等差数列とは｜定義・一般項・和の公式をわかりやすく解説【数学用語】
定義
等差数列とは、隣り合う項の差がつねに一定である数列のことです。その一定の差を公差といい、\(d\) で表します。
たとえば \( 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \dots \) は、どの項も前の項に \(4\) を足したもので、公差 \( d=4 \) の等差数列です。
① 等差数列の意味｜「同じ数ずつ増える（減る）」
等差数列は、初めの数（初項 \(a_1\)）から、毎回同じ数 \(d\) ずつ変化していく数列です。\(d>0\) なら増えていき、\(d<0\) なら減っていきます。
差が一定であることは、次のように言い換えられます。第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、隣どうしの差がつねに \(d\) になります。
\[ a_{n+1}-a_n=d \quad (\text{一定}) \]
「増える・減る」ではなく「一定の差で変化する」と捉えるのが正確です。負の公差なら減っていく数列も、りっぱな等差数列です。
② 一般項の公式
第 \(n\) 項 \(a_n\) を \(n\) の式で表したものを一般項といいます。初項 \(a_1\) から \(d\) を \((n-1)\) 回足すので、次の式になります。
\[ a_n=a_1+(n-1)d \]
足す回数が \(n\) 回ではなく \(\boldsymbol{(n-1)}\) 回である点がポイントです。第1項の時点ではまだ1回も足していないため、\(n\) から1を引きます。
③ 和の公式
初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) は、次の2つの形で表せます。どちらも同じもので、状況に応じて使い分けます。
\[ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2} \]
\[ S_n=\frac{n\{\,2a_1+(n-1)d\,\}}{2} \]
1つ目は「（初項＋末項）× 項数 ÷ 2」で、初項と末項がわかっているときに便利です。末項 \(a_n\) が与えられていないときは、一般項を代入した2つ目の式を使います。
④ 具体例（検算つき）
例1：\( 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \dots \) の第10項を求める
初項 \( a_1=3 \)、公差 \( d=4 \) を一般項の公式に代入します。
\[ a_{10}=3+(10-1)\cdot 4=3+36=39 \]
検算：\( 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39 \) と実際に4ずつ書き並べると、10番目はちょうど \(39\)。答えは \(39\)。
例2：同じ数列で、初項から第10項までの和を求める
初項 \(3\)、末項 \( a_{10}=39 \)、項数 \(10\) を「（初項＋末項）× 項数 ÷ 2」に当てはめます。
\[ S_{10}=\frac{10\,(3+39)}{2}=\frac{10\cdot 42}{2}=210 \]
検算：もう一つの公式で \( S_{10}=\dfrac{10\{2\cdot3+(10-1)\cdot4\}}{2}=\dfrac{10(6+36)}{2}=210 \)。2通りで一致するので答えは \(210\)。
⑤ よくある失敗
- 一般項で \((n-1)\) を \(n\) にしてしまう：正しくは \( a_n=a_1+(n-1)d \)。第1項では足す回数が0回である点を思い出しましょう。
- 公差の符号を取り違える：\( 10,\ 7,\ 4,\ \dots \) のように減る数列は \( d=-3 \) です。「後の項－前の項」で公差を求めます。
- 和の公式で項数を間違える：第 \(m\) 項から第 \(n\) 項までの項数は \( n-m+1 \) 個です。単純に \(n-m\) としないよう注意します。
- 末項が不明なのに1つ目の公式を使う：末項 \(a_n\) がわからないときは、\( 2a_1+(n-1)d \) を使う2つ目の公式に切り替えます。
⑥ よくある質問（FAQ）
Q. 等差数列と等比数列はどう違いますか？
等差数列は隣り合う項の「差」が一定（毎回同じ数を足す）、等比数列は隣り合う項の「比」が一定（毎回同じ数を掛ける）数列です。たとえば \( 3,7,11,\dots \) は4ずつ足す等差数列、\( 3,6,12,\dots \) は2倍ずつする等比数列です。差が一定か比が一定かで見分けます。
Q. 一般項がなぜ \((n-1)d\) なのですか？
初項からスタートして、第 \(n\) 項に達するまでに公差 \(d\) を足す回数が \((n-1)\) 回だからです。第1項ではまだ0回、第2項で1回、第3項で2回…と、足した回数は項番号より1つ少なくなります。そのため \( a_n=a_1+(n-1)d \) となります。ここを \(n\) 回と数えるミスがとても多いので注意しましょう。
Q. 和の公式は2つとも覚える必要がありますか？
