因数分解｜因数分解2の無料問題PDFと練習3問【中学3年・解説つき】

中3｜式の展開と因数分解解き方がわからないときは中３数学｜式の展開と因数分解公式の意味と解き方を解説【中3】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

次の式を因数分解しなさい。\(x^2-9x+14\)

——さて、どこから手をつける？

答え：\((x-7)(x-2)\)。積が14、和が \(-9\) になる2数 \(-7,-2\) を使います。詳しい探し方は練習1で説明します。

中学3年の因数分解を、無料プリントと練習3問で学ぶページです。練習では和と積で2数を探す・共通因数をくくる・2乗の差と平方を見分ける方法を扱います。答えだけでなく、展開して確かめるところまで確認できます。

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下のリンクからPDFが開きます。印刷するか、ノートに式を書き写して解いてください。途中式を残しておくと、答え合わせの際に計算が違った箇所を確認できます。

中３数学因数分解（基本）因数分解2

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ページを移動せずに確認できます。印刷用PDFは各画像下のリンクから開けます。

問題

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因数分解で何ができるようになるか

因数分解は、展開の逆をたどって式を積の形に直すことです。たとえば \(x^2-9x+14\) を \((x-7)(x-2)\) と表します。積に直すと、二次方程式で「積が0になる条件」を使うなど、式の性質を調べやすくなります。

解き方の手順

1全ての項に共通する因数を探す。共通因数があれば、先にくくると残った式を公式と比べやすくなります。

2残った式が \(x^2+bx+c\) の形なら、積が \(c\)、和が \(b\) になる2数を探します。\((x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq\) と展開できるからです。

3積が負なら2数は異符号、正なら同符号です。積が0なら少なくとも一方は0です。積の条件で候補を挙げ、和も合うか確かめます。

4展開し直して元の式に戻るか確かめる。

つまずくのはここ

つまずき1｜共通因数を抜かずに公式を探す

例えば \(4x^2+8x+4\) の各項には4が掛かっています。\(4(x^2+2x+1)\) とくくると、かっこの中を \((x+1)^2\) とまとめられます。くくった後も、前の4を忘れずに残しましょう。

つまずき2｜2数の符号で迷う

積が正なら2数は同符号なので、和が正なら両方とも正、和が負なら両方とも負です。積が負なら一方が正、もう一方が負になります。この場合、和の符号は絶対値が大きい方の符号になります。絶対値が同じなら和は0です。

つまずき3｜2乗の「和」を分解しようとする

\((x+8)(x-8)\) を展開すると、\(x^2-8x+8x-64=x^2-64\) です。真ん中の項が消え、最後は負になります。したがって、この答えを \(x^2+64\) に使うことはできません。2乗の差の公式は、間の符号が「−」であることを確かめて使います。

数強塾オリジナルの練習問題

練習1は和と積、練習2は共通因数、練習3は公式の見分け方を確かめる問題です。途中で迷ったら、上の「解き方の手順」に戻り、どの形に当てはまるか考えてみましょう。

練習1

次の式を因数分解しなさい。\(x^2-9x+14\)

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解答

積が14で正なので、2数は同符号です。和は \(-9\) なので、両方とも負と分かります。14の正の約数の組は1と14、2と7です。\((-7)+(-2)=-9\)、\((-7)(-2)=14\) より、答えは \((x-7)(x-2)\) です。
展開すると \(x^2-2x-7x+14=x^2-9x+14\) となり、元の式と一致します。

練習2

次の式を因数分解しなさい。\(4x^2+8x+4\)

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解答

各項から共通因数4をくくると \(4(x^2+2x+1)\) です。かっこの中は \(x^2+2\cdot x\cdot1+1^2=(x+1)^2\) なので、答えは \(4(x+1)^2\) です。
展開して \(4(x^2+2x+1)=4x^2+8x+4\) と元の式に戻ることを確かめます。

練習3

次の式を因数分解しなさい。\(x^2-64\)、\(x^2-16x+64\)

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解答

前者は \(x^2-8^2\) という2乗の差なので、\((x+8)(x-8)\) です。展開すると \(x^2-8x+8x-64=x^2-64\) になります。
後者は \(x^2-2\cdot x\cdot8+8^2\) なので、\((x-8)^2\) です。展開すると \(x^2-8x-8x+64=x^2-16x+64\) になります。
両者では真ん中の項が消えるか、\(-16x\) になるかが違います。答えのかっこの符号も、この違いと対応しています。