クラスタリング（k-means）｜情報Ⅰ 最強120講義 第114講

k-means法の「means」は平均です。なぜ代表点に平均を使うのか——答えは情報Ⅰの第83講にあります。平均は二乗和を最小にする点だから。この講では、10点のデータを手でk-meansにかけ、初期値を変えると答えが変わることを実演します。同じデータ・同じクラスタ数で、SSEが60と70の2つの答えが出ます。

こんにちは、数強塾グループ代表の藤原進之介です。本記事は参考書『藤原進之介の最強120講義』第114講のWeb版で、第6部「情報Ⅱへの橋」に置いた1講です。共通テスト重要度はC——情報Ⅱは共通テストの出題範囲外だからです。情報Ⅱ全体の地図は第109講、データサイエンスの進め方は第110講に置きました。本講はその「分析」の中身にあたります。

1. この講の問い

なぜ k-means は「平均」を代表点に使うのか。そしてなぜ、同じデータでも答えが1つに決まらないのか。

2. 結論

3. なぜそうなるのか

3-1　まず、国が何と呼んでいるかを確かめる

「k-means法」という語を、高校の一次資料はどこで使っているのか。当方で3つの資料をテキスト化し、空白と改行を除いてから数えました（2026年8月3日実施）。

数えた範囲は、①解説 情報編の全文（共通教科＝第1部と専門教科＝第2部を分けて計数）②情報Ⅰ教員研修用教材 第1〜4章（章ごとに別PDF）③情報Ⅱ教員研修用教材 序章＋第1〜5章の全7分冊（第3章は前半・後半の2分冊）です。

この表が示していることは2つあります。

第一に、クラスタリングは情報Ⅰの本文に1件も無い。「クラスタ」という語すら情報Ⅰ教員研修用教材の全4章に0件です（別の意味での混入すらありません）。完全に情報Ⅱ側の語です。

第二に、学習指導要領解説と教員研修用教材が、同じものを違う名前で呼んでいる。解説は「k-means」と一度も書かず、代わりにこう書きます。

「集団の数を決めてから要素を所属させていく」——これが k-means の定義そのものです。国の上位文書は手法名ではなく性質で書いている。逆に教員研修用教材は「非階層」を1回も使わず「k-means法（k平均法）」と書く。同じものに、上位文書と下位文書で別の名前がついているわけです。問題集で「非階層的クラスタリング」という語に出会ったら、それは k-means のことだと読み替えてください。

3-2　なぜ代表点が「平均」なのか——第83講が答えを先に出している

教員研修用教材は、k-means法の手順を4行で書いています。

そして、適切なクラスタ数を推定するエルボー法の説明では、縦軸に SSE（クラスタ内誤差の平方和） を取る、と書きます。

ここを並べて読んでください。代表点＝平均。評価指標＝平方和。これは偶然の一致ではありません。

第83講（代表値）で確かめたことを思い出します。データを1つの数 c で代表させるとき、

• 二乗和 Σ(x − c)² を最小にする c は平均
• 絶対値の和 Σ|x − c| を最小にする c は中央値

でした。k-means が最小化しようとしている量は SSE、すなわち各点から自分のクラスタの代表点までの距離の2乗の合計です。ならば、割り当てを固定したときにその合計を最小にする代表点は、平均以外にありえない。手順3が「平均を求める」なのは、そう決めたからではなく、そうするしかないからです。

だからアルゴリズムの名前が k-means なのです。「k個の平均」——名前が設計理由をそのまま名乗っている。情報Ⅰで「平均は二乗和を最小にする点」と理解した人だけが、この名前を読めます。

3-3　なぜ「往復」するのか——2つの最小化が絡まっている

手順2と手順3は、まったく別のことをしています。

• 手順2（割り当て）：代表点を固定したとき、SSE を最小にする割り当ては「各点を最も近い代表点へ」。当たり前です。他の代表点へ回せば距離の2乗が増えるだけですから。
• 手順3（更新）：割り当てを固定したとき、SSE を最小にする代表点は「そのクラスタの平均」。3-2で見たとおりです。

つまり k-means は、片方を固定してもう片方を最適にする、を交互に繰り返している。どちらの手も SSE を増やしません。SSE は下がるか、そのままか、のどちらかです。そして有限個のデータを k 個に分ける分け方は有限通りしかない。だから必ずどこかで止まります。これが手順4「変化がなければ終了」の理由です。

