散らばり（分散・標準偏差・四分位）──なぜ偏差を2乗し、なぜ√を取るのか【情報Ⅰ 最強120講義 第84講】

こんにちは、数強塾代表の藤原進之介です。この記事は参考書『藤原進之介の最強120講義』の第84講「散らばり（分散・標準偏差・四分位）」のWeb版です。共通テスト「情報Ⅰ」での重要度はS、情報Ⅱでの接続先は(3)情報とデータサイエンスです。分散の公式を丸暗記した状態で共通テストに行くと、必ず足を取られます。この講ではなぜ偏差を2乗するのか、なぜ最後に√を取るのかを原理から説明し、それが情報Ⅱの主成分分析にそのまま使われるところまでお見せします。

1. この講の問い

平均が同じ2つの集団を「違う」と言うために、なぜ偏差をそのまま足さずに、わざわざ2乗してから平均し、最後に√を取るのか。

2. 結論

3. なぜそうなるのか

3-0. まずこの講の立ち位置を確認する

いきなり驚くことを書きます。「分散」も「標準偏差」も「四分位数」も、情報Ⅰの学習指導要領解説には一度も出てきません。

私は文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 情報編」（平成30年7月）の全文を機械検索しました（2026年8月3日実施）。結果はこうです。

では情報Ⅰ(4)には何が書いてあるのか。書いてあるのは統計量の名前ではなく、接続の指示のほうです。

つまり国の設計はこうです。統計量の定義と計算は数学Ⅰが担当する。情報Ⅰが担当するのは、そのデータをどう集め、どう整え、どう可視化し、どう解釈するかのほう。

文部科学省「情報Ⅰ」教員研修用教材 第4章も、同じ切り分けを明示しています。

代表値は小学校、四分位と箱ひげ図は中学校、分散・標準偏差と外れ値は数学Ⅰ。 これが国の想定する積み上がり方です。この事実は受験生にとって朗報でもあり悪報でもあります。朗報は「情報Ⅰの試験で分散の定義そのものを難しく問う余地は小さい」こと。悪報は「定義は既習扱いなので、情報Ⅰ側では説明されないまま道具として使わされる」こと。代表値そのものについては第83講 代表値（平均・中央値・最頻値）にまとめてあります。

3-1. 偏差の和は必ず0になる（だから足しても無駄）

データを 、その平均を とします。各データの偏差は です。「散らばりが大きい＝偏差が大きい」のだから、偏差を全部足せばよさそうに思えます。やってみましょう。

どんなデータでも0になります。 途中で使ったのは だけで、これは平均の定義そのものです。だから偏差の和は散らばりの指標としてまったく役に立ちません。データが 5, 5, 5, 5 でも −1000, 1000, −1000, 1000 でも、答えは同じ0なのです。

この0は失敗ではなく、平均という点の性質です。 平均とは「偏差の和がちょうど0になる点」、つまり数直線上でのデータの重心（つり合いの点）です。シーソーの支点を重心に置いたらつり合うのと同じで、つり合っている以上、符号付きで足せば消えるに決まっています。

したがって散らばりを測るには、符号を消してから足すしかありません。方法は2つ。絶対値を取るか、2乗するかです。

3-2. なぜ絶対値ではなく2乗なのか

まず正直に書いておきます。絶対値でもよいのです。 実際、平均絶対偏差 は立派な散らばりの指標で、「平均から平均してどれだけ離れているか」という意味では分散より直感的ですらあります。「2乗するのは絶対値だと計算しにくいから」という説明をよく見かけますが、あれは正確ではありません。絶対値の計算自体は簡単です。本当の理由は3つあります。

この を最小にする は何でしょうか。 で微分します。

とすると 。 なので、これが最小です。

つまり平均とは「偏差の2乗和を最小にする点」なのです。2乗して測ると、その測り方が自動的に平均を選び出す。分散と平均は、たまたま同じ式に登場するのではなく、同じ最小化問題の答えと最小値という関係にあります。

ちなみに絶対値のほうで同じことをすると、 を最小にする は中央値になります。「平均とセットなのが標準偏差、中央値とセットなのが四分位範囲」という対応は、ここから来ています。代表値の選び方と散らばりの選び方が独立でないのは、こういう理由です。

