わらない |
「まず を計算して見通しを立てる」ようにすると、計算ミスにも早く気づけます。
④ 具体例（検算つき）
例1： を解く
かけて ・たして になる2数は と なので、因数分解できます。
よって または 。
検算：、。どちらも成り立つので、答えは 。
例2： を解く
因数分解しにくいので解の公式を使います。 を代入します。
検算：2解の和は で に一致。積は で に一致するので正しいと確認できます。
⑤ よくある失敗
- の形にせずに解こうとする：解の公式や因数分解は、右辺を にそろえてから使います。 はまず に直しましょう。
- 解の公式の分母を と書く：正しくは です。 の を落とすミスが定番です。
- 判別式の符号ミス： が負のとき は正になります。符号を1つずつ確認しましょう。
- 両辺を で割る： を で割ると解 が消えます。移項して とし、 を両方求めます。
⑥ よくある質問（FAQ）
Q. 因数分解と解の公式は、どちらを使えばよいですか？
まず因数分解を試すのがおすすめです。整数の範囲で「かけて ・たして 」になる2数がすぐ見つかるなら、因数分解のほうが速く正確です。見つからないときや係数が複雑なときは、どんな二次方程式にも使える解の公式に切り替えます。迷ったら、少し試して見つからなければ公式、と決めておくとよいでしょう。
Q. 判別式は何のためにあるのですか？
実際に解かなくても、実数解の個数を調べるためです。 の符号だけで、解が2つ（）・1つの重解（）・実数解なし（）が判定できます。とくに「解が2つ持つように定数の範囲を求めよ」といった問題では、判別式を使うと見通しよく解けます。
Q. 重解とは何ですか？
のときの、ただ1つの解のことです。このとき
