中2｜平行線と角・図形の性質解き方がわからないときは 平行線と角｜同位角・錯角の見分け方と補助線を28問で練習【中2数学】 を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは中学2年「角度（難問）」の無料プリント（第4回）の解説です。愛知県・日本大第二の入試問題——長方形の中の直角三角形と条件が等式で与えられる問題。文字で置いて方程式にする発想が要ります。
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問題
解答・解説
文字で置いて方程式にする
「∠ABC = ∠DCB」のように等しいことだけが与えられたら、その角を x と置きます。
1等しい角を x と置く。
2三角形の内角の和などでx の方程式を作る。
3解いて、求める角を計算する。
角度でも方程式
角度の難問は方程式の文章題です。「わからない角を文字で置く」——中1で学んだ手が、そのまま使えます。
長方形の中の直角三角形
長方形の4角は90°。そこに直角三角形が入ると、90° を分け合う関係ができます。
∠AEB ＋ ∠FEB ＋ ∠DEF ＝ 180°（一直線）
∠FEB = 90° なら、∠AEB + ∠DEF = 90°。片方がわかればもう片方も決まります。
つまずくのはここ
つまずき1｜等しい角に文字を置かず、値を探そうとする
値が決まらないことがあります。x と置いて方程式にすれば、決まる部分だけが求まります。
つまずき2｜一直線の関係を見落とす
点が辺の上にあれば、その点の角の和は180°。長方形の中の図では、この関係が要になります。
つまずき3｜直角三角形の残りの角を計算し忘れる
直角三角形では残り2角の和が90°。1つわかれば、もう1つは引き算です。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントの入試問題と同じ技能構成で、数値を独自に設計した問題です。
応用練習1
長方形 ABCD で、E は辺 AD 上、F は辺 DC 上の点である。△EFB は ∠FEB = 90° の直角三角形で、∠AEB = 41°、∠EBF = 27° のとき、∠BFC を求めなさい。
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解答
点 E は辺 AD 上にあるので、E での角の和は180°。
∠AEB + ∠BEF + ∠FED = 180 → 41 + 90 + ∠FED = 180 → ∠FED = 49°
△EFB で ∠EFB = 180 − 90 − 27 = 63°
△EDF で ∠D = 90°（長方形）なので ∠EFD = 180 − 90 − 49 = 41°
点 F は辺 DC 上なので、F での角の和も180°。
∠EFD + ∠EFB + ∠BFC = 180 → 41 + 63 + ∠BFC = 180
∠BFC = 76°
検算：41 + 63 + 76 = 180° ○
応用練習2
四角形 ABCD で ∠ABC = ∠DCB、∠ABD = 20°、∠ACD = 30°、∠BDC = 40° のとき、∠CBD を求めなさい。
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解答
∠CBD = x と置きます。
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 20 + x
∠DCB = ∠DCA + ∠ACB = 30 + ∠ACB
条件 ∠ABC = ∠DCB より 20 + x = 30 + ∠ACB …①
△BCD で ∠DBC + ∠BCD + ∠BDC = 180
x + (30 + ∠ACB) + 40 = 180 → ∠ACB = 110 − x …②
②を①へ：20 + x = 30 + 110 − x → 2x = 120 → x = 60°
検算：x = 60 なら ∠ACB = 50°、∠ABC = 80°、∠DCB = 80° ○（等しい）
△BCD：60 + 80 + 40 = 180° ○
2つの未知数を2つの式で解く——連立方程式の考え方です。
標準練習3
直角三角形 ABC（∠C = 90°）で、∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とする。∠ADB = 115° のとき、∠A を求めなさい。
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解答
∠ADC = 180 − 115 = 65°（一直線）
△ADC で ∠C = 90° なので ∠DAC = 180 − 90 − 65 = 25°
∠A の二等分線なので ∠A = 25 × 2 = 50°
検算：∠A = 50°、∠C = 90° なら ∠B = 40°。
△ABD で 25 + 40 + 115 = 180° ○
定着チェック
いまの理解段階を自分で選んでみてください。
- 未習——用語の意味がまだ言えない。
- 用語理解——定義は言えるが、手が止まる。
- 典型を解ける——同じ形なら解ける。
- 初見へ転用——形が変わっても方針を立てられる。
- 入試水準——制限時間内に、根拠を書いて解ける。
この先の学習経路
- 中2 角度（難問）特訓道場30題——補助線の引き方で解く30題。
- 中2 図形の証明 特訓道場30題——角度の次は証明へ。
- 中2数学の要点辞典——中2全範囲の要点。
- 図形（幾何）学習ロードマップ——小学算数から最難関大までの地図。
数強塾について
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ここまで読んでも「どの前提に戻ればよいか決められない」「解説は追えるのに自分では方針が立たない」という場合、足りないのは演習量ではなく学習経路の整理かもしれません。数強塾では現在地と目標から逆算して、次に取り組む内容を講師が一緒に決めます。
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