3-3. 分散の定義と、なぜ√を取るのか

以上から、分散を次のように定めます。

これで散らばりは測れました。しかし困ったことが起きます。単位が2乗になっている。

テストの点数（点）のデータなら、分散の単位は「点²」です。身長（cm）なら「cm²」。面積でもないのに cm² と言われても、元の身長と比べようがありません。「平均170cm、分散36cm²」と言われて、170 と 36 を並べる意味がない。そこで√を取ります。

これが標準偏差です。単位は cm に戻ります。「平均170cm、標準偏差6cm」なら、170 と 6 が同じ土俵に乗る。「だいたい164cmから176cmあたりに多くの人がいる」と、元のデータと同じ言葉で言えます。

標準偏差とは、分散を「元のデータと同じ単位に翻訳し直したもの」です。 分散が理論用（微分しやすい）、標準偏差が読解用（意味が分かる）、という役割分担だと思ってください。だから共通テストで標準偏差が出てきたら、それはものさしの目盛りとして出ています。この読み方が正しいことは、大学入試センター自身の文書で確認できます（第5節）。

3-4. 別公式「2乗の平均 − 平均の2乗」はなぜ成り立つか

分散にはもう1つの表し方があります。言葉にすると「2乗の平均から、平均の2乗を引く」。導出は展開するだけです。

ここで なので、

ポイントは真ん中の項が になり、最後の と合わさって が残ることだけ。 覚える式ではなく、その場で3行で出せる式です。

実務上の意味も大きい。定義通りに計算すると「①平均を出す→②全データの偏差を出す→③2乗して足す」とデータを2周しなければなりません。別公式なら と を同時に足していけるので1周で済む。表計算やプログラムで大量データを扱うとき、この差は効きます。なお なので、この式から が常に成り立つことも分かります。等号はすべてのデータが等しいときだけです。

3-5. データを ax + b に変換すると散らばりはどう動くか

全データに同じ定数を足す、あるいは同じ定数を掛ける。共通テストの頻出パターンなので、暗記ではなく導出しておきます。新しいデータを とすると、平均は 。偏差はどうなるでしょうか。

が消えました。 これがすべてです。定数を足してもデータ全体が数直線上を平行移動するだけで、データ同士の相対的な位置関係は1ミリも変わらない。散らばりは「相対的な位置関係」の話なので、足し算では動かないのです。一方 は残っているので、、 となります。

標準偏差に絶対値が付くのを落とさないこと。（符号を反転）しても散らばりは同じで、標準偏差が負になることはありません。そしてこの表を逆向きに使うと、次の変換が出てきます。

この は平均0、標準偏差1になります。これが標準化（基準化）であり、 をz得点といいます。10倍して50を足せば偏差値（平均50・標準偏差10）です。この変換が第6節（情報Ⅱ）の主役になります。

3-6. 四分位数──「値」ではなく「順位」で測る

分散・標準偏差は各データの値そのものを使います。だから1つでもとんでもない値が混ざると、その1個に引きずられる。2乗しているぶん、引きずられ方はむしろ増幅されます。そこで、値ではなく順位だけを見る測り方があります。

そして四分位範囲（IQR）を で定めます。これは「真ん中の50％がどれだけの幅に収まっているか」です。

なぜ外れ値に強いのか。 と は「下から25％の位置にいる人の値」「75％の位置にいる人の値」でしかありません。最大値が100だろうと10000だろうと、その人が一番上にいるという順位が変わらない限り、 も も動かない。値の大きさを見ていないのだから、値が暴れても平気なのです。

この性質があるので、外れ値の判定そのものに四分位範囲が使われます。教員研修用教材は箱ひげ図の作図規則としてこう書いています。

つまり から の外側が外れ値です。外れ値に強い指標を使って、外れ値を見つける。 ここは順序が大事で、標準偏差で外れ値を判定しようとすると、外れ値自身が標準偏差を膨らませて自分を隠してしまいます。

3-7. 分母は n か n−1 か

高校で「分散＝偏差の2乗の平均」と習うので分母は n です。ところが表計算ソフトにもプログラミング言語にも、分母が n−1 のものが並んでいます。混乱するところなので整理しておきます。