1つを覚えれば十分ですが、使い分けられると速くなります。末項 \(a_n\) がわかっているなら \( S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2} \) が簡単で、末項が不明なら一般項を代入した \( S_n=\dfrac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2} \) を使います。実際には前者を覚えておき、末項がなければその場で一般項を代入して求める、という運用でも対応できます。
監修・執筆：藤原進之介（オンライン数学専門塾 数強塾）
数強塾オリジナル 追加演習4題——「初項から第10項まで」以外の問題
④の具体例2つは、どちらも \(3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \dots\) の初項から第10項までです。公式をそのまま当てはめれば終わります。
ところが⑤には、この2例では絶対に起きない失敗が2つ挙げてあります。
和の公式で項数を間違える：第 \(m\) 項から第 \(n\) 項までの項数は \(n-m+1\) 個です
途中から途中までの和が1問もないので、この注意を使う場面がありません。①に「\(d \lt 0\) なら減っていく」と書いてあるのに、減る数列の例もありません。この2つを4題で埋めます。
後半2題では、公差が負のときに「どこまで足すと和が最大になるか」を扱います。①の「\(d \lt 0\) なら減っていく」が、そのまま問題になる型です。
追加第1問 2つの項から、数列を決める
ある等差数列の第 \(5\) 項が \(20\)、第 \(12\) 項が \(55\) である。初項と公差を求め、一般項を書け。
解答
②の公式に当てはめます。ここで \(a_5\) は \(a_1\) に \(d\) を \(4\) 回足したもの——⑤の1番目のとおり、\(5\) 回ではありません。
\[ a_5 = a_1+4d = 20,\qquad a_{12} = a_1+11d = 55 \]
下から上を引くと \(a_1\) が消えます。
\[ 7d = 35 \ \Longrightarrow\ d = 5,\qquad a_1 = 20-4 \times 5 = 0 \]
\[ a_n = 0+(n-1) \times 5 = 5(n-1) \]
引き算で \(a_1\) を消すのが定石です。ここでも回数がポイントで、第5項と第12項のあいだで \(d\) を足す回数は \(12-5 = 7\) 回。項番号の差がそのまま回数になります。
検算
\(a_5 = 5 \times 4 = 20\)。○ \(a_{12} = 5 \times 11 = 55\)。○ 与えられた2つとも合いました。
初項が \(0\) なのは正しいのか——不安なら書き出します。\(0,\ 5,\ 10,\ 15,\ 20,\ \dots\) で、5番目がたしかに \(20\)。○ 初項が \(0\) や負でも、等差数列としては何も問題ありません。
追加第2問 途中から途中までの和
追加第1問の数列について、第 \(5\) 項から第 \(20\) 項までの和を求めよ。
解答
まず項数です。⑤の3番目のとおり \(n-m+1\) 個。
\[ 20-5+1 = 16\ \text{個} \]
両端は \(a_5 = 20\)、\(a_{20} = 5 \times 19 = 95\)。③の1つ目の公式に入れます。
\[ S = \frac{16\,(20+95)}{2} = \frac{16 \times 115}{2} = 920 \]
項数を \(20-5 = 15\) と数えると \(\dfrac{15 \times 115}{2} = 862.5\) となり、整数ですらなくなります。項がすべて整数なのに和が小数になったら、その時点でおかしい——項数の数え違いは、答えの形で気づけることがあります。
検算
別の道でも出します。第20項までの和から、第4項までの和を引く方法です。
\[ S_{20} = \frac{20\,(0+95)}{2} = 950,\qquad S_4 = \frac{4\,(0+15)}{2} = 30 \]
\[ 950-30 = 920 \]
一致しました。○ この検算では \(S_4\) を引く点に注意してください。第5項から足すのだから、引くのは第4項までです。ここでも \(1\) つずれます。
「途中から」の和は、必ずこの2通りで出して突き合わせる。項数の \(+1\) と、引く側の \(-1\) は、どちらも同じ「境目の1つ」から来ています。
追加第3問 減る数列は、どこまで足すと最大か
初項 \(100\)、公差 \(-7\) の等差数列がある。
(1) 第何項から負になるか。
(2) 初項から第何項までの和が最大になるか。またその最大値を求めよ。
解答
(1) ②の公式で一般項を作ります。⑤の2番目のとおり、公差が負でもそのまま代入します。
\[ a_n = 100+(n-1)(-7) = 107-7n \]
負になるのは \(107-7n \lt 0\)、つまり \(n \gt \dfrac{107}{7} = 15.28\dots\)。\(n\) は整数なので第 \(16\) 項から負です。
(2) 和が最大になるのは、正の項を全部足し終えたところです。負の項を足せば減るだけ、\(0\) の項があれば足しても変わりません。第 \(15\) 項までが正なので