しかし、止まった場所が一番良い場所とは限りません。下り坂を下りることしかできないので、谷が2つあれば近いほうの谷に落ちて止まる。ここが次の話につながります。

3-4　なぜ答えが1つに決まらないのか

教員研修用教材は、自分で反証を書いています。

k-means++ は初期値の決め方だけを変えたものです。

離れている点ほど選ばれやすくするわけです。第61講（乱数とモンテカルロ法）で扱った「重み付きの乱数」が、ここで出てきます。

そして、語数調査でねじれが見つかりました。

「乱数」という語は、情報Ⅰ教員研修用教材に59件あって、情報Ⅱ教員研修用教材の全7分冊には1件も無い。ところが情報Ⅱの k-means は、手順1が「ランダムに代表点を決める」であり、乱数の上に立っています。語としては消え、実体としては土台に残る。第61講で「乱数を使うと同じプログラムでも毎回答えが変わる」と書きましたが、k-means は決定的なアルゴリズムに見えて、実は同じ側に立っているのです。

だからシードを固定しないと再現できない。教員研修用教材が載せている Python のコードは、まさにそうしています。

kmeans = KMeans( init='random', n_clusters=5, random_state=0 )

random_state=0 が乱数の種の固定です。一方、同じ教材の第5章（探究）に載っている R のコードは kmeans(pcs, centers=2) だけで、種の指定がありません（当方が第5章 p.253〜254相当を確認）。同じ教材の中に、種を固定した例と固定していない例が並んでいる。再現性を気にするなら、種を書く癖をつけてください。

3-5　なぜクラスタ数を人間が決めるのか——正解が無いから

学習16の【研修の目的】の一行目は「教師なし学習によるクラスタリングやアソシエーション分析の手法について理解し」で始まります。本文の定義はこうです。

正解が無い。だから「クラスタ数は3が正しい」と言ってくれる人はどこにもいません。エルボー法は目安にすぎず、教材自身が限界を書いています。

さらに、国が公開している演習解答が決定的なことを書いています。

クラスタ数を決めるのも、分かれたクラスタに意味を与えるのも、人間の「視点」の仕事だと国の解答例が明言している。実際その解答例では、9つの地方が5クラスタに分かれた結果に対して「四国と東北のクラスタは、旅行費用、衣料費用、医療費用、家具費用が少ない点で類似性がある」というように、人間が言葉を当てています。アルゴリズムはグループを作るだけで、名前は付けません。

なお、階層的クラスタリングならクラスタ数を先に決めなくてよい、と教材は書きます。

デンドログラム（樹形図）に水平線を引き、交点の数がクラスタ数になる。「先に決める」のが k-means、「後から決められる」のが階層的。この対比が、解説の「非階層的方法／階層的方法」という言い分けと正確に対応しています。

3-6　なぜ基準化が要るのか。そして、要らないときがある

教材の演習1は、e-Stat の家計消費状況調査を加工した「地方別・1世帯当たり1か月間の支出」でクラスタリングします。そのとき、こう注意します。

距離は各変数の差を2乗して足すので、桁の大きい変数が距離を支配します。だから StandardScaler で基準化する。これは第84講（散らばり・標準偏差）で扱った z ＝ (x − 平均) ÷ 標準偏差 そのものです。

ところが同じ学習16の演習2で、教材はこう書きます。

演習2の対象は卸売業者の顧客データで、使う6項目がすべて年間注文額（同じ単位・同じ桁）だからです。「いつでも基準化する」は誤りで、単位や尺度が違うときにそろえる手続きだ——教材が、同じ節の中で「する例」と「しない例」を並べてそれを示している。ここは見落とされがちな箇所です。

第29講（色の表現）で扱った減色も同じ理屈です。RGBは3成分とも0〜255で同一尺度なので、色を3次元空間の点とみなしてクラスタリングするとき、基準化は要りません。

3-7　距離の定義を変えると、結果は変わる

「距離」はユークリッド距離だけではありません。教材は明示しています。

そして距離の「次元」も、高校の想像を超えます。一つ前の学習15「分類による予測」は、MNIST（手書き数字画像）を k-近傍法で分類するとき 784次元のユークリッド距離を使い、こう注意します。

