図形B-17｜中3の図形難問（三平方・相似）

中3｜相似・円・図形の難問解き方がわからないときは中３数学｜相似な図形とは相似条件・証明・相似比【中3】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

四角形ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとします。四角形ABCDの面積が 82cm² のとき、四角形PQRSの面積を求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは中学3年生「図形（難問）」の無料問題プリントです。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。すべての問題に図が付いています。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。

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中３数学図形（難問）B 図形 17

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問題

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図形（難問）で何ができるようになるか

三平方の定理・相似・円の性質を組み合わせて使えるようにします。入試の図形は1つの定理では解けません。「どの三角形を取り出すか」を決められるかどうかで差がつきます。

解き方の手順

1直角を探す。あれば三平方の定理が使える三角形を1つ取り出す。

2等しい角を探す。平行線・円周角・折り返しは等しい角を作る。

32角が等しい三角形を見つけたら相似。対応する辺を順番どおりに並べて比を立てる。

4出た長さを図に戻して、別の関係でも成り立つかを確かめる。

つまずくのはここ

つまずき1｜相似の対応をまちがえて比を立てる

△ABC ∽ △ADE と書いたら、A↔A、B↔D、C↔E の順に対応します。比は AB : AD = AC : AE。頂点の順番を崩すと必ずまちがえます。

つまずき2｜面積比を相似比のまま使う

相似比が m : n なら、面積比は m² : n² です。長さの比をそのまま面積に使うのが最も多い失点です。

つまずき3｜折り返しで「変わらないもの」を見落とす

折り返しても長さと角の大きさは変わりません。折り目をはさんで等しい辺・等しい角に印をつけると、二等辺三角形が見えてきます。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。図をよく見てから解いてください。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。

練習1

四角形ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとします。四角形ABCDの面積が 82cm² のとき、四角形PQRSの面積を求めなさい。

P, Q, R, S はそれぞれ辺AB, BC, CD, DA の中点。

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解答

41 cm²

対角線ACを引くと、三角形ABCで PQ は中点連結定理より PQ ∥ AC、PQ = AC ÷ 2。
三角形ACDでも SR ∥ AC、SR = AC ÷ 2。よって PQ ∥ SR かつ PQ = SR。
1組の対辺が平行で長さが等しいので、四角形PQRSは平行四辺形。
同じ議論を対角線BDでも行うと、切り落とされる4つの三角形の面積の和がもとの四角形のちょうど半分になる。
よって PQRS = 82 ÷ 2 = 41（cm²）

練習2

半径 12cm の円Oの外部に、OP = 15cm となる点Pをとります。点Pから円Oに引いた接線の接点をTとするとき、線分PTの長さを求めなさい。

円Oの半径は 12。OP = 15。T は接点。

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解答

PT = 9 cm

接線は接点を通る半径に垂直なので ∠OTP = 90°。
三角形OTPは直角三角形だから、三平方の定理より PT² = OP² − OT²。
PT² = 15² − 12² = 225 − 144 = 81
PT > 0 なので PT = 9（cm）

練習3

∠C = 90° の直角三角形ABCで、CA = 8、CB = 6、AB = 10 です。点Cから辺ABに垂線CHを下ろすとき、CH、AH、BH の長さをそれぞれ求めなさい。

∠C = 90°、CA = 8、CB = 6、AB = 10。H は C から AB に下ろした垂線の足。

解答・解説を見る

解答

CH = 24/5、AH = 32/5、BH = 18/5

三角形ABC と三角形ACH と三角形CBH は、すべて相似（2角がそれぞれ等しい）。
面積を2通りに表すと 8 × 6 ÷ 2 = 10 × CH ÷ 2 なので CH = 8 × 6 ÷ 10 = 24/5
△ACH ∽ △ABC より AH : AC = AC : AB、つまり AH = AC² ÷ AB = 8² ÷ 10 = 32/5
同じく BH = BC² ÷ AB = 6² ÷ 10 = 18/5
確かめ: AH + BH = 32/5 + 18/5 = 10 で AB と一致する。

解き終わったら

数学I・Aの要点辞典——図形の性質を定理ごとに確認する。
過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。

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