中２数学：連立方程式｜小数5（無料問題・解答PDF）

中2数学「連立方程式」小数5の全6問を、問題文つきで解説します。係数に小数がある式の扱い方です。問題PDF／解答PDF

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この回の型：小数は「10倍・100倍」して整数に直す

型小数の係数が出てきたら、その式の両辺を10倍・100倍して整数の式に直してから、いつもの加減法・代入法に入る。

なぜこうするか小数のまま加減法をしても数学的には正しいのですが、0.7 − 0.3 のような繰り下がりでミスが出ます。計算のミスは「難しいから」ではなく「桁がそろっていないから」起きます。先に整数へ直しておけば、あとは前回までと同じ作業です。

何倍するかはその式の中でいちばん小数点以下が長い数で決めます。0.7 や 1.5 なら10倍、0.12 や 0.08 なら100倍です。片方の式だけ倍にしてもかまいません（式ごとに独立して考えます）。

定石　小数を見たら、まず整数化。倍率は式ごとに決める。

(1) 0.7x − 0.3y = 1.5、x − y = 1

①だけ10倍します。①×10 … 7x − 3y = 15。②はもともと整数なのでそのままです。
y を消すため ②×3 … 3x − 3y = 3。
①’−②’ より 4x = 12、x = 3。②に戻して 3 − y = 1、y = 2。

検算0.7 × 3 − 0.3 × 2 = 2.1 − 0.6 = 1.5 ○。検算はもとの小数の式で行います。

(2) −x + 2y = 5、0.3x + 1.4y = 0.5

②を10倍します。②×10 … 3x + 14y = 5。
x を消すため ①×3 … −3x + 6y = 15。
①’＋②’ より 20y = 20、y = 1。①に戻して −x + 2 = 5、−x = 3、x = −3。

よくあるミス　0.5 を10倍して 0.5 のまま書いてしまう、右辺の倍し忘れ。0.5 × 10 = 5 です。左辺だけ整数化して右辺を放置すると、まったく別の方程式になります。

(3) 0.12x − 0.02y = 0.3、4x + 3y = −1

①は小数第2位まであるので100倍します。①×100 … 12x − 2y = 30。
ここでさらに 2 で割れます。6x − y = 15。数を小さくしておくと、あとが楽になります。
この形は y = 6x − 15 と変形できるので代入法へ。②へ入れて 4x + 3(6x − 15) = −1、4x + 18x − 45 = −1、22x = 44、x = 2。
y = 6 × 2 − 15 = −3。

なぜこうするか整数化した直後に共通の数で割れないかを必ず見ます。12x − 2y = 30 のまま進むと係数が大きく、途中の数も大きくなってミスが増えます。「整数化 → 約分」までを1セットにしてください。

検算0.12 × 2 − 0.02 × (−3) = 0.24 + 0.06 = 0.3 ○、4 × 2 + 3 × (−3) = 8 − 9 = −1 ○。

(4) 0.08x + 0.17y = 1、2x − y = 4

①×100 … 8x + 17y = 100。②は y = 2x − 4 と変形できます。
①’へ代入して 8x + 17(2x − 4) = 100、8x + 34x − 68 = 100、42x = 168、x = 4。
y = 2 × 4 − 4 = 4。

よくあるミス　17 × 4 = 68 の暗算ミスと、42x = 168 の割り算ミス。168 ÷ 42 = 4 です。係数が大きいときほど、筆算を書いて確かめてください。

(5) 0.5x + y = −2、0.2x − 0.7y = 0.3

①×10 … 5x + 10y = −20。ここで両辺を5で割ると x + 2y = −4 とかなり簡単になります。
②×10 … 2x − 7y = 3。
x を消すため（x + 2y = −4）を2倍して 2x + 4y = −8。
これから ②’ を引くと 11y = −11、y = −1。x + 2 × (−1) = −4 より x = −2。

検算0.5 × (−2) + (−1) = −1 − 1 = −2 ○、0.2 × (−2) − 0.7 × (−1) = −0.4 + 0.7 = 0.3 ○。

(6) 0.5x + 0.3y = 1、3x − 0.2y = −4

①×10 … 5x + 3y = 10。
②×10 … 30x − 2y = −40。両辺を2で割って 15x − y = −20、つまり y = 15x + 20。
①’へ代入して 5x + 3(15x + 20) = 10、5x + 45x + 60 = 10、50x = −50、x = −1。
y = 15 × (−1) + 20 = 5。

検算0.5 × (−1) + 0.3 × 5 = −0.5 + 1.5 = 1 ○、3 × (−1) − 0.2 × 5 = −3 − 1 = −4 ○。

よくあるミス　②の 3x を「小数がないから」と10倍し忘れて 3x − 2y = −40 としてしまう誤り。倍にするのは式の全部の項です。整数の項も例外ではありません。

この回で身につくこと

小数の連立方程式は、新しい解き方を覚える単元ではありません。「整数に直す」という前処理が1つ増えるだけです。手順は、①式ごとに10倍か100倍を決める → ②全部の項に かける（右辺も、整数の項も）→ ③共通の数で割れるなら割る → ④加減法か代入法。失点は数学ではなく「倍し忘れ」から出ます。最後の検算は必ずもとの小数の式で行ってください。次は分数の形に進みます。