展開図を読む3つの視点｜立体に戻して長さを出す

中3｜三平方の定理解き方がわからないときは中３数学｜三平方の定理証明・辺の長さ・平面と空間【中3】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

底面が五角形 ABCDE の五角柱がある。底面は、CD = 24cm、BC = ED = 7cm の長方形の上に、AB = AE = 13cm の二等辺三角形をのせた「家型」で、柱の高さは 15cm である。

（1）屋根の部分の三角形の高さを求めなさい。

（2）この立体の体積を求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは中学3年「三平方の定理」の無料プリント（応用70）の解説です。東京工業大附科技高の入試問題——展開図から立体を組み立てる。展開図の中の長さが立体のどこになるのかを追い、体積・表面積・側面の最短経路・回転体まで一気に扱います。中学の空間図形の総仕上げです。

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下のリンクから PDF が開きます。三平方は図に直角三角形を見つけて印を付けるのが第一手です。印刷して使ってください。

中3数学三平方の定理応用70 問題

中3数学三平方の定理応用70 解答

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ページを移動せずに確認できます。印刷用PDFは各画像下のリンクから開けます。

問題

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解答・解説

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展開図を読む3つの視点

1底面はどれか——同じ形が2枚あればそれが上下の面。

2側面の帯の横幅は底面の周——柱の側面を切り開くと1本の長方形になる。

3帯の縦は柱の高さ——ここが立体の「高さ」。

底面の五角形（家型）——長方形と二等辺三角形に分けて面積を出す

側面の最短は展開図の直線

柱の側面にひもを張るときも、円錐（応用33）や角錐（応用65）と同じ。側面を長方形に開いて直線で結ぶ——横に進む距離は「途中の辺の長さの和」、縦は「柱の高さ」です。

つまずくのはここ

つまずき1｜側面の帯の横幅を1辺の長さと思う

帯の横幅は底面の周（全部の辺の和）。5つの側面がつながって1本の帯になります。

つまずき2｜家型の五角形を1つの公式で求めようとする

長方形＋二等辺三角形に切ります。三角形の高さは、斜辺と底辺の半分で三平方。

つまずき3｜最短経路で「遠回りの側」を選ぶ

2点の間には右回りと左回りがあります。両方の横の距離を出して、短いほうで三平方します。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントの入試問題と同じ技能構成で、数値と設定を独自に設計した問題です。

標準練習1

底面が五角形 ABCDE の五角柱がある。底面は、CD = 24cm、BC = ED = 7cm の長方形の上に、AB = AE = 13cm の二等辺三角形をのせた「家型」で、柱の高さは 15cm である。
（1）屋根の部分の三角形の高さを求めなさい。
（2）この立体の体積を求めなさい。

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解答

（1）二等辺三角形 ABE の底辺 BE = 24、等辺 13。頂点 A から BE の中点へ下ろすと底辺は 12：
高さ = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5cm
検算：5-12-13 ○
（2）底面積 = 長方形 24 × 7 + 三角形 1/2 × 24 × 5 = 168 + 60 = 228cm²
体積 = 228 × 15 = 3420cm³

標準練習2

（練習1の五角柱について）表面積を求めなさい。

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解答

底面2枚 = 228 × 2 = 456
側面は帯1本：横幅 = 底面の周 = 13 + 7 + 24 + 7 + 13 = 64cm、縦 = 15cm
側面積 = 64 × 15 = 960
表面積 = 456 + 960 = 1416cm²
検算：側面を5枚ばらばらに足しても 13×15 + 7×15 + 24×15 + 7×15 + 13×15 = 960 ○

発展練習3

（練習1の五角柱について）下の面の頂点 C から、側面にそって、上の面の頂点 A の位置（A の真上）まで進む。最短経路の長さを求めなさい。

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解答

側面を1本の帯（横 64、縦 15）に開いて考えます。C から A までの横の距離は2通り：
・B を通る側：CB + BA = 7 + 13 = 20cm
・D、E を通る側：CD + DE + EA = 24 + 7 + 13 = 44cm
短いのは 20 のほう。縦は柱の高さ 15。
最短 = √(20² + 15²) = √(400 + 225) = √625 = 25cm
検算：15-20-25 = 3-4-5 の5倍 ○。遠回り側なら √(44² + 15²) = √2161 ≒ 46.5cm で確かに長い ○
展開して直線——円錐（応用33）・正四角錐（応用65）・角柱（この問題）で、まったく同じ考え方が通用します。

定着チェック

いまの理解段階を自分で選んでみてください。

未習——用語の意味がまだ言えない。
用語理解——定義は言えるが、手が止まる。
典型を解ける——同じ形なら解ける。
初見へ転用——形が変わっても方針を立てられる。
入試水準——制限時間内に、根拠を書いて解ける。

この先の学習経路

三平方の定理特訓道場30題——入試レベルの通し演習。
図形（相似と円）特訓道場30題——相似と組み合わせる問題へ。
図形（幾何）学習ロードマップ——小学算数から最難関大までの地図。
数学の要点辞典（中1〜数III）——学年をまたいで確認する。

数強塾について

数強塾は、数学が苦手な中高生を対象にしたオンライン数学専門塾です。プロ講師が完全1対1で担当し、指導システムと料金を公開しています。実際の成績推移は指導事例、通っている生徒の声は評判・口コミにまとめています。

ここまで読んでも「どの前提に戻ればよいか決められない」「解説は追えるのに自分では方針が立たない」という場合、足りないのは演習量ではなく学習経路の整理かもしれません。数強塾では現在地と目標から逆算して、次に取り組む内容を講師が一緒に決めます。

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