図形10｜中3の図形難問（三平方・相似）

中3｜相似・円・図形の難問解き方がわからないときは中３数学｜相似な図形とは相似条件・証明・相似比【中3】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

半径 28cm の円Oの外部に、OP = 53cm となる点Pをとります。点Pから円Oに引いた接線の接点をTとするとき、線分PTの長さを求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは中学3年生「図形（難問）」の無料問題プリントです。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。すべての問題に図が付いています。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。

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下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

中３数学図形（難問）A 図形 10

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問題

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図形（難問）で何ができるようになるか

三平方の定理・相似・円の性質を組み合わせて使えるようにします。入試の図形は1つの定理では解けません。「どの三角形を取り出すか」を決められるかどうかで差がつきます。

解き方の手順

1直角を探す。あれば三平方の定理が使える三角形を1つ取り出す。

2等しい角を探す。平行線・円周角・折り返しは等しい角を作る。

32角が等しい三角形を見つけたら相似。対応する辺を順番どおりに並べて比を立てる。

4出た長さを図に戻して、別の関係でも成り立つかを確かめる。

つまずくのはここ

つまずき1｜相似の対応をまちがえて比を立てる

△ABC ∽ △ADE と書いたら、A↔A、B↔D、C↔E の順に対応します。比は AB : AD = AC : AE。頂点の順番を崩すと必ずまちがえます。

つまずき2｜面積比を相似比のまま使う

相似比が m : n なら、面積比は m² : n² です。長さの比をそのまま面積に使うのが最も多い失点です。

つまずき3｜折り返しで「変わらないもの」を見落とす

折り返しても長さと角の大きさは変わりません。折り目をはさんで等しい辺・等しい角に印をつけると、二等辺三角形が見えてきます。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。図をよく見てから解いてください。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。

練習1

半径 28cm の円Oの外部に、OP = 53cm となる点Pをとります。点Pから円Oに引いた接線の接点をTとするとき、線分PTの長さを求めなさい。

円Oの半径は 28。OP = 53。T は接点。

解答・解説を見る

解答

PT = 45 cm

接線は接点を通る半径に垂直なので ∠OTP = 90°。
三角形OTPは直角三角形だから、三平方の定理より PT² = OP² − OT²。
PT² = 53² − 28² = 2809 − 784 = 2025
PT > 0 なので PT = 45（cm）

練習2

∠C = 90° の直角三角形ABCで、CA = 72、CB = 30、AB = 78 です。点Cから辺ABに垂線CHを下ろすとき、CH、AH、BH の長さをそれぞれ求めなさい。

∠C = 90°、CA = 72、CB = 30、AB = 78。H は C から AB に下ろした垂線の足。

解答・解説を見る

解答

CH = 360/13、AH = 864/13、BH = 150/13

三角形ABC と三角形ACH と三角形CBH は、すべて相似（2角がそれぞれ等しい）。
面積を2通りに表すと 72 × 30 ÷ 2 = 78 × CH ÷ 2 なので CH = 72 × 30 ÷ 78 = 360/13
△ACH ∽ △ABC より AH : AC = AC : AB、つまり AH = AC² ÷ AB = 72² ÷ 78 = 864/13
同じく BH = BC² ÷ AB = 30² ÷ 78 = 150/13
確かめ: AH + BH = 864/13 + 150/13 = 78 で AB と一致する。

練習3

長方形ABCDで AB = 14cm、BC = 6cm です。対角線ACを折り目としてこの長方形を折り返したとき、辺ADと折り返した辺の交点をEとします。AEの長さを求めなさい。

長方形ABCD（AB = 14cm、BC = 6cm）を対角線ACで折り返す。

解答・解説を見る

解答

AE = 58/7 cm

折り返しても長さと角は変わらないので ∠EAC = ∠BAC。
AD と BC は平行だから ∠EAC = ∠ACB、よって ∠EAC = ∠ECA。
2つの角が等しいので三角形EACは二等辺三角形で EA = EC。
AE = x とおくと ED = 14 − x、EC = x。
直角三角形ECDで三平方の定理より x² = (14 − x)² + 6²
展開して x² = 196 − 28x + x² + 36
28x = 232、よって x = 58/7
確かめ: ED = 40/7 なので (40/7)² + 6² = 1600/49 + 36 = 3364/49、(58/7)² = 3364/49 となり一致する。

解き終わったら

数学I・Aの要点辞典——図形の性質を定理ごとに確認する。
過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。

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