\[ a_{15} = 107-105 = 2,\qquad S_{15} = \frac{15\,(100+2)}{2} = \frac{15 \times 102}{2} = 765 \]
「和が最大」を難しい問題だと思う人が多いのですが、やることは「正の項はどこまでか」を調べるだけです。①に書いた「\(d \lt 0\) なら減っていく」を、そのまま最後まで使い切ればよい。不等式 \(a_n \gt 0\) を解く——これが答えの本体です。
検算
境目の前後を並べます。
| 項数 | その項 | 和 | |
|---|---|---|---|
| \(n=14\) | \(a_{14}=9\) | \(S_{14}=763\) | まだ足せる（次の項が正） |
| \(n=15\) | \(a_{15}=2\) | \(S_{15}=765\) | ここが最大 |
| \(n=16\) | \(a_{16}=-5\) | \(S_{16}=760\) | 足すと減る |
\(765\) の前後が \(763\) と \(760\) で、たしかに \(n=15\) が頂点。○ 最大を主張したら、必ず1つ前と1つ後を計算して挟んでください。これで「\(16\) 項までだった」「\(14\) 項までだった」という取りちがえが消えます。
\(a_{15} = 2 \gt 0\)、\(a_{16} = -5 \lt 0\) も確認済み。○
追加第4問 和は \(n\) の2次式である
追加第3問の数列について、\(S_n\) を \(n\) の式で表せ。
またそれを平方完成して、和が最大になる項数を別の方法で求めよ。
解答
③の2つ目の公式（末項を使わないほう）に \(a_1 = 100\)、\(d = -7\) を入れます。
\[ S_n = \frac{n\bigl\{2 \times 100+(n-1)(-7)\bigr\}}{2} = \frac{n\,(207-7n)}{2} = -\frac72 n^2+\frac{207}{2}n \]
\(n\) の2次式になりました。\(n^2\) の係数が負なので上に凸、つまり頂点で最大です（なぜ平方完成すると頂点がわかるのか）。
\[ S_n = -\frac72\left(n-\frac{207}{14}\right)^2+\frac72\left(\frac{207}{14}\right)^2 \]
頂点は \(n = \dfrac{207}{14} = 14.79\dots\)。ところが\(n\) は整数しかとれません。\(14.79\) にいちばん近い整数は \(15\) なので、\(n=15\) で最大。
\[ S_{15} = \frac{15 \times (207-105)}{2} = \frac{15 \times 102}{2} = 765 \]
追加第3問と同じ答えです。○
ここは定義域が整数であることを忘れないのがポイントです（なぜ定義域があるときは頂点だけ見てはいけないのか）。放物線の頂点は \(14.79\) ですが、そんな項番号は存在しません。近いほうの整数を選び、必ず両隣と比べる——追加第3問の表がそのまま検算になります。
検算
式に数を入れて確かめます。\(S_{14} = \dfrac{14 \times (207-98)}{2} = \dfrac{14 \times 109}{2} = 763\)。追加第3問の表と一致。○
\(S_{16} = \dfrac{16 \times (207-112)}{2} = \dfrac{16 \times 95}{2} = 760\)。これも一致。○
頂点の値は \(\dfrac72\left(\dfrac{207}{14}\right)^2 \fallingdotseq 765.16\) で、実際の最大 \(765\) よりわずかに大きい。整数に丸めたぶん、頂点の値には届かない——これも答えの妥当さの確認になります。○
この4題で確認したこと
- 第 \(m\) 項は \(a_1\) に \(d\) を \(m-1\) 回足したもの。2項が与えられたら引いて \(a_1\) を消す（追加第1問）。
- 第 \(m\) 項から第 \(n\) 項までの項数は \(n-m+1\)。⑤の3番目の唯一の使いどころ（追加第2問）。
- 途中からの和は \(S_n – S_{m-1}\) でも出る。2通りで突き合わせる。
- 公差が負なら、和が最大になるのは正の項を足し終えたところ。\(a_n \gt 0\) を解くだけ（追加第3問）。
- \(S_n\) は \(n\) の2次式。平方完成でも最大が出るが、\(n\) は整数なので頂点をそのまま答えにしない（追加第4問）。
- 最大を主張したら、1つ前と1つ後を計算して挟む。
単元としての続きは 数列とは｜等差・等比・Σ・漸化式の解き方10問（和 \(S_n\) から一般項へ戻る追加演習つき）、手を動かすなら 数列（基本）の特訓道場｜等差・等比・Σ・階差・漸化式の20題、型で見渡すなら 数列・漸化式の解法パターン全16型 と 数列の和の解法パターン全12型 へ。
道具の「なぜ」は、なぜ等差数列の一般項はa+(n-1)dなのか、なぜ等差数列の和は「最初と最後の平均×個数」なのか、なぜ階差を取ると数列の次数が1つ下がるのか、なぜ数列の和は「離散的な積分」と言えるのか、等比との違いは なぜ等比数列には指数関数が現れるのか にまとめてあります。
要点辞典この単元の公式・定石・つまずきやすい所は 数学II・B・Cの要点辞典：数列 にまとめてあります。