• 手元のデータそれ自体の散らばりを述べたい → 分母 n（母分散）
• 手元のデータをより大きな集団からの標本とみなし、その大きな集団の散らばりを推定したい → 分母 n−1（不偏分散）

情報Ⅰ・数学Ⅰの範囲は前者、分母 n です。実際、教員研修用教材の演習で指定されている関数は VAR.P と STDEV.P、末尾の P は population（母集団）。VAR.S / STDEV.S（sample）ではありません。教材が明示的に分母 n 側を選んでいることは押さえる価値があります。Python の statistics モジュールも同じ区別を持っていて、pvariance / pstdev が分母 n、variance / stdev が分母 n−1 です。先頭の p の有無で答えが変わります。

4. 手で確かめる

以下の数値はすべて、私の手元で Python の fractions.Fraction（分数のまま計算して誤差を出さない）と statistics の両方で独立に検算したものです（2026年8月3日実施）。

4-1. 8個のデータで、定義通りに計算する

データは 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 の8個。まず平均は 2+4+4+4+5+5+7+9 = 40 なので、40 ÷ 8 = 5 です。

偏差の合計が0になっています。3-1の主張がそのまま目に見えました。よって分散は 、標準偏差は です。

4-2. 別公式でも同じになるか

2乗の平均は (4+16+16+16+25+25+49+81) ÷ 8 = 232 ÷ 8 = 29。平均の2乗は 。よって 29 − 25 = 4。一致しました。 平均を1回も引かずに分散が出ています。

参考までに平均絶対偏差も出しておきます。(3+1+1+1+0+0+2+4) ÷ 8 = 12 ÷ 8 = 1.5。標準偏差2とは違う値になります。同じデータでも「散らばり」の測り方が違えば違う数が出るのは当然で、どちらかが間違いなのではありません。

4-3. データを変換する実験

全データに10を足すと 12, 14, 14, 14, 15, 15, 17, 19。全データを3倍すると 6, 12, 12, 12, 15, 15, 21, 27。

10を足しても標準偏差が動かないこと、3倍で分散が 倍・標準偏差が3倍になること。3-5の表がそのまま出ました。面白いのは、10を足した場合と3倍した場合で平均がどちらも15になっていることです。 平均だけ見ていたら2つは区別できない。散らばりを見て初めて別物だと分かる。この講の存在意義がここに凝縮されています。

4-4. 外れ値を1個入れる実験（この講の山場）

元データの最大値9を100に置き換えます。個数は8個のままです（2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 100）。

1個の値を変えただけで標準偏差は約16倍になり、四分位範囲は1ミリも動きません。 3-6の「順位しか見ていないから強い」が、数字で見えたと思います。ついでに外れ値の判定もしてみましょう。Q₃ + 1.5 × IQR = 6 + 1.5 × 2 = 9。100はこれを大きく超えるので、教員研修用教材の規則では外れ値として点で打たれます。ちなみに元データの9はちょうど境界上で、外れ値にはなりません。

4-5. 高校流の四分位数と表計算の答えが食い違う

四分位数には流儀がいくつかあります。高校（数学Ⅰ）で習うのは「中央値でデータを2つに分け、下半分の中央値を Q1、上半分の中央値を Q3 とする」という決め方です。2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 なら、下半分 2, 4, 4, 4 の中央値が 、上半分 5, 5, 7, 9 の中央値が 。

ところが Excel の QUARTILE.INC は線形補間で求めるので、同じデータで を返します。Python の statistics.quantiles の inclusive も同じ 5.5 でした（実行して確認しました）。

これは片方が間違いなのではなく、定義が違うのです。 教員研修用教材の演習が QUARTILE.INC を指定している以上、表計算で出した値と手計算の値が合わないことは起こりえます。試験では問題文の定義に従ってください。手元で表計算を使って検算するとき、この食い違いを知らないと「自分の計算が間違っている」と誤解して時間を溶かします。

