中３数学｜根号の応用計算係数・加減・文字式の全8問を詳しく解説（無料問題PDF）

中3｜平方根解き方がわからないときは中３数学｜平方根とは根号・有理数・無理数を解説【中3】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

次の計算をしなさい。

——さて、どこから手をつける？

この記事の解説を読めば、この形の問題が解けるようになります。（数強塾オリジナル問題）

この教材では、係数が付いた根号の積と商、根号を簡単にしてから行う加減、文字を含む平方根を扱います。平方根3で学んだ規則を組み合わせる段階です。計算の中心は、根号の中を簡単にすることと、根号の外の係数を正しく計算することです。

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問題

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この教材で使う基本原則

ならです。係数があるときは、係数どうしと根号どうしを別々に掛けます。つまりです。

加減では、まずのように各根号を最簡形にします。その後、根号部分が同じ項だけをまとめます。文字を含む場合はが原則で、問題の正負条件を確認して絶対値を外します。

問題1：係数付き根号の掛け算

を計算します。係数は、根号部分はです。したがって

となります。10には平方数の因数がないので、これが最簡形です。係数まで根号の中に入れてとする誤りに注意してください。

問題2：係数付き根号の割り算

では、係数と根号部分をそれぞれ割ります。

係数は2、根号の中はです。分母のを単に消すのではなく、積や商の公式を使っていることを意識しましょう。

問題3：先に根号を簡単にする方法

は、直接まとめるとです。ただし3136の平方根にすぐ気づくのは難しいので、先に簡単にする方が見通しよく解けます。

よって

となります。大きな数が根号の中に現れたら、平方数の因数を先に取り出す方法を選ぶと安全です。

問題4〜6：根号を簡単にしてから加減する

。80は、45はと分解します。
。答えが負になっても問題ありません。
。係数がになるため、根号を含む項はすべて消えます。

問題6をとしてはいけません。根号は足し算・引き算を一つにまとめられないためです。各項を簡単にして同じにそろえてから、係数を計算します。

問題7：文字を含む平方根

条件はです。を積に分けると

となります。ここでだからです。したがって答えはです。条件がなければと断定できず、が必要です。

問題8：同じ平方根の積

です。これはが「2乗するとになる0以上の数」であるという定義から分かります。PDFではですが、この等式自体はで成り立ちます。

8問の答え一覧

解法を選ぶための判断順序

積・商なら係数と根号部分を分けて考える。
根号の中が大きいときは、先に平方数の因数を取り出す。
加減なら、すべての根号を最簡形にして根号部分をそろえる。
文字の2乗が根号内にあるときは、絶対値と正負条件を確認する。

よくある誤答

誤答1： とする。加法では根号の中をまとめられません。正しくはです。

誤答2： で止める。実際にはです。誤答3：条件を見ずにとする。一般にはです。

確認問題

を計算せよ。
を簡単にせよ。
を簡単にせよ。
のときを求めよ。

答え：順にです。4問目はであり、ならとなります。

次につながる学習

根号の積・商だけを復習するときは根号の計算｜掛け算・同類項・割り算へ戻りましょう。平方根の近似や無理数の背景はペル方程式と連分数でも学べます。

よくある質問

根号を先に簡単にするか、先に掛けるか

どちらでも正しく計算できます。根号内の積が完全平方数になると見抜けるなら先に掛け、大きな数になる場合は先に簡単にするとミスが減ります。

なぜは必ずではないのですか

根号は0以上の値を表すためです。ならで、元のとは異なります。そのため一般にはと表します。

学習相談

根号計算では、公式暗記より「どの演算か」「条件は何か」の確認が重要です。数強塾では答案をもとに、変形・計算・定義のどこでつまずいたかを個別に分析します。集計方法を含む実績は合格実績ページ、学習相談はお問い合わせページをご覧ください。

次に解く問題・この単元の解説

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同じ単元を続けて解くと、どの手を使うかの判断が安定します。手が止まったところがあれば、その単元の要点に戻ってから次の1枚に進んでください。

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