28×28＝784個の数字の並びを1つの「点」とみなして距離を測る。散布図では絶対に描けない空間で、距離だけが計算できる——ここが「距離で分ける」という発想の本領です。クラスタリングも分類も、この一点の上に立っています。

4. 手で確かめる──10点のデータを、手で2回転させる

「数学的な内容に深入りせず、アルゴリズムの考え方が理解できるようにする」——これは教員研修用教材の学習16【展開1】の指導上の留意点です。少量のデータで手を動かせ、と国が言っている。やります。

4-1　データ

2次元・10点。座標はすべて整数です。

図に描くと、左下（A〜D）・中央（E〜H）・右下（I・J）の3つのかたまりに見えます。ここでクラスタ数2、つまり「2つに分けなさい」と命じたらどうなるか。3つのかたまりを2つに詰めるのだから、どこかで無理が生じる。そこがこの実験の狙いです。

距離は、大小を比べるだけなら2乗のままで構いません（平方根を取っても順序は変わりません）。以下、d² で書きます。

4-2　初期値①：代表点として A(1,1) と B(2,1) を選ぶ

10点から2点をランダムに選ぶ、を実行して隣り合う2点を引いてしまった、という設定です。

【第1回・割り当て】　M1=(1,1)、M2=(2,1)

【第1回・更新】　クラスタ1＝{A, C} なので平均は ((1+1)÷2, (1+2)÷2) ＝ (1, 1.5)。クラスタ2＝{B, D, E, F, G, H, I, J} なので平均は (46÷8, 27÷8) ＝ (5.75, 3.375)。代表点が動いたので、手順4により手順2へ戻ります。

【第2回・割り当て】　M1=(1, 1.5)、M2=(5.75, 3.375)

B と D が M2 から M1 へ移りました。これが「往復」です。代表点が動いたから割り当てが変わり、割り当てが変わればまた代表点が動く。

【第2回・更新】　クラスタ1＝{A, B, C, D} → 平均 (1.5, 1.5)。クラスタ2＝{E, F, G, H, I, J} → 平均 (42÷6, 24÷6) ＝ (7, 4)。

【第3回】　この代表点で割り当て直しても {A,B,C,D} と {E,F,G,H,I,J} のままで、平均も変わりません。代表点が変わらないので終了です。

SSE を計算します。クラスタ1は、各点から (1.5,1.5) までの d² が4点とも 0.5 なので合計 2。クラスタ2は (5,5)→5、(6,5)→2、(5,6)→8、(6,6)→5、(9,1)→13、(11,1)→25 で合計 58。SSE ＝ 2 ＋ 58 ＝ 60。

4-3　初期値②：代表点として E(5,5) と I(9,1) を選ぶ

同じデータです。初期値だけ変えます。

【第1回・割り当て】　M1=(5,5)、M2=(9,1)

【第1回・更新】　クラスタ1＝{A〜H}（8点）→ 平均 (28÷8, 28÷8) ＝ (3.5, 3.5)。クラスタ2＝{I, J} → 平均 (10, 1)。

【第2回】　この代表点で割り当て直しても、同じ8点対2点。終了です。

SSE：クラスタ1は 12.5＋8.5＋8.5＋4.5＋4.5＋8.5＋8.5＋12.5 ＝ 68、クラスタ2は 1＋1 ＝ 2。SSE ＝ 70。

4-4　同じデータ、同じクラスタ数、違う答え

同じデータを、同じクラスタ数2で分けたのに、答えが2つ出ました。SSE で比べれば①のほうが良い。しかし②も「代表点が動かない」という終了条件を正しく満たしています。アルゴリズムは、②で止まったことを間違いだと知りません。

これが教材の言う「ランダムに代表点を決めることによって、結果が大きく異なり、適切なクラスタリングとならない場合もある」の実物です。対策は教材が書いたとおり、何回か繰り返して SSE の一番小さいものを採るか、k-means++ で初期値を散らすか。ちなみにこの10点は、初期の2点の選び方（10点から2点＝45通り）を全部試すと4種類の答えに落ち着きました（SSE ＝ 60／70／78.92／102.67、そのうち45通り中19通りが SSE＝60 に到達）。

