毎日の数学78~87｜中学3の総合復習と練習6問

今日の一問

次の式を展開しなさい。　(x + 1)(x − 7)

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは中学3年生「毎日の数学」78~87の無料問題プリントです。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題6問で、同じ範囲を別の数字で確かめてください。単元をまたいだ総合問題なので、「何の単元か」を見分ける練習にもなります。

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中３数学毎日の数学78~87

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問題

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毎日の数学で何ができるようになるか

中学3年の内容を単元をまたいで確認します。展開・因数分解・二次方程式・関数・図形は入試で組み合わせて出るので、混ぜて解く練習がそのまま入試対策になります。

解き方の手順

1まず何の単元かを見分ける。かっこがあれば展開か因数分解。

2因数分解は共通因数 → 公式の順に必ず見る。

3図形は分かっている長さを図に書き込む。頭の中でやらない。

4答えが出たら展開し直す・代入するなど、逆の操作で確かめる。

つまずくのはここ

つまずき1｜因数分解で共通因数を先に出さない

共通因数が最優先です。先に公式を当てようとすると、解けるものも解けなくなります。

つまずき2｜相似の対応をまちがえて比を立てる

△ABC ∽ △ADE と書いたら A↔A、B↔D、C↔E の順。頂点の順番を崩すと必ずまちがえます。

つまずき3｜面積比を相似比のまま使う

相似比が m : n なら面積比は m² : n²。長さの比をそのまま面積に使うのが最も多い失点です。

数強塾オリジナルの練習問題（6問）

プリントと同じ範囲を、単元を混ぜて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。

練習1

次の式を展開しなさい。　(x + 1)(x − 7)

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解答

かっこの中の数について、和が x の係数、積が定数項になる。
和：(1) + (−7) = −6　積：(1)×(−7) = −7
x² − 6x − 7
検算：分配法則で1つずつ掛けても x² − 7x + x − 7 となり同じ。
公式は分配法則の近道にすぎない。迷ったら地道に分配してよい。

練習2

次の式を因数分解しなさい。　x² + 9x + 18

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解答

かけて 18、たして 9 になる2数を探す。6 と 3。
(x + 6)(x + 3)
検算：展開すると x² + 9x + 18 に戻る。
積の符号を先に見る。積が負なら2数は異符号、正なら同符号で、和の符号が大きい方に一致する。

練習3

関数 y = −x² について、x の値が −4 から 6 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

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解答

変化の割合 = (y の増加量) ÷ (x の増加量)。
x = −4 のとき y = −16、x = 6 のとき y = −36。
よって −36 + 16 を 6 + 4 で割って −2。
公式で確認：y = ax² で x が p から q まで動くときの変化の割合は a(p + q)。−1×(−4 + 6) = −2 で一致する。
1次関数と違い、2次関数の変化の割合は区間によって変わる。

練習4

直角をはさむ2辺の長さが 180 cm と 273 cm の直角三角形がある。斜辺の長さを求めなさい。

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解答

三平方の定理より、斜辺を c とすると c² = 180² + 273² = 32400 + 74529 = 106929。
c > 0 だから c = 327 cm。
検算：180² + 273² = 106929 = 327²。

練習5

∠C = 90° の直角三角形ABCで、CA = 63、CB = 60、AB = 87 です。点Cから辺ABに垂線CHを下ろすとき、CH、AH、BH の長さをそれぞれ求めなさい。

∠C = 90°、CA = 63、CB = 60、AB = 87。H は C から AB に下ろした垂線の足。

解答・解説を見る

解答

CH = 1260/29、AH = 1323/29、BH = 1200/29

三角形ABC と三角形ACH と三角形CBH は、すべて相似（2角がそれぞれ等しい）。
面積を2通りに表すと 63 × 60 ÷ 2 = 87 × CH ÷ 2 なので CH = 63 × 60 ÷ 87 = 1260/29
△ACH ∽ △ABC より AH : AC = AC : AB、つまり AH = AC² ÷ AB = 63² ÷ 87 = 1323/29
同じく BH = BC² ÷ AB = 60² ÷ 87 = 1200/29
確かめ: AH + BH = 1323/29 + 1200/29 = 87 で AB と一致する。

練習6

三角形ABCで、辺AB上の点Dと辺AC上の点Eを DE ∥ BC となるようにとります。AD : DB = 4 : 1 で、三角形ABCの面積が 225cm² のとき、四角形DBCEの面積を求めなさい。

DE ∥ BC。AD : DB = 4 : 1。

解答・解説を見る

解答

81 cm²

DE ∥ BC なので △ADE ∽ △ABC。相似比は AD : AB = 4 : 5。
面積比は相似比の2乗だから 4² : 5² = 16 : 25。
△ADE = 225 × 16 ÷ 25 = 144（cm²）
四角形DBCE = 225 − 144 = 81（cm²）

解き終わったら

中学3数学の要点辞典——出てきた単元をその場で確認する。
過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。

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