台形の対角線が作る相似｜相似比から長さを求める

中3｜三平方の定理解き方がわからないときは三平方の定理｜証明・辺の長さ・平面と空間の応用を24問で練習【中3数学】を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

AD ∥ BC の台形 ABCD で、AD = 4cm、BC = 12cm、∠ADC = 90°、∠DAC = 60° である。

（1）∠ACB の大きさを求めなさい。

（2）DC と AC の長さを求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは中学3年「三平方の定理」の無料プリント（基本5）の解説です。秋田県の入試問題——台形と対角線。角度・長さ・面積を順に求める総合問題で、平行線と相似も組み合わせます。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。三平方は図に直角三角形を見つけて印を付けるのが第一手です。印刷して使ってください。

中3数学三平方の定理基本5 問題

中3数学三平方の定理基本5 解答

問題・解答を画像で見る

ページを移動せずに確認できます。印刷用PDFは各画像下のリンクから開けます。

問題

問題PDFを開く

解答・解説

解答・解説PDFを開く

台形の対角線が作る相似

AD ∥ BC の台形で対角線が交わると、△EAD ∽ △ECB（2角相等）になります。

相似比＝ AD : BC

高さも同じ比で分かれる

相似比が 1 : 3 なら、E から AD までの高さと E から BC までの高さも 1 : 3。台形全体の高さを 4 等分して、3 が下側——これで △EBC の高さが出ます。

つまずくのはここ

つまずき1｜錯角で角を移さない

AD ∥ BC なら ∠DAC = ∠ACB（錯角）。60° がそのまま移せます。平行があれば角は移動できる——中2で学んだ道具です。

つまずき2｜相似比を高さに使わない

△EAD と △ECB の相似比が AD : BC なら、高さの比も同じ。台形の高さを比で分ければ、E の位置が決まります。

つまずき3｜30-60-90 に気づかない

∠ADC = 90°、∠DAC = 60° なら、△ADC は 30-60-90。AD = 4 が「1」にあたるので、DC = 4√3、AC = 8。比が使えると計算が一瞬です。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントの入試問題と同じ技能構成で、設問を独自に設計した問題です。

標準練習1

AD ∥ BC の台形 ABCD で、AD = 4cm、BC = 12cm、∠ADC = 90°、∠DAC = 60° である。
（1）∠ACB の大きさを求めなさい。
（2）DC と AC の長さを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

（1）AD ∥ BC より、∠ACB は ∠DAC の錯角：60°
（2）△ADC は ∠ADC = 90°、∠DAC = 60° なので 30-60-90。
∠ACD = 30° で、その向かいの AD = 4 が比の「1」にあたる。
DC（60°の向かい）= 4√3 cm
AC（90°の向かい＝斜辺）= 8 cm
検算：4² + (4√3)² = 16 + 48 = 64 = 8² ○

応用練習2

（練習1の続き）線分 BD の長さを求めなさい。

解答・解説を見る

解答

座標で考えると確実です。D を原点に置きます。
DC ⊥ AD なので、D(0, 0)、A(−4, 0)、C(0, −4√3)
BC ∥ AD で BC = 12 なので B(−12, −4√3)
BD² = 12² + (4√3)² = 144 + 48 = 192
BD = 8√3 cm（≒ 13.9cm）
検算：√192 = √(64×3) = 8√3 ○
座標を置くと、複雑な図形も2点間の距離に還元できます。

応用練習3

（練習1の続き）線分 AC と線分 BD の交点を E とするとき、△EBC の面積を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

AD ∥ BC より △EAD ∽ △ECB、相似比は AD : BC = 4 : 12 = 1 : 3。
台形の高さは DC = 4√3。E からの高さも 1 : 3 に分かれるので、
E から BC までの高さ = 4√3 × 3/4 = 3√3
△EBC の面積 = 1/2 × 12 × 3√3 = 18√3 cm²（≒ 31.2cm²）
検算：台形全体の面積 = 1/2 × (4 + 12) × 4√3 = 32√3。
△EBC はその 18/32 = 9/16 ——相似比 1:3 のとき △EBC が全体の 9/16 になるのは妥当です ○
三平方 → 相似 → 面積と道具が連鎖する、入試の典型的な構成です。

定着チェック

いまの理解段階を自分で選んでみてください。

未習——用語の意味がまだ言えない。
用語理解——定義は言えるが、手が止まる。
典型を解ける——同じ形なら解ける。
初見へ転用——形が変わっても方針を立てられる。
入試水準——制限時間内に、根拠を書いて解ける。

この先の学習経路

三平方の定理特訓道場30題——入試レベルの通し演習。
図形（相似と円）特訓道場30題——相似と組み合わせる問題へ。
図形（幾何）学習ロードマップ——小学算数から最難関大までの地図。
数学の要点辞典（中1〜数III）——学年をまたいで確認する。

数強塾について

数強塾は、数学が苦手な中高生を対象にしたオンライン数学専門塾です。プロ講師が完全1対1で担当し、指導システムと料金を公開しています。実際の成績推移は指導事例、通っている生徒の声は評判・口コミにまとめています。

ここまで読んでも「どの前提に戻ればよいか決められない」「解説は追えるのに自分では方針が立たない」という場合、足りないのは演習量ではなく学習経路の整理かもしれません。数強塾では現在地と目標から逆算して、次に取り組む内容を講師が一緒に決めます。

体験授業・入塾相談はこちら無料の授業動画・学習プリント

次に解く問題・この単元の解説

この単元を体系的に理解する

難易度を変えて練習する

同じ難易度の問題

📄 同じ単元のプリント（全88枚のうち、この前後24枚）

同じ単元を続けて解くと、どの手を使うかの判断が安定します。手が止まったところがあれば、その単元の要点に戻ってから次の1枚に進んでください。

一覧に無いものも含め、三平方の定理のプリントは中３数学：三平方の定理全88枚、学年全体の単元一覧は中３数学のページから確認できます。