4-5　Python で検算する（シードを固定する）

上の手計算を、実際に実行して確かめます。

import numpy as np
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
X = np.array([[1,1],[2,1],[1,2],[2,2],[5,5],[6,5],[5,6],[6,6],[9,1],[11,1]], dtype=float)
for name, init in [("初期値① A(1,1),B(2,1)", np.array([[1.,1.],[2.,1.]])),
                   ("初期値② E(5,5),I(9,1)", np.array([[5.,5.],[9.,1.]]))]:
    km = KMeans(n_clusters=2, init=init, n_init=1).fit(X)
    print(name)
    print("  ラベル :", "".join(str(v+1) for v in km.labels_))
    print("  代表点 :", km.cluster_centers_.tolist())
    print("  SSE    :", round(km.inertia_, 10), " 反復回数:", km.n_iter_)

実行結果（scikit-learn 1.6.1 ／ numpy 2.0.2、2026年8月3日に当方が実行）：

初期値① A(1,1),B(2,1)
  ラベル : 1111222222
  代表点 : [[1.5, 1.5], [7.0, 4.0]]
  SSE    : 60.0  反復回数: 3
初期値② E(5,5),I(9,1)
  ラベル : 1111111122
  代表点 : [[3.4999999999999996, 3.5], [10.0, 1.0]]
  SSE    : 70.0  反復回数: 2

手計算と完全に一致しました。代表点も、SSE も、反復回数も。inertia_ が SSE です。

1か所だけ、3.4999999999999996 という値が出ています。手計算では 28÷8 ＝ 3.5 ちょうどでした。これは浮動小数点数の丸め誤差で、8個の値を足して割る途中で 2進数では表せない端数が出たためです。同じ 3.5 でも、片方の座標は 3.5 と表示され、もう片方は 3.4999999999999996 と表示される。コンピュータの計算結果を、そのまま「等しいか」で比較してはいけないという、情報Ⅰで扱う誤差の話がここで顔を出します。

4-6　エルボー法をやってみる

for k in range(1, 7):
    km = KMeans(n_clusters=k, init='random', n_init=10, random_state=0).fit(X)
    print(f"k={k}  SSE={km.inertia_:.4f}")

k=1  SSE=147.6000
k=2  SSE=60.0000
k=3  SSE=6.0000
k=4  SSE=4.0000
k=5  SSE=3.0000
k=6  SSE=2.5000

k が 1→2 で 87.6 減り、2→3 で 54 減り、3→4 では 2 しか減りません。折れ線を描けば k=3 で肘のように曲がる。「3つのかたまりに見える」という目の判断と、SSE の折れ曲がりが一致しました。

検算しておきます。k=1 のとき代表点は全体の平均 (4.8, 3.0) で、SSE ＝ 103.6（x方向）＋ 44（y方向）＝ 147.6。k=3 のときは {A,B,C,D} が 2、{E,F,G,H} が 2、{I,J} が 2 で計 6。どちらも手で追えます。

4-7　基準化の有無で、答えが変わることを見る

単位の違う2変数を用意します。8人の「1日の勉強時間（分）」と「小テストの点（10点満点）」です（説明のための架空のデータです）。

Y = np.array([[30,1],[35,2],[55,1],[60,2],[30,9],[35,10],[55,9],[60,10]], dtype=float)
km1 = KMeans(n_clusters=2, init='random', n_init=10, random_state=0).fit(Y)
print("基準化なし:", "".join(str(v) for v in km1.labels_), " SSE=", round(km1.inertia_,4))
sc = StandardScaler(); Ys = sc.fit_transform(Y)
km2 = KMeans(n_clusters=2, init='random', n_init=10, random_state=0).fit(Ys)
print("基準化あり:", "".join(str(v) for v in km2.labels_), " SSE=", round(km2.inertia_,4))
print("平均:", sc.mean_.tolist(), " 標準偏差:", [round(float(v),6) for v in sc.scale_])

基準化なし: 00110011  SSE= 180.0
基準化あり: 11110000  SSE= 8.1231
平均: [45.0, 5.5]  標準偏差: [12.747549, 4.031129]

読み取ってください。

• 基準化なし：{P1,P2,P5,P6} と {P3,P4,P7,P8} に分かれました。これは勉強時間（30分・35分の組 対 55分・60分の組）で分かれています。
• 基準化あり：{P1,P2,P3,P4} と {P5,P6,P7,P8} に分かれました。これは小テストの点（1点・2点の組 対 9点・10点の組）で分かれています。

