中３数学：三平方の定理｜応用33（無料問題・解答PDF）

このページは中学3年「三平方の定理」の無料プリント（応用33）の解説です。佐賀県・鹿児島県の入試問題——円錐の展開図。おうぎ形の弧と底面の円周が等しいという1本の等式から、半径・母線・高さ・体積がすべて決まります。

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下のリンクから PDF が開きます。三平方は図に直角三角形を見つけて印を付けるのが第一手です。印刷して使ってください。

中3数学 三平方の定理 応用33 問題

中3数学 三平方の定理 応用33 解答

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問題

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解答・解説

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展開図の等式は1本だけ

底面の半径 r、母線（おうぎ形の半径）l、中心角 x° の関係は：

2πr ＝ 2πl × x/360　　つまり　x/360 ＝ r/l

「中心角の割合 ＝ 半径の比」と覚えると、どの向きにも一瞬で使えます。

高さは三平方で

円錐を真横から見ると、母線 l が斜辺、底面の半径 r と高さ h が直角をはさむ2辺の直角三角形です。

l² ＝ r² ＋ h²

つまずくのはここ

数強塾オリジナルの練習問題

プリントの入試問題と同じ技能構成で、数値を独自に設計した問題です。

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解答

（ア）216/360 = 3/5 なので、底面の半径 = 5 × 3/5 = 3cm
（イ）高さ h は三平方：h = √(5² − 3²) = √16 = 4cm（3-4-5）
V = 1/3 × π × 3² × 4 = 12π cm³
検算：弧 = 2π × 5 × 216/360 = 6π、底面の円周 = 2π × 3 = 6π ○ 一致

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解答

母線を l とすると 90/360 = 2/l → l = 2 × 4 = 8cm
高さ = √(8² − 2²) = √60 = 2√15 cm（≒ 7.75cm）
検算：√60 = √(4 × 15) = 2√15 ○。中心角が小さいほど細長い円錐になる——90° はかなり尖った形です。

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解答

側面上の最短経路は、展開図の上では直線です。
展開図の中心角：x/360 = 1/6 → x = 60°
展開図で A と A′（同じ点 A が展開で2か所に分かれたもの）を結ぶ弦が最短。
△OAA′ は OA = OA′ = 6、頂角 60° の二等辺三角形——つまり正三角形。
よって AA′ = 6cm（母線と同じ長さ）
検算：頂角60°の二等辺三角形は底角も (180−60)÷2 = 60° で正三角形 ○
「側面のひも・最短」と来たら展開図で直線——高校入試の頻出パターンで、中心角が 90° なら三平方（√2倍）、60° なら正三角形が現れます。

定着チェック

いまの理解段階を自分で選んでみてください。

• 未習——用語の意味がまだ言えない。
• 用語理解——定義は言えるが、手が止まる。
• 典型を解ける——同じ形なら解ける。
• 初見へ転用——形が変わっても方針を立てられる。
• 入試水準——制限時間内に、根拠を書いて解ける。

この先の学習経路

• 三平方の定理 特訓道場30題——入試レベルの通し演習。
• 図形（相似と円）特訓道場30題——相似と組み合わせる問題へ。
• 図形（幾何）学習ロードマップ——小学算数から最難関大までの地図。
• 数学の要点辞典（中1〜数III）——学年をまたいで確認する。

数強塾について

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ここまで読んでも「どの前提に戻ればよいか決められない」「解説は追えるのに自分では方針が立たない」という場合、足りないのは演習量ではなく学習経路の整理かもしれません。数強塾では現在地と目標から逆算して、次に取り組む内容を講師が一緒に決めます。