4-6. Python で検算する（p の有無に注意）

以下は実際に実行して出力を確認したコードです。

import statistics
D = [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]
print(statistics.mean(D))
# 5
print(statistics.pvariance(D))
# 4                     ← 分母 n（母分散）
print(statistics.pstdev(D))
# 2.0                   ← 分母 n（母標準偏差）
print(statistics.variance(D))
# 4.571428571428571     ← 分母 n-1（不偏分散）
print(round(statistics.stdev(D), 6))
# 2.13809               ← 分母 n-1

pvariance は 4、variance は約 4.571。 同じデータで違う数が出ます。3-7で書いたとおり、情報Ⅰ・数学Ⅰの「分散」は前者（p が付くほう）です。別公式と四分位も確認しておきましょう。

D = [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]
n = len(D)
m  = sum(D) / n
m2 = sum(x * x for x in D) / n
print(m2 - m * m)
# 4.0    ← 2乗の平均 - 平均の2乗
print(statistics.quantiles(D, n=4, method='inclusive'))
# [4.0, 4.5, 5.5]
print(statistics.quantiles(D, n=4, method='exclusive'))
# [4.0, 4.5, 6.5]

inclusive と exclusive でまた違います。 四分位数は「定義を確認してから使う」ものだと、体で覚えておいてください。

4-7. 標準化してみる

3-5で出した を元データに当てはめます。平均5、標準偏差2です。

z の平均は0、標準偏差は1になります（Python でも確認済み）。単位が消えていることに注目してください。 元が点でも cm でも円でも、z には単位がありません。 は「平均から標準偏差2個ぶん上」という意味で、何のデータでも同じ言葉で語れます。この「単位が消える」性質が、第6節で情報Ⅱの主成分分析につながります。

4-8. 国の教材の数値を検算する（実データ）

文部科学省「情報Ⅰ」教員研修用教材 第4章の演習1は、気象庁のサイトから熊谷の2017年・2018年の7月1日〜8月31日の日最高気温をダウンロードして統計量を比較させます。教材に載っている結果はこうです（単位は℃）。

文部科学省「高等学校情報科『情報Ⅰ』教員研修用教材」第4章（令和2年、該当箇所はp.185相当）

私はここで手を止めて検算しました。、。四捨五入して 3.6 と 4.0。教材の分散と標準偏差は整合しています。

読み方も書いておきます。中央値も四分位数も平均値も、すべて2018年のほうが高い。だから「2018年の熊谷は全般に暑かった」と言えます。ここで大事なのは、「最高気温41.1℃を記録した」という1個の値だけでは、全般に暑かったとは言えないということです。1個の記録は外れ値かもしれない。分布全体がずれていることを示すには、中心（平均・中央値）と散らばり（標準偏差・四分位）の両方を見るしかありません。この講のテーマそのものが、国の教材の演習の設計思想になっています。 なお標準偏差は 3.6 → 4.0 とわずかに増えています。中心が上がったうえに、日々のばらつきもやや大きくなったということです。平均だけ見ていたら落とす情報です。

4-9. 標準偏差は行政の標準装備である

散らばりは学者の道具ではありません。国の統計もセットで公表しています。文部科学省「令和6年度学校保健統計（学校保健統計調査の結果）確定値」（令和7年2月12日公表）では、身長・体重の平均値と標準偏差が年齢別に公表されています（詳細表は e-Stat 掲載）。17歳の平均身長は男子170.8cm・女子158.0cm、平均体重は男子62.2kg・女子52.5kgです。

この調査は全数調査ではなく抽出調査で、発育状態（身長・体重）の抽出率は全幼児・児童・生徒の5.2％（649,142人）と明記されています。ここで3-7の話が生きます。約65万人は「標本」であり、知りたいのは日本の全高校生（母集団）の姿です。 分母を n にするか n−1 にするかという問いは、こういう場面で実際に意味を持ちます。情報Ⅰでは n でよいのですが、「なぜそんな区別があるのか」の答えは、この5.2％という数字の中にあります。

5. 共通テストではこう出る（重要度 S）

5-1. 一次資料で確認できること

大学入試センターが公表した「令和7年度大学入学共通テスト 試作問題『情報』の概要」（2022年11月9日公表）には、『情報Ⅰ』第4問（配点25点）の各設問の概要が書かれています。題材は「国が実施した生活時間の実態に関する統計調査」で、スマートフォン・パソコンなどの使用時間と睡眠・学業の時間との関係を扱うものです。そして問5の説明がこうです。