同じ8人が、前処理をするかしないかだけで、まったく違うグループに分かれた。基準化しないと、単位が「分」で数字が大きい勉強時間が距離を支配してしまうからです。教材の「差が大きい自動車費用の影響が大きくなる」が、そのまま再現されました。

標準偏差も検算できます。勉強時間の分散は ((15²＋10²＋10²＋15²)×2)÷8 ＝ 162.5 で、その平方根は 12.747549…。出力と一致します（StandardScaler は n で割る母標準偏差を使います）。

そして繰り返しますが、基準化が常に正しいのではありません。3-6 で見たとおり、教材の演習2は「金額を用いてクラスタリングを行いたいので、値の基準化は行わない」と書いています。変数の単位がそろっていて、しかも桁の大きさそのものに意味があるときは、そろえてはいけないのです。

5. 共通テストではこう出る

この講は共通テストと接続しません。情報Ⅱは共通テストの出題範囲外だからです。大学入試センターのプレス発表資料「令和9年度大学入学者選抜に係る大学入学共通テストの出題教科・科目の出題方法等及び問題作成方針について」（令和7年6月6日）では、教科「情報」の出題科目は『情報Ⅰ』のみ・60分（100点）で、当方が同資料の全文をテキスト化して検索したところ「情報Ⅱ」は0件でした。クラスタリング、k-means、SSE、デンドログラムは、共通テスト対策としては覚える必要がありません。重要度は C です。

ただし、逆向きの矢印は太い。共通テストに出る次の3つが、そのままこの講の材料になっていました。

1. 平均（第83講）→ k-means の代表点そのもの。「平均は二乗和を最小にする点」を知らないと、なぜ手順3が平均なのか説明できません。
2. 標準偏差（第84講）→ 基準化＝ (x − 平均) ÷ 標準偏差。情報Ⅰで「散らばりを読む数」だった標準偏差が、ここでは「単位をそろえるために割る数」になります。
3. 散布図（第95講）→ 2変数なら目で見て分けられる。分けられなくなる境目が、クラスタリングの入口です。

3番目については、文部科学省の解説動画スライドが驚くほど率直に書いています（次の節）。情報Ⅰの復習として、この講を「平均と標準偏差と散布図が、どこまで通用してどこから通用しなくなるのか」の答え合わせに使ってください。入試に出ないぶん、気楽に読めるはずです。

6. 情報Ⅱではこうなる

本講自体が情報Ⅱ(3)「情報とデータサイエンス」の内容です。ここでは、情報Ⅰのどこで手が届かなくなり、その先に何があるのかを一次資料で確かめます。

6-1　国のスライドが「情報1でやったこと」と書いている場所

文部科学省の「情報Ⅱ解説動画」に、[4] クラスタリング「自分と近い性格の人は誰?」という回があります。そのスライドPDF（2024年3月公開、当方が2026年8月3日に取得してテキスト抽出）の展開が、この講の主張そのものでした。

「情報1でやったこと」と国のスライドが明記している。2変数なら散布図で目で見て分けられる。3変数は3次元散布図でぎりぎり。それ以上は見えない。見えないものを分けるために、距離という数値だけを頼りにする——それがクラスタリングです。学習15が MNIST を 784次元のユークリッド距離で扱うのも同じ話でした。

このスライドの題材はクラスのアンケート（プログラミング・野球・楽器演奏などの好みを5段階で回答）で、環境は R、コードは dist() で距離を求め hclust() でクラスタリングする階層的クラスタリングです。補足で「クラスタリングには様々な手法がある」として、この回で使った最長距離法とウォード法（method="ward.D2"）の結果を並べて比べています。この解説動画は k-means を扱っていません。デンドログラムまでで止めている。国の側でも、入口は階層的クラスタリング、という判断があるようです。

6-2　情報Ⅰとの分業を、語数で見る

最後の行が、本講で見つけた最も面白いねじれです。情報Ⅰは乱数を59回書いてシミュレーションを教え、情報Ⅱは乱数を1回も書かないまま、乱数に依存するアルゴリズムを教えている。

