毎日の数学1~10｜中学3の総合復習と練習6問

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問題

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今日の一問

次の式を展開しなさい。　(x + 9)(x + 5)

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは中学3年生「毎日の数学」1~10の無料問題プリントです。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題6問で、同じ範囲を別の数字で確かめてください。単元をまたいだ総合問題なので、「何の単元か」を見分ける練習にもなります。

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下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

中３数学毎日の数学1~10

毎日の数学で何ができるようになるか

中学3年の内容を単元をまたいで確認します。展開・因数分解・二次方程式・関数・図形は入試で組み合わせて出るので、混ぜて解く練習がそのまま入試対策になります。

解き方の手順

1まず何の単元かを見分ける。かっこがあれば展開か因数分解。

2因数分解は共通因数 → 公式の順に必ず見る。

3図形は分かっている長さを図に書き込む。頭の中でやらない。

4答えが出たら展開し直す・代入するなど、逆の操作で確かめる。

つまずくのはここ

つまずき1｜因数分解で共通因数を先に出さない

共通因数が最優先です。先に公式を当てようとすると、解けるものも解けなくなります。

つまずき2｜相似の対応をまちがえて比を立てる

△ABC ∽ △ADE と書いたら A↔A、B↔D、C↔E の順。頂点の順番を崩すと必ずまちがえます。

つまずき3｜面積比を相似比のまま使う

相似比が m : n なら面積比は m² : n²。長さの比をそのまま面積に使うのが最も多い失点です。

数強塾オリジナルの練習問題（6問）

プリントと同じ範囲を、単元を混ぜて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。

練習1

次の式を展開しなさい。　(x + 9)(x + 5)

解答・解説を見る

解答

かっこの中の数について、和が x の係数、積が定数項になる。
和：(9) + (5) = 14　積：(9)×(5) = 45
x² + 14x + 45
検算：分配法則で1つずつ掛けても x² + 5x + 9x + 45 となり同じ。
公式は分配法則の近道にすぎない。迷ったら地道に分配してよい。

練習2

次の式を因数分解しなさい。　x² − 2x − 8

解答・解説を見る

解答

かけて −8、たして −2 になる2数を探す。2 と −4。
(x + 2)(x − 4)
検算：展開すると x² − 2x − 8 に戻る。
積の符号を先に見る。積が負なら2数は異符号、正なら同符号で、和の符号が大きい方に一致する。

練習3

y は x の2乗に比例し、x = 2 のとき y = 8 である。y を x の式で表し、x = 10 のときの y を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

y = ax² とおく。8 = a×2² = 4a より a = 2。
よって y = 2x²。
x = 10 のとき y = 200。
検算：x = 2 を代入すると 8 に戻る。

練習4

直角をはさむ2辺の長さが 48 cm と 20 cm の直角三角形がある。斜辺の長さを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

三平方の定理より、斜辺を c とすると c² = 48² + 20² = 2304 + 400 = 2704。
c > 0 だから c = 52 cm。
検算：48² + 20² = 2704 = 52²。

練習5

∠C = 90° の直角三角形ABCで、CA = 40、CB = 75、AB = 85 です。点Cから辺ABに垂線CHを下ろすとき、CH、AH、BH の長さをそれぞれ求めなさい。

∠C = 90°、CA = 40、CB = 75、AB = 85。H は C から AB に下ろした垂線の足。

解答・解説を見る

解答

CH = 600/17、AH = 320/17、BH = 1125/17

三角形ABC と三角形ACH と三角形CBH は、すべて相似（2角がそれぞれ等しい）。
面積を2通りに表すと 40 × 75 ÷ 2 = 85 × CH ÷ 2 なので CH = 40 × 75 ÷ 85 = 600/17
△ACH ∽ △ABC より AH : AC = AC : AB、つまり AH = AC² ÷ AB = 40² ÷ 85 = 320/17
同じく BH = BC² ÷ AB = 75² ÷ 85 = 1125/17
確かめ: AH + BH = 320/17 + 1125/17 = 85 で AB と一致する。

練習6

三角形ABCで、辺AB上の点Dと辺AC上の点Eを DE ∥ BC となるようにとります。AD : DB = 6 : 2 で、三角形ABCの面積が 640cm² のとき、四角形DBCEの面積を求めなさい。

DE ∥ BC。AD : DB = 6 : 2。

解答・解説を見る

解答

280 cm²

DE ∥ BC なので △ADE ∽ △ABC。相似比は AD : AB = 6 : 8。
面積比は相似比の2乗だから 6² : 8² = 36 : 64。
△ADE = 640 × 36 ÷ 64 = 360（cm²）
四角形DBCE = 640 − 360 = 280（cm²）

解き終わったら

中学3数学の要点辞典——出てきた単元をその場で確認する。
過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。

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要点辞典この単元の公式・定石・つまずきやすい所は中3数学の要点辞典：全8単元にまとめてあります。

📄 同じ単元のプリント（全53枚のうち、この前後24枚）

同じ単元を続けて解くと、どの手を使うかの判断が安定します。手が止まったところがあれば、その単元の要点に戻ってから次の1枚に進んでください。

一覧に無いものも含め、毎日の数学のプリントは中３数学：毎日の数学全53枚、学年全体の単元一覧は中３数学のページから確認できます。

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