「標準偏差を単位として」。 出題者自身がこう書いています。これが第84講で一番重要な一文だと私は思います。共通テストが求めているのは「偏差の2乗和を n で割れ」ではありません。標準偏差をものさしの目盛りとして使い、あるデータが中心からどれだけ外れているかを読むことです。3-5で導いた が、そのまま出題の骨格になっています。同資料によれば、第4問の問2・問3はどちらも箱ひげ図から分布の特徴を読み取る設問です。四分位が箱ひげ図の形で問われることも、一次資料で確認できます。

5-2. 出題の4つの型

5-3. 実際の出題の傾向

2026年1月実施の共通テスト「情報Ⅰ」第4問は「桜の開花日の予測」を題材に、気象庁のオープンデータを用いた出題だったと分析されています。オープンデータの定義、欠損値の判定、時系列グラフの解釈から始まり、相関係数、散布図と回帰直線、箱ひげ図の読み取り、残差へと進む構成です。情報Ⅰ全体の平均点は56.69点（前年69.26点）だったとされます。情報処理学会 学会誌「情報処理」note 掲載の分析記事（大橋真也、2026年2月27日）による。予備校・学会誌の分析は二次情報であり、当塾では共通テストの問題文・選択肢・図表は転載していません。

構図に注目してください。 試作問題も2026年度も、データの分析は「箱ひげ図で分布を見る → 散布図で関係を見る → 回帰直線を引く → 残差を標準偏差で測る」という流れで組まれています。四分位（分布の形）と標準偏差（ものさし）は、それぞれ独立の知識ではなく、この一本のパイプラインの部品なのです。 学習計画の立て方は共通テスト「情報Ⅰ」対策はいつから何をやるべきか、実際に得点を伸ばした事例は36点から本番92点へ伸ばした指導実例にまとめてあります。

5-4. 落とし穴

• 標準偏差と分散を取り違える。 「分散が3倍」と「標準偏差が3倍」はまったく違います（分散3倍なら標準偏差は 倍）。単位を意識すれば防げます。
• 定数を足すと散らばりが変わると思い込む。 平行移動しているだけです。
• 定数倍で標準偏差に絶対値を付け忘れる。 −2倍でも標準偏差は2倍で、負にはなりません。
• 平均だけで2集団を比べる。 平均が同じでも中身がまったく違うことがあります（4-3）。
• 四分位数の流儀を確認しない。 高校流と表計算の答えが食い違うことがあります（4-5）。試験は問題文の定義に従います。
• 外れ値を標準偏差で探そうとする。 外れ値自身が標準偏差を膨らませます。判定には四分位範囲を使います。
• 分母 n と n−1 を混ぜる。 情報Ⅰ・数学Ⅰは n。表計算なら VAR.P / STDEV.P、Python なら pvariance / pstdev。
• 「散らばりが小さい＝良い」と決めつける。 良し悪しは目的が決めます。品質管理なら小さいほうがよいが、多様性を測る文脈なら大きいことに価値があります。

5-5. 練習用の自作問題（本記事オリジナル）

6. 情報Ⅱではこうなる

6-1. 情報Ⅰでは「読む数」、情報Ⅱでは「割る数」

情報Ⅰで標準偏差は、データの散らばり具合を読むための数です。情報Ⅱでは役割が変わります。割る数になるのです。文部科学省「情報Ⅱ」教員研修用教材 第3章 学習14「主成分分析による次元削減」に、こう書かれています。

「単位をそろえる必要がある」。 ここが情報Ⅰとの決定的な違いです。情報Ⅰで扱うのは1種類の変数（気温だけ、点数だけ）であることが多い。だから単位をそろえる必要が生じません。情報Ⅱでは、身長（cm）と体重（kg）と50m走のタイム（秒）を同時に扱います。このとき単位が違うまま計算すると、たまたま数字が大きい変数が結果を支配してしまいます。

だから割る。4-7でやった が、情報Ⅱでは分析の前処理として必須の手続きになります。 標準偏差で割ることで単位が消え、すべての変数が「平均からの標準偏差何個ぶん」という共通の言葉に翻訳される。これが標準化（基準化）であり、機械学習でいうスケーリングそのものです。さらに同じ教材は、標準化するかしないかで結果が変わることまで明記しています。

