図形B-10｜中3の図形難問（三平方・相似）

中3｜相似・円・図形の難問解き方がわからないときは中３数学｜相似な図形とは相似条件・証明・相似比【中3】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

長方形ABCDで AB = 14cm、BC = 10cm です。対角線ACを折り目としてこの長方形を折り返したとき、辺ADと折り返した辺の交点をEとします。AEの長さを求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは中学3年生「図形（難問）」の無料問題プリントです。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。すべての問題に図が付いています。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

中３数学図形（難問）B 図形 10

図形（難問）で何ができるようになるか

三平方の定理・相似・円の性質を組み合わせて使えるようにします。入試の図形は1つの定理では解けません。「どの三角形を取り出すか」を決められるかどうかで差がつきます。

解き方の手順

1直角を探す。あれば三平方の定理が使える三角形を1つ取り出す。

2等しい角を探す。平行線・円周角・折り返しは等しい角を作る。

32角が等しい三角形を見つけたら相似。対応する辺を順番どおりに並べて比を立てる。

4出た長さを図に戻して、別の関係でも成り立つかを確かめる。

つまずくのはここ

つまずき1｜相似の対応をまちがえて比を立てる

△ABC ∽ △ADE と書いたら、A↔A、B↔D、C↔E の順に対応します。比は AB : AD = AC : AE。頂点の順番を崩すと必ずまちがえます。

つまずき2｜面積比を相似比のまま使う

相似比が m : n なら、面積比は m² : n² です。長さの比をそのまま面積に使うのが最も多い失点です。

つまずき3｜折り返しで「変わらないもの」を見落とす

折り返しても長さと角の大きさは変わりません。折り目をはさんで等しい辺・等しい角に印をつけると、二等辺三角形が見えてきます。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。図をよく見てから解いてください。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。

練習1

長方形ABCD（AB = 14cm、BC = 10cm）を対角線ACで折り返す。

解答・解説を見る

解答

AE = 74/7 cm

折り返しても長さと角は変わらないので ∠EAC = ∠BAC。
AD と BC は平行だから ∠EAC = ∠ACB、よって ∠EAC = ∠ECA。
2つの角が等しいので三角形EACは二等辺三角形で EA = EC。
AE = x とおくと ED = 14 − x、EC = x。
直角三角形ECDで三平方の定理より x² = (14 − x)² + 10²
展開して x² = 196 − 28x + x² + 100
28x = 296、よって x = 74/7
確かめ: ED = 24/7 なので (24/7)² + 10² = 576/49 + 100 = 5476/49、(74/7)² = 5476/49 となり一致する。

練習2

三角形ABCで、辺AB上の点Dと辺AC上の点Eを DE ∥ BC となるようにとります。AD : DB = 6 : 6 で、三角形ABCの面積が 2016cm² のとき、四角形DBCEの面積を求めなさい。

DE ∥ BC。AD : DB = 6 : 6。

解答・解説を見る

解答

1512 cm²

DE ∥ BC なので △ADE ∽ △ABC。相似比は AD : AB = 6 : 12。
面積比は相似比の2乗だから 6² : 12² = 36 : 144。
△ADE = 2016 × 36 ÷ 144 = 504（cm²）
四角形DBCE = 2016 − 504 = 1512（cm²）

練習3

四角形ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとします。四角形ABCDの面積が 42cm² のとき、四角形PQRSの面積を求めなさい。

P, Q, R, S はそれぞれ辺AB, BC, CD, DA の中点。

解答・解説を見る

解答

21 cm²

対角線ACを引くと、三角形ABCで PQ は中点連結定理より PQ ∥ AC、PQ = AC ÷ 2。
三角形ACDでも SR ∥ AC、SR = AC ÷ 2。よって PQ ∥ SR かつ PQ = SR。
1組の対辺が平行で長さが等しいので、四角形PQRSは平行四辺形。
同じ議論を対角線BDでも行うと、切り落とされる4つの三角形の面積の和がもとの四角形のちょうど半分になる。
よって PQRS = 42 ÷ 2 = 21（cm²）

解き終わったら

数学I・Aの要点辞典——図形の性質を定理ごとに確認する。
過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。

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