6-3　高校の外に出るとどうなるか——IPA試験の階梯

「クラスタリングは高校で終わりか」を確かめるため、IPA（情報処理推進機構）の試験シラバスを当方でテキスト化して数えました（2026年8月3日取得）。

「教師なし学習」という枠組みは ITパスポート（レベル1）から出てきますが、手法名としての「k-means法」が用語例に現れるのは応用情報技術者試験（レベル3）です。つまり高校の情報Ⅱは、IT系国家試験ならレベル3で初めて名指しされる手法を、名前ごと扱っていることになります。情報Ⅱが「発展的な選択科目」と呼ばれる意味が、ここで数字になります。

6-4　この先へ

情報Ⅱ教員研修用教材 第3章後半の学習16は、実は3部構成で、3節目はアソシエーション分析です。「おむつを買った人は缶ビールを買う傾向にある」で知られる、あの分析。支持度・確信度・リフト値の3指標を計算します。そして教材はこう書きます。

「計算量」という語は、学習指導要領解説にも情報Ⅰ教員研修用教材にも0件で、情報Ⅱ教員研修用教材の3件がすべて第3章後半にあります。手法を知ることと、それが現実的な時間で終わるかを見積もることは、別の能力である——本書の第6部では、この話を独立の講にしています。

そして次の学習17はニューラルネットワーク（情報Ⅱ教材に63件、情報Ⅰ教材に1件）。k-means が「代表点を動かして誤差を減らす」往復だったのに対し、ニューラルネットワークは「重みを動かして誤差を減らす」往復です。最小化したい量を決めて、少しずつ下る——構造は同じです。

まとめ

• クラスタリングは「代表点を決める」と「割り当てる」の往復。片方を固定してもう片方を最適にする、を繰り返している
• 代表点が平均なのは、SSE（クラスタ内誤差の平方和）を最小にする点が平均だから。第83講の性質が、そのままアルゴリズム名 k-means になっている
• 答えは1つに決まらない。初期値で変わる（実測：同じ10点・同じクラスタ数2で SSE 60 と 70 の2つの答え）。だからシードを固定する
• クラスタ数を決めるのも、クラスタに意味を与えるのも人間。国の演習解答が「何らかの視点に基づいて」と明記している
• 基準化は「いつでもする」ではない。単位が違うときにそろえる手続き。教材は演習1でして、演習2で「行わない」と書いている
• 国のスライドが「2変数だったら…（情報1でやったこと）」と書く。散布図が届かなくなる場所が、この手法の入口

基礎からの積み上げは第40講 基数変換から、シリーズ全体は『藤原進之介の最強120講義』目次およびカテゴリ一覧から読めます。

出典（すべて2026年8月3日に取得）

• 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 情報編」平成30年7月 https://www.mext.go.jp/content/1407073_11_1_2.pdf
• 文部科学省「高等学校情報科『情報Ⅱ』教員研修用教材（本編）」令和2年3月発行 https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/zyouhou/detail/mext_00742.html（第3章後半 20200609-mxt_jogai01-000007843_007.pdf／第3章前半 20200702-mxt_jogai01-000007843_004.pdf／第5章 20200609-mxt_jogai01-000007843_006.pdf）
• 文部科学省「高等学校情報科『情報Ⅱ』教員研修用教材（演習解答）」 https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/zyouhou/detail/mext_01292.html
• 文部科学省「情報Ⅱ解説動画」[4] クラスタリング「自分と近い性格の人は誰?」スライド https://www.mext.go.jp/content/20240307-mxt_jogai01-000034455_004.pdf
• 文部科学省「高等学校情報科『情報Ⅰ』教員研修用教材」 https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/zyouhou/detail/1416756.htm
• 大学入試センター プレス発表資料「令和9年度大学入学者選抜に係る大学入学共通テストの出題教科・科目の出題方法等及び問題作成方針について」令和7年6月6日 https://www.dnc.ac.jp/news/albums/abm.php?d=447&f=abm00005364.pdf
• IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver.6.5」 https://www.ipa.go.jp/shiken/syllabus/omgdg50000005kn1-att/syllabus_ip_ver6_5.pdf
• IPA「基本情報技術者試験 シラバス Ver.9.2」 https://www.ipa.go.jp/shiken/syllabus/omgdg50000005kpe-att/syllabus_fe_ver9_2.pdf
• IPA「応用情報技術者試験 シラバス Ver.7.0」 https://www.ipa.go.jp/shiken/syllabus/nq6ept000000149q-att/syllabus_ap_ver7_0.pdf