「分散の違いを無視する」ために標準化する。 情報Ⅰで一生懸命計算した分散が、情報Ⅱでは「意図的に消す対象」になる。同じ量が、目的によって主役にも消去対象にもなります。この転換が面白いところです。

6-2. 分散が「情報量」になる

もう一歩進みます。主成分分析とは何かについて、同じ教材はこう定義しています。

情報Ⅰでは「散らばり」はデータの性質を表す1つの指標にすぎません。情報Ⅱでは、散らばりの大きさそのものが「情報量」と定義され、最大化の目標になります。

理屈は分かりやすい。50人の生徒に何かの指標を与えて、全員が同じ値になったとします。その指標は50人を区別する力を1ミリも持ちません。逆に値が大きくばらつく指標は、誰が誰かをよく区別できる。ばらついている＝情報を持っている。 だから「分散が最大になる方向」を探すことが、「一番よく区別できる新しい指標を作ること」になるわけです。第2主成分は「第1主成分と独立である（無相関）という条件の下で，分散が最大になるように求められる」（同上）。無相関という条件が付くのは、情報の重複を避けるためです。ここで第86講 散布図と相関係数と散らばり（本講）が合流します。

学習指導要領解説の情報Ⅱ(3)側にも、同じ発想が書かれています。

解説の全文でただ1か所だけ現れる「散らばり」が、この情報Ⅱ側の文です。 情報Ⅰ側には出てきません。国の文書レベルで、散らばりは情報Ⅱの言葉なのです。

6-3. 数学との連携の指定

3-0で引用した接続の指示には、続きがあります。「共通教科情報科の第2款の第2『情報Ⅱ』の2の（3）『情報とデータサイエンス』の内容については，数学科の第2款の第5『数学B』の（3）『統計的な推測』の内容と関連付けて扱うこと」（前掲「解説 情報編」p.107相当）。

情報Ⅰ(4)は数学Ⅰ「データの分析」、情報Ⅱ(3)は数学B「統計的な推測」。この2段構えが、3-7で保留にした「分母 n か n−1 か」の答えが置かれている場所でもあります。 標本から母集団を推定する話は数学Bであり、情報Ⅱがそれと連携するよう指定されています。

6-4. 情報Ⅰと情報Ⅱの扱いの違い

情報Ⅰが「散らばりを測って終わり」なのに対し、情報Ⅱは「散らばりを使って新しい変数を作る」ところまで行きます。 標準偏差は情報Ⅰで卒業する知識ではなく、情報Ⅱ・大学のデータサイエンス・機械学習の前処理へ、形を変えずにそのまま持ち込まれます。情報Ⅱ第3章の学習構成を見れば、その道筋がそのまま見えます。学習11 データと関係データベース／12 大量のデータの収集と整理・整形／13 重回帰分析とモデルの決定／14 主成分分析による次元削減／15 分類による予測／16 クラスタリングによる分類／17 ニューラルネットワークとその仕組み／18 テキストマイニングと画像認識。この8段の入口に立つための切符が、本講の です。

まとめ

• 偏差の和は必ず0になる。平均が重心だから当然で、そのままでは散らばりを測れない。
• 2乗するのは「計算が楽だから」ではない。微分できるからで、それが最小二乗法・回帰・主成分分析へつながる。平均は偏差の2乗和を最小にする点である。
• √を取るのは単位を元に戻すため。分散は理論用、標準偏差は読解用。
• 別公式「2乗の平均 − 平均の2乗」は3行で導ける。データを1周で済ませられるので実務でも速い。
• 定数を足しても散らばりは動かない。a 倍すると分散は a² 倍、標準偏差は |a| 倍。
• 四分位範囲は順位しか見ないので外れ値に強い。1個の外れ値で標準偏差は約16倍になっても IQR は不変だった。
• 共通テストは標準偏差を「ものさしの目盛り」として使わせる。試作問題の一次資料に明記がある。
• 情報Ⅱでは標準偏差は「割る数」になり、分散は「情報量」になる。

出典（すべて2026年8月3日に取得）